综合与实践：三角形旋转放缩——2025年江西省中考数学第23题

综合与实践：三角形旋转放缩

2025年江西省中考数学第23题

在2022版新课标中，对于综合与实践版块的要求相对原课标有较大提升，初中阶段的综合与实践与小学不同，多采取项目式学习的方式，以问题解决为导向，并不单纯是解题，学生在解决问题的过程中会运用到数学思想方法和其它学科的知识，通常情况下每一次项目式学习都有其目的，涉及到的数学思想方法并不相同。

三角形的旋转放缩，源自于人教版数学九年级下册的相似三角形，而旋转变换则是在九年级上册，安排在圆的前面，和七、八年级所学习的平移、全等、轴对称等一起，构成初中几何的基本图形变换方式，以这几种基本图形变换为基础，可以衍生出更多变换类型，有一些便是我们熟悉的各种解题模型例如手拉手。

而从特殊到一般的研究思路，则贯穿整个数学学习过程。

题目

综合与实践

从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开研究。

特例研究

在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.

(1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为__________；

(2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BF:OE的值；

(3)如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，猜想BF:OE的值是否与α有关，并说明理由；

(4)若(3)中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.

解析：

01

(1)在正方形ABCD中，我们很容易证明△AOB∽△ADC，如下图所示：

通过它们的一组对应边AO与AD的夹角可确定旋转角为45°，相似比为1:√2，即k的值为√2；

02

(2)由题意可得△AOB∽△AEF，所以∠OAB=∠EAF，于是∠FAB=∠EAO，再加上∠AOE=∠ABF=90°，可得△ABF∽△AOE，得到AB:AO=BF:OE，而在△AOB中，AB:AO=√2，所以BF:OE=√2；如下图所示：

03

(3)先根据题目要求完成作图，如下图：

借助前面探究的结果，我们用同样的思路，先由题目条件得到△AOB∽△AEF，得∠OAB=∠EAF，所以∠BAF=∠OAE=α，又由AO:AE=AB:AF得AO:AB=AE:AF，所以△BAF∽△OAE，得BF:OE=BA:OA，对于△AOB，它是特殊等腰三角形，由菱形ABCD，∠ABC=60°可得等边△ABC，而OC是AB边上的垂直平分线，菱形对角线BD是∠ABC角平分线，由三线合一可得点O是△ABC的中心，所以△AOB是等腰三角形且∠ABO=30°，在这个三角形中，底是腰的√3倍，于是BA:OA=√3，即BF:OE=√3；

可知这个结果与α的值无关.

在解决最后一个探究之前，不妨将(2)，(3)两个问题进行简单的归纳，当四边形ABCD由正方形变成含60°角的菱形，BF:OE的值由√2变成了√3，而正方形的对角线与边长之比为√2，含60°角的菱形较长对角线与边长之比为√3，它们与BF:OE之间是否存在必要联系？

带着这个问题，以及前面两个小题的研究方法，再进入下一个问题；

04

(4)在备用图中按(3)中要求作图如下：

前面已经探究出来的方法告诉我们，△AOB∽△AEF，依然可证明△ABF∽△AOE，既然前面已经知道BF:OE的值与旋转角无关，那么我们的重点应放在菱形ABCD的较长对角线与边长的比值上，即△BAD的底与腰之比，而△BAD∽△AOB，因此我们要关注△AOB的底与腰之比，题目要求探索的三条线段分别是BE，BF，AB，其中BE在对角线BD上，AB是菱形的边长，接下来我们需要建立这三条线段和我们已经探索出的线段关联.

∠ABC=β，则∠ABO=1/2β，由OG是AB的垂直平分线可得Rt△GBO，可知cos1/2β=BG:OB，所以BG=OB·cos1/2β，进一步得到AB=2OB·cos1/2β，再由已经证明过的相似三角形△ABF∽△AOE得AB:AO=BF:OE，而AB:AO=AB:OB=2cos1/2β，则BF:OE=2cos1/2β；

所以BF=2OE·cos1/2β，而OE=BE-OB=BE-AB/2cos1/2β，代入前面式子，可得BF=2(BE-AB/2cos1/2β)·cos1/2β=2BE·cos1/2β-AB.

解题反思

本题中的相似三角形的证明不是难点，事实上题目条件叙述的过程中，已经把相似的条件都给出来了，而寻找相似三角形也不是难点，图形呈现中并没有给寻找相似三角形制造障碍，甚至于多次相似三角形中都属于可以一眼瞧见的类型，这和某些省市中考题里，在相似三角形的构造或寻找中设置障碍大不相同，对于这个知识点的难度设置，符合新课标的要求，非常难得。

相似既然不是难点，那么本题难在哪里？

首先是方法的迁移，从正方形中的特殊相似三角形，到正方形的一般相似三角形，再到特殊菱形中的相似三角形，最后到一般菱形中的相似三角形，和题目开头所说的“从特殊到一般”吻合；

其次是线段比值的运用，我们在学习三角函数的时候，很多老师喜欢把这部分内容简化或弱化成几个特殊三角函数值的记忆，最多利用边长比为1：2：√5或3：4：5的直角三角形，这违背了课标中对三角函数的要求，教材中既然称之为函数，我们需要让它有函数味道，即角度大小和线段比值间，存在对应关系，从4个小题设置来看，√2，√3是特殊比值，而到最后的小题，比值变成了cos1/2β，若β是常量，则这个比值也是常量，学生如果理解了这一点，则此题再无难度，这仍然体现了从特殊到一般的思想。

最后说一下这道题的情景，新课标中说综合与实践“在社会生活和科学技术的真实情景中”，我们不能只看前半句，科学技术包括数学，于是数学本身也是真实情景，包括图形、符号等抽象元素，数学原本就应该是学生脑海中的情景，抽象但真实。

在张钦博士的系列丛书《从优秀试题中领悟初中数学教学》中，每册书后的博士主张，值得认真阅读学习，尤其是青年教师。