矩阵力学与波力学的等价性问题（下）

|作 者：曹则贤

(中国科学院物理研究所)

本文选自《物理》2025年第11期

（ 接54卷第10期 ）

3 泡利的等价性证明

泡利的等价性证明，见于1926年4月12日泡利至约当的一封信里[B. L. van der Waerden, From Matrix Mechanics and Wave Mechanics to Unified Quantum Mechanics, in Jagdish Mehra (ed.),

The Physicist's Conception of Nature

, Reidel (1973) pp.276—293]。这封信1973年才被发现。信不长，略述如下。

亲爱的约当，

…薛定谔的这个工作可说是最有意义的(diese Arbeit mit zu dem Bedeutendsten zählt),请您怀着敬意仔细地读它(Lesen Sie sie sorgfältig und mit Andacht)。自然要问的是，他的结果如何同哥廷恩力学(Göttinger Mechanik)相联系。这个联系我现在觉得想清楚了。由薛定谔的预设所得的能量总是与哥廷恩力学的相同，且由描述本征振动的薛定谔函数

可以简单、一般的方式构造满足哥廷恩力学的矩阵。与此同时，在哥廷恩力学和爱因斯坦—德布罗意的辐射场之间建立起了相当深刻的联系。

先略述薛定谔的预设。根据爱因斯坦和德布罗意{原文如此，未知具体指爱因斯坦的哪一篇}一个能量为

E

动量为

P

的运动质点(满足等式

E

2 -

P

2

c

2=

m

2

c

4)，，可对应一个频率为

E

h

波长为

h

P

|的振动过程，相速度为{笔者注意到这个波粒二象性的关键公式，虽然满足洛伦兹不变，但物理图像有问题，因为粒子运动静止时这个所谓的波有一个很大但有限的频率但波长却是无穷大。后来这个能量被改为粒子的动能部分了，但未说明理由，参见《泡利物理学讲义》卷五}。这样，德布罗意辐射场的波方程取形式：

考虑到能量—动量关系，改写为

一个处于力场中运动的质点，势能为

E

pot ，能量—动量关系为，代入得：

相速度{通过

E

pot }依赖于位置。

现在可将薛定谔的预设表述为：系统的能量为

E

的量子状态，当且仅当一个没有空间奇点的、为时间正弦函数的、频率为

E

h

的德布罗意驻波根据(C3)式存在时，才是可能的。

将(C3)式中的

作替代，则

，得：

这是个关于可能的取值为

E

hν

的本征值问题。因为计入了电子的静止能量，这些频率

是出奇的大( Diese

sind enorm gross, weil in

E

die Ruhenergie des Elektrons mit einbezogen ist){泡利显然是注意到了这里的问题，但是他的方案没解决根本问题。物质波理论里有内在矛盾}。频率条件称光波形式上为德布罗意辐射的差频(Differentztöne)。作用量子

h

只出现在状态能量与频率的对应关系中。

忽略相对论修正{把大头忽略掉，也不问理论的内在自洽性问题}，即代入
后作近似，由(C4)式得：

这是薛定谔论文里的方程，文章演示了如何从变分原理得到这个方程。周期系统的老量子论与基于预设(C5)的薛定谔量子力学之间的差别，从德布罗意辐射的观点看来，如同几何光学与波光学(Wellenoptik)之间的区别。当德布罗意辐射的波长很小时，对方程(C5)引入预设
，若

S

h

是一个大的值，则根据德拜由方程(C5)可得

S

的哈密顿—雅可比微分方程。在这种情形下，只当

S

的周期模(Periodizitätsmoduln)是2π的整数倍时{原文如此。似乎应是

h

的整数倍}， 才是单值的位置函数。这导致常见的条件，德布罗意本人从他的辐射场的几何光学的观点诠释过。但是，实际上一般来说

S

h

的值不大，必须保留方程(C5)，并将波的相关数学用于该方程的积分。

现在说说薛定谔力学与哥廷恩力学的联系。为了简单起见，以一维问题为例，波方程(符号上的杠都去掉了)为
。若本征值为

E

1 ,

E

2, …,

E

n, …，对应的完备本征函数集为

1,

2, …,

n, …，{原文如此。应该是}。

关于

的任意函数可以用

n 展开。比如，展开函数

xψ

n，

进一步地，

可见有

nm =

mn是实的，而(

p

x)nm=-(

p

x)mn是纯虚的{原文如此}。如此定义的矩阵满足哥廷恩力学的方程：

对于任意的函数

F

(x)，可分派一个矩阵 =

振子和转子的情形我也根据薛定谔做了计算。此外，还有塞曼分量强度的Hönl—Kronig公式，从薛定谔计算得到的氢原子本征函数计算跃迁概率，连续谱问题，等等。连续谱很复杂，其数学表述我还不清楚。兰佐施的工作与我的思考几无交点。他考察的问题里的本征值是能量本征值的倒数，而这里的本征值就是能量本征值。此外，在他那里一个类似依赖于两点的格林函数的函数扮演着重要角色，这样的函数不会进到这里的讨论。我相信，兰佐施的预设没啥用{泡利此处看走眼了}。

