三百年几何猜想被推翻，数学家首次发现「穿不过去」的多面体

选自quantamagazine

作者：Erica Klarreich

机器之心编译

想象一下，你手里拿着两个大小相同的骰子。有没有可能在其中一个骰子上钻一条通道（tunnel），让另一个骰子能从中滑过去？

你的直觉也许会告诉你「不可能吧」，如果是这样，你不是唯一这样认为的。17 世纪末，一位身份不明的人就此与莱茵河的鲁珀特亲王打了个赌。鲁珀特是英王查理一世的侄子，曾在英国内战中担任保皇党军队的指挥官。他在温莎城堡的实验室中度过了晚年，从事冶金和玻璃制造的研究。鲁珀特赢得了这场赌局。

鲁珀特亲王

数学家 John Wallis 在 1693 年记述了这个故事，但并未说明鲁珀特是否写下了证明，或者真的在立方体上钻出了那个通道。不过 Wallis 自己给出了数学证明：如果沿着立方体内部对角线的方向钻一条直通道，这条通道确实可以足够宽，让另一个相同大小的立方体穿过。这是一个极其紧密的契合，如果第二个立方体只比原来大 4%，它就无法通过。

人们自然会好奇，还有哪些形状具备这种性质。谷歌软件工程师 Tom Murphy 表示，他在业余时间深入研究过这个问题，并称，「我认为这个问题非常经典，它一定会被一遍又一遍地重新发现，就算是外星人也会遇到它。」

把一个立方体倾斜到角上，另一个就能穿过它。

形状的种类太多，无法一一穷尽，因此数学家通常专注于凸多面体，即像立方体那样具有平面表面、没有突起或凹陷的形状。当某种形状在某些方向上比其他方向宽得多时，通常很容易找到一条可以让另一个相同形状通过的通道。但许多著名的凸多面体，例如十二面体或截角二十面体（足球的形状）具有高度对称性，难以分析。在这些形状中，「几百年来我们只知道立方体具备这种性质，」Statistics Austria 的数学家 Jakob Steininger 说。

直到 1968 年，数学家 Christoph Scriba 才证明四面体和八面体也具备这种称为「鲁珀特性质」的特征。而在过去十年中，专业数学家与业余爱好者又陆续发现，许多广为研究的凸多面体，包括十二面体、二十面体以及足球形状，都能找到「鲁珀特通道」。

鲁珀特性质似乎普遍存在，以至于数学家提出了一个普遍假设：每一个凸多面体都拥有鲁珀特性质。几乎没人能找到例外，直到现在

诺珀特多面体（Noperthedron）。迄今为止，它是唯一一个被证明不具备鲁珀特性质的形状。

在八月的一篇论文中，Jakob Steininger 与另一位 A&R Tech 的研究者 Sergey Yurkevich 描述了一种拥有 90 个顶点和 152 个面的形状，他们将其命名为「诺珀特多面体」（Noperthedron，名字源于 Rupert 和 nope 的组合）

他们证明，无论你怎样在诺珀特多面体中钻一条直通道，第二个相同的诺珀特多面体都无法穿过

• 论文标题：A convex polyhedron without Rupert’s property
• 论文地址：https://arxiv.org/pdf/2508.18475

这一证明需要理论上的突破与大规模计算机运算的结合，并依赖于诺珀特多面体顶点间一种极其微妙的性质。Steininger 表示：「它能成立简直是个奇迹。」

穿过阴影

要理解一个立方体如何能穿过另一个立方体，可以想象你手里拿着一个立方体，放在桌面上方，从上方照射光线，观察它在桌面上的影子。如果你让立方体保持标准姿势，影子是一个正方形。但如果你把其中一个角朝上指向光源，影子就会变成一个正六边形。

1693 年，John Wallis 证明了正方形的影子可以完全嵌入这个六边形之内，只留下极窄的边缘。这意味着，如果让立方体的一个角朝上，你就可以垂直钻出一条通道，这条通道足以让第二个立方体穿过。

大约一个世纪后，数学家 Pieter Nieuwland 发现另一种姿态可以投射出更理想的影子 —— 这种影子可以容纳一个比原通道立方体大 6% 以上的立方体。

对更复杂形状的每一次后续分析，都依赖于这样一个过程：将形状从不同方向旋转，寻找一种投影（阴影）可以嵌入另一种之中。在计算机的辅助下，数学家们已经在各种形状中找到了鲁珀特通道。其中，有些契合得极其紧密，例如在一种名为「三尖四面体」（triakis tetrahedron）的形状中，通道余量仅约为该形状半径长度的 0.000002 倍。史密斯学院名誉教授 Joseph O’Rourke 表示：「计算与离散几何结合的世界已经开花结果，使得这类计算成为可能。」

那些编写算法以寻找鲁珀特通道的研究者注意到一个奇特的二分现象：对于任意给定的凸多面体，算法要么几乎立刻就能找到通道，要么完全找不到。在过去五年中，数学家们积累了一小批尚未找到通道的「顽固」形状。

约翰斯・霍普金斯大学的应用数学家 Benjamin Grimmer 使用台式机连续运算了两周，只为测试菱方截二十十二面体（rhombicosidodecahedron）。这种立方体由 62 个规则三角形、正方形和五边形组成。「它似乎就是对任何尝试都毫不妥协。」

菱方截二十十二面体是目前最有希望的「诺珀特」候选形状。

但是，这种抗拒并不能证明某个形状就是诺珀特。原因在于，形状可以有无穷多种取向方式，而计算机只能检查有限多种。研究者并不确定这些「顽固者」究竟是真正的诺珀特，还是只是那些鲁珀特通道极难找到的形状。

