人工智能、对称性和美感——Oliver Johnson

只需向左跳一下，然后再向右迈一步。本文涉及Oliver Johnson教授对群的讨论。

作者：奥利弗·约翰逊 (Oliver Johnson，布里斯托大学数学学院信息论教授，兼任统计科学研究所所长）2025-11-8

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-11-10

本周，《纽约客》在一篇（原本相当有趣的）关于人工智能和数据中心的文章中 https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/03/inside-the-data-centers-that-train-ai-and-drain-the-electrical-grid ，夹杂着对数学的看法：

“美是首要的检验标准：丑陋的数学在这个世界上没有一席之地，”数学家G. H. 哈代在1940年写道。然而，我们文明如今投入如此多资源的矩阵乘法，却如同钉钉子般笨拙不堪。它既不美观，也不对称：事实上，在矩阵乘法中， a乘以b并不等于b乘以a 。”

我今天要告诉你，这种想法完全错误：如果a乘以b总是等于b乘以a，那其实相当无趣。允许其他可能性存在，能让我们领略到远超作者想象的美感和对称性。这是一个关于量子力学、探索深空的卫星以及打包 23 维行李箱的故事。让我来解释一下。

我谨代表群（group）向大家表示感谢

想象一个三臂指尖陀螺放在桌子上，其中一臂指向正北，三臂两侧分别标有数字 1、2 和 3。以下两种操作不会改变陀螺的形状，但会改变数字的顺序：

我们可以将指尖陀螺顺时针旋转 120 度。

我们可以把它翻过来放在桌子上，只需保持指向北方的那根臂不动即可。

希望你能明白，如果你先做步骤 1 再做步骤 2（上图），最终得到的转盘形状会和先做步骤 2 再做步骤 1（下图）的结果不同。顺序很重要！

这就像《纽约客》杂志之前批评过的黑客帝国一样。这也没什么不好！事实上，这两种情况都符合同样的规律，这绝非巧合。

我向你们展示的是对称群（symmetric group）S3（S 代表对称，3 代表指尖陀螺的三个臂）。数字有六种可能的组合——希望你们能明白，通过以不同的顺序执行步骤 1 和 2，可以得到所有这六种组合。我们称这个群为六阶群。

我说这并非巧合的原因是，我们可以用矩阵以各种方式构建这个群的某种形式 https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S3 。我们可以选择一个矩阵作为运算1，再选择一个矩阵作为运算2，而各种矩阵乘积都与陀螺的位置一致。这就是所谓的群的表示（representation），而这种矩阵表示是理解量子力学最常用方法之一的基础——更多信息请参见维基百科上关于泡利矩阵的页面 https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices ！

总的来说，思考群及其表示使我们能够理解从晶格 https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_symmetry 和伊斯兰瓷砖图案 https://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.pdf 到多项式方程 https://nrich.maths.org/articles/introduction-galois-theory 的解和音阶 https://libres.uncg.edu/ir/asu/f/Kennedy,%20Kristie%20Spring%202015.pdf 等一切事物。

事实上，我描述的并非唯一的六阶群。另一个例子是，一根时钟指针可以指向数字 1 到 6。这根指针就具有《纽约客》杂志的性质：顺时针旋转两格，再顺时针旋转三格，指针就会指向 6。如果先旋转三格再旋转两格，结果也一样。但这没什么意思。

即使是最好哄的小孩，玩一会儿也会对这个游戏感到厌倦，而指尖陀螺似乎更有趣——比如，每次转动2格，数字的顺序就会从顺时针变为逆时针，然后再变回顺时针。但实际上，S3 是具有这种“顺序改变很重要”性质的最简单的群，群更大，情况就越复杂。

重申我的假设。一：数学是自然的语言。

再想象一下另一个画面：想象一个三维立方体，然后在两个对角上粘上一团橡皮泥。

用坐标表示，我们可以把橡皮泥块的位置分别写成 000 和 111。但这同时也为我们提供了一种通信方式。如果我们把 000 和 111 看作是用二进制编写的消息，并通过一个容易出错的调制解调器发送，那么其中一位数字可能会翻转。例如，如果我发送 000，而第二位数字翻转了，那么接收方会看到 010。但 010 仍然比 111 更接近 000，所以他们很可能会合理地认为发送的消息是 000。