注意，(I)，(II)中没有出现未定的相因子，是因为(C3)式到(C4)式中的替代
，形式上

nm ，(

p

x)nm除了ei2π(

E

n

E

m

t

h

以外，还有一个相因子ei2π(

m

n

)，其中

m-

n属于能量为

E

m,

E

n的德布罗意本征振荡的相位。量子问题的哥廷恩表述和薛定谔表述都没有提供对原子中电子运动的时空描述。不过，如今从两个不同的侧面看问题，也是个进步(Aber es ist doch ein Fortschritt, die Probleme jetzt von zwei verschiedenen Seiten aus zu sehen)。从量子力学的观点看来，似乎运动质点与波体系的对立也让位于某种一般性的观念(Man sieht wohl auch, wie von Standpunkt der Quantenmechanik aus der Gegensatz zwischen bewegtem Punkt und Wellensystem zu Gunsten von etwas Allgemeinerem verblasst)。

4艾卡特的等价性证明

美国物理学家艾卡特(Carl Eckart，1902—1973)在1926年6月7日提交了一篇题为“算符运算与量子动力学运动方程的解”的论文[Carl Eckart, Operator Calculus and the Solution of the Equations of Motion of Quantum Dynamic,

Physical Review

28, 711 — 726(1926)]。在文章 校对的时候，薛定谔论等价性的论文传到了美国，故作者说文中的结果已经由薛定谔独立得到了。作者在后 注中说，他同意波力学比矩阵力学更加基础的( wave mechanics is more fundamental than the matrix mechanics )观点，而本文的结论为“波力学和矩阵力学是数学上等同的(mathematically identical)”。具体地，文章得出两个重要结论：

(1)经典的动力学方程可以写成算符形式；

(2)经典理论的算符运算被推广并应用到解量子动力学上。薛定谔的结果和玻恩—约当的结果被包括进同一个计算，发展了计算玻恩—约当矩阵的方法。

此文发展和详细解释了算符运算，为物理假设的数学步骤提供了合理性，特别是对经典动力学到量子动力学的过渡描述得非常清楚。欲弄懂量子动力学算符运算的读者，可以仔细研读这篇文章。特别地，文中的一些表示，比如波函数在分母上，，在别处不易见到(图1)。由于本文是英文的，也容易获取，此处不详细摘录。

图1　艾卡特1926年论文第720页上的截图

5狄拉克的等价性证明

狄拉克的“量子力学理论”[P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics,

Proceedings of the Royal Society of London

A112(762), 661—667(1926),收稿日期为1926年8月26日]一文也被认为有关于两种量子力学等价性的证明。

[内容摘录]

海森堡的新原子力学描述动力学系统的变量不遵从乘法的交换律，但满足某种量子条件。只需知道动力学变量需满足的代数律，就可以构造一个理论，可以表明只要动力学系统存在一个一致化变量集(a set of uniformizing variables)，动力学变量就可以表示为矩阵。但是对于包含超过一个电子的系统，没有一致化变量集。

最近薛定谔发展了一个新理论。其思想是，原子系统由在坐标空间中的波表示，薛定谔从变分原理得到了波函数

必须满足的微分方程。这个微分方程同确定这个系统的哈密顿方程有密切联系。如果

H

q

r ,

p

r )-

W

=0是系统的哈密顿方程，则波方程为

其中的算符
替代

H

中的

p

r ，作用到它所在项中在它右侧的一切对象上。使得在

q

-空间上满足方程(D1)的连续、单值、有界的

存在的

W

为系统的能级。当方程(D1)的一般解已知，容易得到表示

q

r

p

r

的矩阵，其满足海森堡的矩阵力学要求必须满足的所有条件(satisfying all the conditions that they have to satisfy according to Heisenberg’s matrix mechanics)，与此前得到的能级一致。两个理论的数学等价性得以建立(The mathematical equivalence of the theories is thus established)。

薛定谔的理论可以从一个略微更加一般性的观点考虑，将时间

t

和它的共轭动量

W

从一开始就与其他变量同样对待{经典力学的常规操作}。借助一个更一般的方法，只需要基本的符号代数( requiring only elementary symbolic algebra )，就能得到动力学变量的矩阵表示。