他们所知道的是，诺珀特候选者极为罕见。从去年开始，Murphy 开始构造数亿种不同的形状。这些包括随机生成的多面体、顶点分布在球面上的多面体、具有特殊对称性的多面体，以及他故意移动一个顶点以破坏原有鲁珀特通道的多面体。他的算法几乎能轻松地为每一种找到鲁珀特通道。

这些快速成功的结果与少数顽固「候选者」的强烈对比，让一些数学家怀疑真正的诺珀特确实存在。但直到今年八月，他们拥有的还只是猜测。

无通道

现年 30 岁的 Steininger 和 29 岁的 Yurkevich 从少年时期参加数学奥林匹克竞赛时就是朋友。尽管两人后来都离开了学术界（Steininger 获得硕士学位，Yurkevich 获得博士学位），但他们一直在共同探索尚未解决的数学难题。

Sergey Yurkevich（左）与 Jakob Steininger（右）。

「我们三个小时前刚吃了披萨，几乎整顿饭都在谈数学，」Steininger 在接受《量子杂志》采访时说。「这就是我们平常的样子。」

五年前，他们偶然看到一个展示「一个立方体穿过另一个立方体」的视频，并立刻被吸引。他们开发了一种用于搜索鲁珀特通道的算法，并很快确信有些形状是诺珀特。

在 2021 年的一篇论文中，他们提出菱方截二十十二面体并不具有鲁珀特性质。他们的研究早于 Murphy 和 Grimmer 的最新探索，因此 Steininger 自认为是第一个提出可能存在不具备这种性质的立方体工作。

• 论文标题：An algorithmic approach to Rupert’s problem
• 论文地址：https://arxiv.org/pdf/2112.13754

如果你想证明某个形状是诺珀特，就必须排除在两种形状的所有可能取向下存在鲁珀特隧道的可能性。每一种取向都可以用一组旋转角度来表示，而这组角度又可以表示为高维「参数空间」中的一个点。

假设你为这两个形状选择了一种取向，计算机告诉你，第二个形状的阴影超出了第一个阴影的边界。这就排除了参数空间中的一个点。

但你可能不仅能排除一个点。如果第二个阴影超出的部分相当明显，那么要让它重新进入第一个阴影，需要进行较大的调整。换句话说，你可以排除的不只是最初的取向，还包括所有邻近的取向，也就是参数空间中整块的区域。

Steininger 和 Yurkevich 提出了一个他们称为「全局定理」的结果，用于精确量化在这种情况下可以排除的区域块有多大。通过测试许多不同的点，人们可以逐步在参数空间中排除一个又一个区域块。

如果这些区域块覆盖了整个参数空间，那么你就证明了该形状是一个诺珀特。但每个区域块的大小取决于第二个阴影超出第一个阴影的程度，而有时这种超出非常微小。

举例来说，如果你从两个形状完全重合的位置开始，然后仅让第二个形状稍微旋转一点，它的阴影最多只会在第一个阴影之外略微伸出一点，因此全局定理只能排除一个极小的区域块。这些区域太小，无法覆盖整个参数空间，这就留下了一个可能性：也许还有某个未检查到的点对应着一条鲁珀特通道。

为了解决这些小幅度重新取向的问题，两人提出了一个与全局定理互补的结果，他们称之为「局部定理」。这个定理处理的是在原始阴影的边界上能找到三个满足特定条件的顶点（或角点）的情况。例如，如果将这三个顶点连接成一个三角形，它必须包含阴影的中心点。

研究者证明，如果满足这些条件，那么无论怎样对形状进行微小旋转，都会使新的阴影至少让其中一个顶点进一步向外延伸。因此，新的阴影无法完全落在原来的阴影之内，也就意味着不会形成鲁珀特通道。如果某个形状的阴影缺少满足条件的三个顶点，局部定理就无法适用。而此前所有被认为可能是诺珀特的候选形状，都至少有一个阴影存在这种问题。

Steininger 和 Yurkevich 查阅了一个包含数百个最对称、最优美的凸多面体的数据库，但仍找不到一个所有阴影都符合条件的形状。于是，他们决定自己生成一个合适的形状。

他们开发了一种算法，用于构造形状并测试其是否具备「三顶点」性质。最终，该算法生成了「诺珀特多面体」，它由 150 个三角形和两个规则十五边形组成。其外观像一个圆润的水晶花瓶，底部和顶部都很宽。有位网友已经用 3D 打印制作出一个模型，用作铅笔筒。

图源：https://bsky.app/profile/fractalkitty.com/post/3lxkvjiqa2c2p

接着，两人将取向的参数空间划分为大约 1800 万个微小区域块，并测试每个区域中心点对应的取向是否会产生鲁珀特通道。结果一个也没有。随后，他们又证明每个区域块都满足局部定理或全局定理，从而排除整个区域。由于这些区域块填满了整个参数空间，这就意味着诺珀特多面体不存在任何鲁珀特通道。这就意味着，「那个被普遍认为正确的自然假设被推翻了。」

至于数学家们能否利用这种新方法构造出更多诺珀特形状，或找到能够处理如菱方截二十十二面体等候选者的另一种局部定理，还有待观察。但既然数学家如今已经确认诺珀特确实存在，「我们就有了坚实的基础去研究其他形状了」，Murphy 说。

与此同时，Steininger 和 Yurkevich 正寻找新的问题去挑战。「我们只是谦逊的数学爱好者，热爱这类问题，并会一直这样探索下去。」

原文链接：https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/