你可以把翻转数字的过程想象成沿着立方体的棱走。立方体上有一些角点比 111 更接近 000，如果我们收到其中任何一个角点，我们就假定发送的是 000。这是纠错码（error-correcting code）最简单也最有趣的例子。事实上，它被称为完全码（perfect code）：我们收到的任何消息都与 000 或 111 相差不超过一步。

但最有趣的是思考我们可以对这个立方体做什么。想象一下，交换坐标轴，同时保持两团橡皮泥不动。我们可以做两件事：

1. 将立方体绕着角点 000 旋转，使每个轴都移动 1（ x 轴旋转到y 轴， y 轴旋转到z 轴， z 轴旋转到x 轴）。

2. 保持z轴固定，并在一个平面内进行反射，使x轴和y轴互换。

我们能够移动坐标轴，同时保持橡皮泥团块位置不变的这些方法的集合，被称为代码的自同构群（automorphism group）。更有趣的是，我们在魔方上的步骤 1 和 2 与指尖陀螺上的步骤 1 和 2 完全对应，并且坐标轴的六种排列方式也完全相同。换句话说，我们的群 S3 又出现了！

但这只是小儿戏，是时候认真起来了。

可怕的魔怪，超级怪胎

想象一个不是三维的，而是二十三维的立方体。而且，不要在立方体上放两团橡皮泥，而是放4096团。马塞尔·戈莱（Marcel Golay）在1949年发表了一篇只有一页纸的论文 https://pierre-hyvernat.apps.math.cnrs.fr/data/Enseignement/2223/info602/TP-Golay/golay_paper.pdf ，其中就阐述了一种非常巧妙的实现方法。（我们现在为什么还要浪费时间读长篇论文呢？）

戈莱摆放橡皮泥的方法简直妙不可言。他找到了一种方法，可以将这些橡皮泥块均匀地分布在23维立方体上。以前，我们只要翻转一个数字就行了，但在戈莱的构造中，你可以从4096块橡皮泥中的任意一块出发，走最多三步，最终到达的位置仍然比到达任何其他橡皮泥块的位置都更接近起点。换句话说，戈莱的算法可以纠正3个错误——而这正是旅行者1号和2号探测器 https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/ 在行星飞掠中传回照片时所使用的程序。

此外，就像我们在立方体例子中所做的那样，我们可能收到的任何长度为 23 的消息，都距离我们的一块橡皮泥不超过 3 步。我们对任何消息的处理方式都没有任何歧义。再次强调，这是一个完美的编码：在某种意义上，我们已经发现了如何用类似球体的东西完美地填充 23 维空间。（你可能已经注意到，4096 是 2 的幂（十二次方）。事实上，通过最多三步，你可以到达立方体的 2048 个角，而 2048 也是 2 的幂（十一次方）。十二加十一等于二十三，也就是立方体的维度数。这表明戈莱堆积在理论上是可行的，但并不能证明它在实践中存在。）

三十年前在数学第三部分https://en.wikipedia.org/wiki/Part_III_of_the_Mathematical_Tripos 学习这些内容，真是我一生中最激动人心的智力探索之一，因为真正精彩的部分还在后面。（译者注：Part III of the Mathematical Tripos，数学荣誉学位课程第三部分，正式名称为数学硕士/高级研究硕士，是剑桥大学数学系开设的一门为期一年的硕士级别数学课程。 它被认为是世界上最难、最密集的数学课程。 大约三分之一的学生在完成数学荣誉学位课程第一部分、第二部分和第二部分后，选择在剑桥大学继续攻读该课程，最终获得综合硕士学位MMath；其余三分之二的学生是校外学生，他们选择攻读该课程，获得一年制硕士学位MASt。）

我曾将群的概念描述为对称性的集合，一种交换对象顺序的方法。人们自然会好奇，究竟有多少种不同的方法可以做到这一点。我们可以将每一种化合物分解成少量基本元素，也可以将每个整数分解成一系列质数（prime numbers，即素数）。