将坐标

q

t

看作普通的数学变量(这是允许的，因为它们对易)，将动量

p

W

作替换：

算符作用到它们出现的项中右侧的所有对象上，故

p

q

w

t

的函数实际上只是

q

t

的函数。

对关系(D2)在支配动力学变量的代数中需要作两点改动。(1)只有

p

w

的有理积分函数(rational integral function)才是有意义的；(2)可以对一个方程从左侧乘上一个因子，但一般来说从右侧不行。

但是有一些方程

a

b

aX

bX

对所有的

X

都成立，这样的方程是恒等式(identity)。量子条件

q

r

p

s-

p

s

q

r=

ihδ

rs，

p

r

p

s-

p

s

p

r=0就是恒等式。若方程

a

b

是恒等式，则泊松括号[

a, X

b, X

]也成立。我们假设一般方程

xy

yx

=i

h

x, y

]{这是狄拉克对量子力学的一个重要贡献}和动力学系统的运动方程都是恒等式。

一个动力学系统由关于变量的哈密顿方程来确定：

或者更一般地，方程可写为

运动方程为
，其中

是关于动力学变量的任意函数，而

s

是个依赖于(D4)式之形式的变量；若(D4)式写成(D3)式的形式，这个

s

就是

t

。在薛定谔的新理论那里，考虑方程：

如果

只是

q, t

的函数，方程(D5)就是个关于

的普通微分方程。从这个微分方程的解，那些构成力学问题的解的矩阵就可以轻松获得。

线性方程(D5)的通解为

其中

n

是一组独立的解，可称为本征函数。有时候，本征函数可以是关于某个参数

的连续集，则(D6)要由积分替代，有时候是既有分立的部分也有连续的部分{狄拉克在处理这个问题时过于仓促。求和变成积分时会带来波函数量纲的变化，考虑到波函数物理意义的诠释，对这个问题是不能含糊的。参见}。

动力学系统的任何积分常数都可以表示为其某一行或者某一列对应一个

n

的矩阵。若

a

是某个积分常数，即

Fa

aF

。这样，可得

Fa

n

aF

n

=0，也就是说，

a

n

也是方程(D5)的一个解，因此有{注意这个乘法的写法}，其中

a

mn是常数。量

a

mn就是表示

a

的矩阵的矩阵元。显然有矩阵乘法规则：

以某个

p

q

w

t

的函数

t

t

0 的值

t

0 )为例,表示

t

0 )的矩阵，其矩阵元都是

t

0 的函数。将

t

0 写成

t

，可见任意的动力学变量

t

)的函数，都可以表示为一个矩阵元只是

t

的函数的矩阵。

我们得到的矩阵不是唯一的，任何独立本征函数集

n

都可以用来构造矩阵。为了得到海森堡的原装矩阵力学(Heisenberg’s original quantum mechanics)的矩阵，应该挑选特殊的

n 。借助线性变换，动力学系统的任何给定积分常数的表示矩阵都可以弄成对角的。若哈密顿函数

F

不显含时间

t

，则

W

是系统的一个常数，即能量，我们可以选择使得表示

W

的矩阵是对角的，即：

是不显含时间

t

的动力学变量的函数，

必为

的形式，因为

与此同时，

不显含

t

将(D9)—(D10)式右侧取等，
，可解得(D8)式。

如此选择

n

，则矩阵满足海森堡矩阵力学的所有条件，除了表示实的量的矩阵应是厄米的这一条。没有简单的一般性证明，因为证明不得不用到

n

是有界的这个事实。作为特例，容易证明表示

W

的矩阵是厄米的，因为根据(D7)式

n

必有形式，其中

u

n不依赖于

t

W

n必是实的，否则

n

就不是有界的。一般来说，仅当乘上

n

的那个任意数值因子是特别选择的时候，表示实的量的矩阵才是厄米的。

我们可以认为本征函数

n 联系着系统之某些积分常数的确定数值，

aψ

n=

a

n

n，

bψ

n=

b

n

n，…意味着

n表示系统的一个量

a

b

，…分别有数值

a

n，

b

n，…的一个状态。以这种方式，我们可 以得到表示原子系统拥有确定的能量、角动量以及别的积分常数值的稳态的本征函数(In this way we can have eigenfunctions representing stationary states of an atomic system with definite values for the energy, angular momentum, and other constants of integration)。

笔者忍不住加一句：狄拉克的文章总是那么清晰。如果读狄拉克的文章还学不会量子力学，可能就没有别的著作能帮得上忙了。

6福勒的等价性论述

福勒(Ralph Howard Fowler，1889—1944)在物理教科书里可能不算特别有名，但他的几位学生如钱德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar，1910—1995)，狄拉克，哈垂(Douglas Rayner Hartree，1897—1958)，莱纳德-琼斯(John Lennard-Jones，1894—1954)，莫特(Nevill Francis Mott，1905—1996)可都是如雷贯耳的名字。对于我们中国学生来说，福勒著名学生的名单还包括王竹溪先生(1911—1983)。狄拉克是第一位量子力学博士，但他是凭借自己对创立量子力学的贡献而成为第一个量子力学博士的，与导师福勒之间只有很薄弱的学术联系。但是，福勒的深厚的物理学功底不可能对量子力学视而不见。1927年的福勒的“矩阵力学与波力学”[R. H. Fowler, Matrix and Wave mechanics,

Nature

119, 239—241(1927)]一文对于理解量子力学也极具参考价值。

[内容摘录]

我在上篇文章[R. H. Fowler, Spinning electron,

Nature

119, 90—92 (1927)] 中指出，近期原子物理的进展是由于有：(1)一个更好的电子模型；(2)一个比经典力学更适合描述原子现象的形式力学(formal mechanics)。两条独立的思路导出了同一个力学体系，但由于走的是完全岔开的路径故它们分别被名为矩阵力学和波力学。两个体系的等价性也许是当前发展之最令人惊奇而又令人满意的特征。

原子真正基本的特征(really fundamental features)是玻尔的两个公设，即存在稳态和频率关系

E

1 -

E

2 =

hν

12 ，这其中第一个是最基本的，它带来了力学规律的特别变革。为了描述原子与辐射间的相互作用我们必须认可(几乎与具体的理论无关)：(1)一个稳态的集合；(2)一个稳态间的关联(跃迁概率)的集合。碰撞问题也可纳入同样的方案。遵循经典动力学的粒子体系里没有分立的稳态(discrete stationary states)。玻尔用第三公设

J

i

n

i

h

暂时应付，取得了极大成功。不过，玻尔的稳态公设无法解决跃迁概率的问题，只能偶尔地借助对应原理。跃迁概率本质上是两个态之间的关联，可是经典运动的所有特征都是单一状态的函数(Transition probabilities are essentially connexions between two states, whereas all the characteristics of a classical motion are functions of the one state alone)。在任何(多周期)状态的经典系统，可以用一个傅里叶级数完全描述，其系数及其基频是定义状态之参数的函数。原子却不能这样描述，描述原子的系数必总是两个状态的函数。也就是说，(傅里叶级数中的)周期性项(periodic terms)排成的矩阵或曰二维阵列才是描述原子所要求的。矩阵的项依赖于两个整数

m

n

，其联系着原子的两个状态。

矩阵的乘法可能是非对易的。这些乘积之差准确地提供了量子理论厕身其间必要的代数学空隙(The difference between these products provides exactly the necessary gap in the algebra into which the quantum theory can insert itself)。

那么，可否构想出一个矩阵的动力学，其为经典动力学的自然推广且以经典动力学为其极限，还能给出计算任何相关矩阵之矩阵元的规则，类似计算傅里叶级数项的经典规则？这相当于要求，一切都要从哈密顿方程——利用经典规则的推广——直接地、毫不含糊地计算得到。老量子论的量子条件退出舞台，普朗克常数通过对易关系
进入方程。

前述关于矩阵力学之需求的描述表明其构造有直接的物理对应，矩阵的每一项都表示确实可观测的事物(its constructs have direct physical counterparts. Every term in a matrix represents something ideally observable)。原子发射、吸收或散射的光之频率与强度是可观测的，但老量子论中的力学轨道不是。可观测性是海森堡理论的关键思想。应该停止试图诠释经典计算的结果，而应该重新表述运动方程，使其每一个符号都有物理意义(we should stop trying to interpret the results of classical calculations and instead should reformulate the equations of the motion, and reformulate in such a way that every symbol has a physical meaning…)。物理意义不再局限于对最终结果的诠释(Physical meaning is no longer to be confined to interpretations of the final result)。海森堡的思想迅速导致了矩阵力学的构造{玻恩和约当构造的}。

薛定谔的波力学完全是另一个路数。德布罗意将粒子的自由运动同一簇特殊种类的平面波相类比。薛定谔更加仔细地分析了力学同光学之间的类比，此乃哈密顿力学的基础。哈密顿那里类比的是粒子的路径与光的射线，但光的传播理论分为光的射线理论(ray theory of light)和物理光学的波理论(wave theory of physical optics)。薛定谔构造了光学波理论的类比——波力学。

在粒子的波理论中，还保留粒子图像中的势能

V

和质量

m

{所以您看哪有什么截然分开的粒子图像与波图像}。粒子的运动可由通常的波方程导出，其中

是频率，

u

是波的相速度。波函数

及其算符是定义在构型空间上的。哈密顿类比(Hamiltonian analogy)要求如下关系{不明白后一个关系哪来的，量纲也不对}，作用量

h

这个普适常数如此进入类比，至于其是否是普朗克常数以后再说。这样，方程变为

波函数

必须满足连续性条件和边界条件，若其表示原子的稳态自然应该还是单值的、有界的、在整个构型空间上二阶可微的，以及在无穷远处为0。

至此尚未提及分立状态。任何让恰当的

存在的

E

值都是允许的。薛定谔理论最漂亮的地方是，一般来说，恰当的

只对一组分立的

E

n ，当然或许还连同一个连续范围的

E

值才存在。分立的

E

n是各个稳态的能量，相应的

n是稳态的波函数，后者确定原子的行为。

最简单的例子是一维谐振子，方程为

{原文缺少第二个

m

}，其中

是振子的经典频率。能量最小值为，对应的波函数为，能量的通式表达为，对应的波函数

n 有

n

个有限节点，因此原子振动的波长随着

n

的增加而变短{这话不对，对于任意的

n

，波函数都没有确定的波长}。对于初始的一些

E

n很难谈论轨道和点电子。

很难想象比矩阵力学和波力学在观念上(in conception)更不同的两个结构了，它们相同地方只在于都是经典力学的推广，保留经典力学作为极限。薛定谔提出一个物理类比，或许可以表明它们的联系。设想有一个密度可变的伸展的弦，波力学确定了其可能的振动的节点，而矩阵力学是直接决定这些节点。两个方案看似都是在稳态的能量上做了已知事实要求的改变，但两者的联系是深刻的，且几乎是完全等价的。波力学所作的改变是等价于从常规的哈密顿方程