事实证明，群也具有类似的特性。所有可能的群都可以分解成所谓的单群（simple groups），数学家们可以列出所有单群的完整列表。这项工作浩大无比 https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups ，涉及数万页的学术论文，并有数百位作者的参与。即使是简化版的数学版“人类基因组计划”，也已经出版到第十卷（最新一卷长达570页 https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV%2F40.10 ），而且丝毫没有放缓的迹象。

但暂且不谈证明过程，我可以描述一下这些作者的发现 https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups 。这些简单的群大多属于某些众所周知的族。例如，我们可以考虑一个等价于我的时钟群的群，只不过圆周上的点数可以是任意质数。但并非所有群都能归入一个清晰的族：有26个奇怪的例外，即所谓的散在单群（sporadic groups）。

其中最大的是魔群（Monster group https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group ），它不像指尖陀螺那样只有六种变换，而是有808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000（= 32!·10!·4!²·2·7·13·41·47·59·71 = 2⁴⁶·3²⁰·5⁹·7⁶·11²·13³·17·19·23·29·31·41·47·59·71 ≈ 8.08 × 10⁵³）种变换。这真是一个庞大的数字。

理解这些结构的研究项目吸引了大众数学界的广泛关注：你可以在《西蒙：我地下室里的天才》 https://www.amazon.co.uk/Simon-Genius-Basement-Alexander-Masters/dp/0385341083 、 《天才玩家-康威的好奇心灵》 https://www.amazon.co.uk/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938 等书中读到部分内容。 还有马库斯·杜·索托伊（Marcus Du Sautoy）的《寻找月光 - 一位数学家的对称发现之旅》 https://www.amazon.co.uk/Finding-Moonshine-Mathematicians-Journey-Symmetry/dp/0007214626/ 。这些都是意义深远且精美的作品，与数学和物理学的许多领域都有联系 https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine ，无论《纽约客》怎么想，都值得人们毕生研究。

但现在我可以解释为什么学习戈莱代码让我如此震撼。就像我们可以交换原始立方体的三个轴一样，我们也可以问，如何在保持橡皮泥团块位置不变的情况下，交换23维立方体的23个轴。

事实证明（我们在课堂上学习了如何证明这一点，可现在别让我做了。我不如以前那么聪明了。我认为构造这个码的证明需要用多项式定义循环码，利用BCH定理证明 https://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code 距离足够大，但天知道，你最终会得到自同构群！） ，我们实现这一目标的方法对应于另一个散在群。

它虽然不如“魔群”那么庞大，但马蒂厄群（Mathieu group） M23 也拥有相当可观的 10,200,960 个移动。最初看似只是为了满足集邮爱好者的好奇心而产生的数学奇观，最终却揭示了一个基本且重要对象的对称性。

当然，在这个M23群中， a乘以b远不等于b乘以a。但这又有什么关系呢？描述这些完美填充23维空间的点的对称性，远比任何人在时钟算术这种更简单的世界里所能做的任何事情都更美妙。事实上，正是这种结构的丰富性，使得矩阵和人工智能能够如此出色地近似模拟我们所生活的世界，而数学正是所有这些现代奇迹的基石。

参考资料

https://bristoliver.substack.com/p/ai-symmetry-and-beauty

https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/03/inside-the-data-centers-that-train-ai-and-drain-the-electrical-grid

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S3

https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices

https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_symmetry

https://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.pdf

https://nrich.maths.org/articles/introduction-galois-theory

https://libres.uncg.edu/ir/asu/f/Kennedy,%20Kristie%20Spring%202015.pdf

https://pierre-hyvernat.apps.math.cnrs.fr/data/Enseignement/2223/info602/TP-Golay/golay_paper.pdf

https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/

https://en.wikipedia.org/wiki/Part_III_of_the_Mathematical_Tripos

https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV%2F40.10

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups

https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group

https://www.amazon.co.uk/Simon-Genius-Basement-Alexander-Masters/dp/0385341083

https://www.amazon.co.uk/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938

https://www.amazon.co.uk/Finding-Moonshine-Mathematicians-Journey-Symmetry/dp/0007214626/

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine

https://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code