H

q, p

E

=0为波函数

导出方程：

而不是为主函数

S

导出哈密顿—雅可比方程。这样，变量

p

变成了微分算符。矩阵力学里的对易规则用算符计算来表示则为，显然是满足的。薛定谔已经演示了如何从一个波函数完备集

n 得到一 个确定的在矩阵力学中解决同样问题的矩阵集。反过来是否成立还不确定，目前看来存在在波力学中未予表示的矩阵解是有可能的。事情出在刚性对称螺旋的例子，矩阵力学解对整数和半整数的量子数都是有可能的，而波力学中只有整量子数是允许的{此问题的矩阵力学版，David M. Dennison, The Rotation of Molecules,

Phys. Rev.

, 28, 318 (1926)；波力学版，Fritz Reiche, Die Quantelung des symmetrischen Kreisels nach Schrödingers Undulationsmechanik (根据薛定谔波力学对对称陀螺的量子化),

Zeitschrift für Physik

39, 444—446 (1926)； P. Debye, C. Manneback, The symmetrical top in wave mechanics,

Nature

119，83(1926)一文也应该被注意}}。

谈论哪种新的力学形式是更基本的，可能没有意义。大多数的工作者(the majority of workers)会发现因为波力学的代数更熟悉、更便利，因此是解决特定问题更加有效的工具。目前，两种理论在完全解决的案例中都精确地给出了对量子数的那些事实已强迫我们做出了改变。但是，波力学走得更远。它已经能让我们成功对付老量子论都不能正确地定性描述的问题，比如中性氦的高阶谱项，氢分子正离子的谱项。海森堡计算的正氦和仲氦(ortho-and par-helium)的高阶谱项取得了突出进展。此外，玻恩与奥本海默已着手建立碰撞和非周期轨道的量子论。{玻恩和海森堡作为矩阵力学的奠基人，此处他们都是用的波力学。}

无论新力学多么抽象，无论我们对其基本原理的理解多么不全面，它对理论物理的价值都不容低估。我们终于有了一种适用于任何原子的普适的动力学方法，能够通过直接计算得到任何所需的结果。我们目前还不能指望所有这些结果都是正确的，但我们相信只需要进行一些细微的修改与推广。

7冯·诺伊曼的等价性证明

对两种处于初创状态的量子力学的研究，一要为量子力学奠立坚实的数学基础，二要努力发展出统一全面的量子力学，这才是正事。这项事业对研究者的数学要求非常高，幸好世上有冯·诺伊曼(John von Neumann,1903—1957)。化工专业毕业的冯·诺伊曼不仅有数学博士学位，最重要的是拥有创造数学的天分。冯·诺伊曼为量子力学奠立了数学基础，完成了量子力学的公理化。这样的工作，是希尔伯特和外尔或也可以做，约当、狄拉克和泡利或也可勉强担当，玻恩可以插手，而薛定谔和海森堡只有表示赞赏或者不屑的份儿。谈论两种量子力学的等价性问题，一般会提到冯·诺伊曼从1927年到1932年期间的几篇论文以及他的经典著作《量子力学的数学基础》。

冯·诺伊曼1927年的“量子力学的数学筑基”的一文[John von Neumann, Mathematishce Begründung der Quantenmechanik,

Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten

1—57(1927).收稿日期为1927年5月20日]是冯·诺伊曼谈论等价性问题的第一篇，但更应该看作是量子力学已见雏形后为其奠定数学基础的努力，最后的结果是量子力学的逐步公理化。

[内容摘录]

海森堡、狄拉克、玻恩、薛定谔和约当的量子力学表示有很多全新的概念构造和问题陈述，对此我们想说：

α.研究表明，原子系统的行为同某个本征值问题相联系，描述系统的特征量的值是本征值。

β.长期以来找寻的连续的(经典力学的)与分立的(量子化的)表述之间的融合在原子世界以令人满意的方式达成了：本征值谱既有连续部分也有分立部分。

γ.量子力学倾向于表明，自然规律(或者至少是已知的量子规律)不能唯一、因果地确定原子的行为，基本规律只能给出概率分布，其只在一些特例中才退化至满足因果律的明确结果(zukausaler Schärfe entarten)。

δ.本征值问题以不同的表现形式出现：作为无穷矩阵(变换到对角形式)的以及作为微分方程的本征值问题。两种表述是等价的，因为当从波函数过渡到它的关于一个完备正交集的展开系数时，矩阵(可看作线性变换)就自微分算符(应用到波函数上)产生了。矩阵表达这个展开系数的相应的变换。

ε.两种处理方式都各有困难(Beide Behandlungsweisen haben ihre Schwierigkeiten)。在矩阵表示那里面临一个无解的问题：需将能量矩阵变换成对角形式，但这只当没有连续谱出现时才是可能的。这意思是它只能是单面的，只能有分立的(量子的)能谱(氢原子有连续谱，就无法正确处理)。可以用连续矩阵，但数学严谨地操作起来(本质上同时用矩阵和积分方程核操作)会很困难，为此得构造如无穷大矩阵的矩阵元或无穷接近的邻近对角元等概念。

ξ.在微分方程表示那里，首先没有矩阵方法里的概率预设。这一点被玻恩以及后来的泡利和约当给弥补了{玻恩提出波函数的概率诠释是他早熟悉矩阵的概率预设}，整套程序约当为一个闭合系统构建过，任凭采用那些困难的数学思考{指Pascual Jordan, Über eine neue Begründung der Quantenmechanik (关于量子力学的新筑基)，

Zeitschrift für Physik

40, 809—838(1927)一文}无法避免代入不合宜的本征函数，比如狄拉克首先使用的函数

)，其具有如下(荒唐)性质{同冯·诺伊曼、外尔相比，狄拉克的工程数学至少就深度与严谨性而言，要差很多}：

约当遭遇的困难是，不仅要计算变换算符(其积分核是概率幅，deren Integral-Kerne die Wahrscheinlichkeits-Amplitude sind)，而且还得计算于其上变换的变量范围，即本征值谱。

θ.所有这些方法的共同缺陷是，它们在计算中引入了原则上不可观测的、物理上无意义的元素：波函数要计算，因为归一化而保留直至一个绝对值为1的常数(相

e

i

)的不确定性，在

k

-重退化时相互间还保留直至一个

k

-维正交变换的不确定性。尽管结果得到的概率是不变的，但这么做却是不令人满意的，不明白为什么非要到不可观测的和不是不变的存在那里去绕个弯儿(es ist aber unbefriedigend und unklar, weshalb der Umweg durch das nicht-beobachtbare und nicht-invariante notwendig ist)。

在接下来的正文里，冯·诺伊曼不是着眼于比较两种量子力学是否等价，而是专心发展量子力学所需的数学基础——他其后的几个工作的重心皆在于此，最后的结晶是他的经典著作《量子力学的数学基础》(也请参见本系列的冯·诺伊曼篇)，此处不作深入介绍。

冯·诺伊曼的“量子力学的概率论构造”的一文[John von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik,

Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten

245—272(1927).收稿日期为1927年11月11日]也是谈论等价性问题时必会被提及的。在导言部分，确有关于两种量子力学的关系的讨论。

[内容摘录]

量子力学的新进展带来了两种原则上不同的表示方式，分别被称为波理论和变换或者统计理论(Wellentheorie und Transformations- oder Statistische Theorie)，后者是由玻恩、泡利和伦敦所开启的，由狄拉克和约当收尾的{请注意，冯·诺伊曼这里把矩阵力学称为变换理论或者统计理论，并注意到了Fritz London的贡献。笔者猜指的是Über die Jacobischen Transformationen der Quantenmechanik (论量子力学的雅可比变换)，

Zeitschrift für Physik

37,915—925(1926)一文。Fritz London对波动力学也有贡献。不过，冯·诺伊曼不用矩阵力学的说法，也不提海森堡，可能是他认为将1926年后的变换理论称为矩阵力学不合适。笔者此时有个冒昧的观点，所谓的矩阵力学只有不足两年的短暂寿命！}。

给定一个物理系统的某个物理量，它该取什么值？这些值的先验概率是什么？若某个其他的量的值事先给定了，那这些概率又如何改变？

此问题在经典力学那里也不陌生，不过在那里统计可以是“明确的”，即每一个物理量都以概率1取某些值，所有其他的值的概率为0。对此只需要测量足够多的量，对一个自由度为

f

的系统，只有2

f

个独立的量(比如位置加共轭动量)。在量子力学中却不是这样，有些量就不可以同时测量，比如一个量及其共轭动量的测量就总是不相容的(stets unverträglich)。

统计量子力学中(in der statistischen Quantenmechanik)至今常见的方法本质上是演绎的：波函数的某个展开系数的绝对值平方，或者还有波函数本身，相当教条地被当作概率，其与经验是否吻合留与以后验证。自经验事实或者概率论的基础假设出发对量子力学的系统推导，即归纳式的建立基础(inductive Begündung)，却是没有的。此外，其基本规律(概率计算的加法与乘法)的有效性也没有充分阐明。

在接下来的正文里，冯·诺伊曼阐述了量子力学概率的基本假设以及测量与状态的问题，相关内容后来都收录于《量子力学的数学基础》一书中(也请参见本系列的冯·诺伊曼篇)，此处不作深入介绍。

冯·诺伊曼关于“薛定谔算符的唯一性”一文[John von Neumann, Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren,

Mathematische Annalen

104, 570—578(1931).收稿日期为1930年8月31日]触及了量子力学表示的底层数学问题(图2)。到了这个时候，量子力学就是量子力学，波理论和矩阵代数都是其有机组成部分。这篇文章提供了理解波理论和矩阵力学之等价性所需的深刻数学，此处予以详细介绍。

图2　冯·诺依曼1931年论文，“薛定谔算符的唯一性，柏林的冯·诺依曼供稿”

[内容摘录]

所谓的对易关系PQ-QP=-iℏ1，Q是坐标算符，P是动量算符，在新量子论中具有基本的意义。P

Q是两个希尔伯特空间上的厄米泛函算符，可以凭借对易关系直到一个希尔伯特空间的转动，即一个酉(unitär)变换

U

，被唯一地确定。还要补充一点，前提是P

Q构成一个不可约系统( ein irreducibles System bilden )。若希尔伯特空间作为泛函空间来理解，为简单起见当作所有复函数的空间理解，为有限值，根据薛定谔的理论有一个特别简单的对易关系的解集：

现在的问题是，这实际上是唯一(不可约的)解吗？

请注意，如薛定谔的解所示，P

Q看似是无界的、也不是处处定义了的算符，当然PQQP也不是处处定义了的，但算符-iℏ1却总是的。欲使等式成立，左侧的定义域必须说清楚。

根据对易关系，应有：

利用
形式的函数计算一下，上式意味着：

左侧是常见的相似变换。进一步地，这意味着：

由此利用函数
可得：

此方程为外尔1927年引入[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie,

Zeitschriften für Physik

46, 1—46(1927)]，欲用来当作对易关系的替代。这样做的好处是，可以用算符P

Q作为单参数，定义酉函数簇，以及乘法规则：

前面的外尔方程变为

此外尔方程的两侧都是酉的、有界的、处处定义了的，意义完全清楚。对应的薛定谔情形为

接下来要证明，外尔方程的唯一的、不可约的解就是薛定谔的情形。证明所需的预设参见斯通(Marshall Harvey Stone，1903—1989)的论文。所有的解都会给出，包括可约的情形。这里的可约与不可约都是指希尔伯特空间的性质。{在这篇文章中，冯·诺伊曼引用了：

(1) Marshall H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space III： Operational Methods and Group Theory,

PNAS

16 (2), 172—175 (1930).

(2) Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie (量子力学与群论),

Zeitschrift für Physik

46, 1—46 (1927).

后来冯·诺伊曼对斯通的定理有专文讨论[John von Neumann, Über Einen Satz Von Herrn M. H. Stone ( 论 斯 通 先 生 的 一 个 定 理),

Annals of Mathematics

, Second Series, 33(3), 567—573(1932)]；斯通自己也有新的相关文章[Marshall H. Stone, On one-parameter unitary groups in Hilbert Space,

Annals of Mathematics

, 33(3), 643—648(1932)]。后来介绍两种量子力学等价性证明的时候，一般会说证明基于Stone—von Neumann定理，见下。如果无意了解这些学问发展的具体过程而只是想学会量子力学的数学基础，这当然包括对矩阵力学与波力学等价性的理解，熟读如下与本文有关的三本专著即可：

(1) Hermann Weyl,

Gruppentheorie und Quantenmechanik

( 群论与量子力学 ), Hirzel (1928).

(2) Marshall H. Stone,

Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis

, American Mathematical Society (1932).

(3)John von Neumann,

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

( 量子力学的数学基础 ), Springer (1932) } 。

考察用复函数实现的希尔伯特空间，其上复函数内积是有界的，内积定义为
或者。考虑其上处处有定义的、有界的线性算符

A

，其伴随算符(转置共轭算符)由关系(

Af

g

f

A

g

), (

f

Ag

A

f

g

)定义。进一步地，我们关切依赖于参数

的算符

A

)。如果所有函数(

A

f

g

)是勒贝格意义下关于

有测度的(meßbar)，则称

A

)对参数

的依赖是可测量的(meßbar)。

A

)是可测量的，则

aA

A

A

B

)以及

A

B

)都是可测量的。

在接下来的讨论中，令ℏ=1。设若所有的

U

V

)算符是酉的，依有测度的方式依赖于参数

，则如下关系成立：

引入酉算符簇

可见有关系

S

S

, -

)。若a

)是

-平面上的绝对可积的函数，则积分

是绝对收敛的。研究算符(簇)A，定义如下

，其中函数a(

α, β

)称为

A

的核。因为

S

S

, -

A

* 对应的核为函数的核分别为算符积AB的核为

{这算是一种卷积}。

最后，若算符

A

=0，则它的核

a

)直到一个勒贝格测度的空集为0(bis auf eine Lebesguesche Nullmenge)。

A

=0，自然有

S

u

, -

v

AS

u

v

)=0，但

S

u

, -

v

AS

u

v

)=0 对应的核为e i(

αv

βu

a

α, β

)，故有关系：

为了薛定谔算符的唯一性证明，考察算符

A

，即考察核

a

α, β

的情形。这是一个不为0的厄米算符，而

AS

u, v

A

A

只差一个常数因子。

S

u, v

A

的核为，计算可得到

AS

u, v

A

的核为，于是有关系：

这里可以看到有

AA

=2π

A

，即

u

=0,

v

=0的情形。

现在研究如何解方程

Af

=2π

f

，这就是此处研究的交换关系的形式。因为

A

是线性、有界的，解在希尔伯特空间上构成一个闭合线性流形

M

。记同

M

正交的闭合线性流形为

R

R

里的元素

f

通过同流形

M

中的元素()的正交性所表示，即总有(

f

Ag

)=0，或者总有(

Af

g

)=0，或者

Af

=0。

对于同属流形

M

f, g

，有：

1 ,

2 , …为一正交归一函数集，在流形

M

中是完备的，

S

α, β

n (

n

固定，

α, β

改变)所张的闭合线性(子)流形

B

n是不变的。

B

1,

B

2, …张成整个希尔伯特空间。

S

α,β

n 简记为

f

α,β ，有：

线性簇(Linearaggregate)

f

α,β

在(子)流形

B

n上处处是稠的。如果我们能证明任何两个这样的(子)流形，其上的酉算符

S

α, β

)和点

f

α,β

有上述性质，是同构的，我们就达到目的了。

回到此前的变换

U

V

)问题，有如下论述：一个酉算符系统

U

V

)，连同张成整个希尔伯特空间的点

f

α,β

系统，经如下性质可唯一地(直到一个未定的酉变换)确定：

在多自由度的量子力学问题中，有如下交换关系集(图3)：

引入算符
则有外尔关系：

图3 冯·诺伊曼1931年论文578页上的截图

从一般的表示论的观点来看，此处处理问题的方式同弗罗贝尼乌斯(Ferdin and Georg Frobenius，1849—1917)用“特征单位元素“处理有限群，外尔借助群数(Gruppenzahlen)研究封闭连续群有联系。算符
可诠释为

S

)群的群数，而

AS

u,v

A

c

u,v

A

c

u, v

是一个数)与原初特征单位元素的定义性质等价。

冯·诺伊曼的这个证明，总结起来一句话，就是关于量子力学基本对易式一定要和希尔伯特空间以及其上的酉变换一起全面地理解。笔者斗胆说一句，跟约当和冯·诺依曼关于QP-PQ=iℏ1的大量工作相比，海森堡1927年基于QP-PQ=iℏ1提出的所谓“不确定性原理”的工作就是一个小玩笑。这个小玩笑被广为传颂和误解误用就是它是小玩笑的证据，它和薛定谔1935年“论量子力学的现状”这篇严肃论文被演绎出一只又死又活的猫如出一辙。热衷于怪力乱神而不愿或者无力对待严肃学问，这就是科学研究、科学教育与科学传播中的冰冷事实。

两种量子力学的等价性证明，后来的文献会说是冯·诺伊曼基于Stone—von Neumann定理证明了薛定谔的表述与海森堡的表述是酉等价的(unitarily equivalent)。所谓的斯通的工作，见于系列文章Marshall H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space I： Geometrical Aspects,

PNAS

15(3), 198—200 (1929)； II： Analytical Aspects,

PNAS

15(5), 423—425 (1929)； III： Operational Methods and Group Theory,

PNAS

16 (2), 172—175(1930)，以及前述的1932年的一篇论文和长篇专著(622页)。愿意夯实量子力学基础的读者不妨读读这些专著。

冯·诺伊曼还就斯通的定律自己写了一篇论文“论斯通先生的一个定理”，对理解等价性证明有用。兹略述如下。若一个希尔伯特空间 上的酉算符簇

U

t

具有群的性质，

U

t

U

s

U

t+s，其中

s, t

为实数，则存在单位算符

E

)的一个分割{请比照阅读John von Neumann, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren (厄米特泛函算符的一般性本征值理论)，

Math. Ann.

102, 1(1929)}，使得符号上成立。对于任意两个希尔伯特空间上的函数

f

g

, (

U

t

f

g

)= 。这里的前提是

U

t是

t

的连续函数。这就是Stone—von Neumann定理。

Stone—von Neumann定理可用来证明位置与动量算符之间的正则对易关系的唯一性。外尔1927年注意到，正则对易关系[x

p]=iℏ1在有限维空间上不成立[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie,

Zeitschrift für Physik

46, 1—46(1927)]。Stone—vonNeumann定理断言，正则对易关系的任何两个不可约表示是酉等价的(unitär equivalent)。大意是，引入为酉群元素的e i

Qt

，e i

Ps

，则e i

Qt

e i

Ps

=e -i

st

e i

Ps

e i

Qt

。反过来，若给定两个单参数的酉群，

U

t

),

V

s

)，满足关系

U

t

V

s

e

-i

st

V

s

U

t

)，则在参数

s, t

为0处微分所得到的群生成元满足正则对易关系。

冯·诺伊曼的《量子力学数学原理》是阐述公理化的量子力学的经典，用了第一章的3，4两节来谈论两种量子力学的等价性。冯·诺伊曼在书中的表述可看作是对这个问题的总结性发言，简明易懂。

[内容摘录]

§3 变换理论

矩阵理论的基本问题是确定矩阵

Q

1 …

Q

k，

P

1…

P

k，其一方面要满足交换关系，另一方面须使得哈密顿函数

H

Q

1…

Q

k，

P

1…

P

k)是对角的。玻恩和约当在他们的第一篇文章中就将其分为两步。

首先是找到一组矩阵
满足交换关系，...