一次又一次执着于证明的意义——《量子杂志》每周数学随笔

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每周量子杂志都会解释推动现代研究的最重要思想之一。本周，数学特约撰稿人约瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）探讨了为什么值得寻找同一真理的多个不同途径。

图源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子杂志特约撰稿人）2025-10-6

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-10-8

数学家的目标是扩展我们所知道的。因此，他们大部分时间都在思考如何证明新命题。因此，一旦他们将猜想变成定理，你就会期望他们继续讨论一个新问题。毕竟，他们的工作是不断向清单添加新的真理。

但证明的价值不仅仅在于将新命题移动到“已知”列。数学家希望尽可能深入地理解“为什么”。可以让读者相信证明中的每个步骤都遵循前一步的逻辑，即使读者并不完全理解其中的深层数学联系。审阅这样的证明时，你会错过那种难以言喻的顿悟洪流——正是这种顿悟，日复一日地驱使着数学家们站到黑板前。当他们谈论“漂亮”的证明时，他们指的是满足他们对真正理解特别渴望的证明。

因此，即使在某件事被证明之后，数学家也经常会寻找通往相同真理的替代途径，特别是当他们发现现有路径不令人满意或不优雅时。通常，重新证明会以数学家以前错过的方式阐明其结论。有时，在构建第二个、第三个或第四个证明的过程中，数学家会发明新的技巧，从而产生不相关的令人惊讶的发现。数学的历史充满了例子，这些例子中，已被证明的命题的新证明可以归功于最终将某些东西移入“理解”列。

使一个证明比另一个证明更好的美德是非常主观的和人文化的。正是由于这些审美价值观，该领域经常被比作艺术和科学。对数学家来说，证明是一首交响乐，是一件艺术品，不仅关乎最后的音符，还关乎一个人到达那里必须经历的启示之旅。

新增的和值得注意的内容

不出所料，数学中被重新证明最多的定理往往是最著名、最古老的。很少有某种数学痴迷之物比素数更古老或更著名。素数特别集中在数轴的低端——0 到 50 之间有 15 个素数，但在 10000 到 10050 之间只有 4 个。素数定理是描述这种分布的方程。两位数学家于1896年独立证明了这一点。但一个多世纪后，新的证明不断出现 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/ 。造成这种情况的原因有很多：这是一个基本定理；许多其他定理都依赖于它；这是磨练数论家证明能力的好方法。

数学家对证明感到不适的一个常见来源是计算机的参与。现代机器可以以超出任何数学家能力的规模执行繁琐的计算任务，但它们产生的证明往往缺乏人类同行所珍视的任何不可言喻的性质。

托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）1998年对开普勒猜想（一个关于一个盒子里可以塞多少个球体的问题）的基于计算机的证明 https://www.quantamagazine.org/in-computers-we-trust-20130222/ 非常有争议，以至于他不得不花六年时间对每一步进行编码，并将其输入到一个形式化的验证程序中，以说服所有人它是有效的。

数学家们继续热切地等待着 https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/ 四色定理的纸笔证明（关于是否有可能用四种或更少的颜色为地图上的国家着色，使得没有相邻国家具有相同的颜色）——尽管沃尔夫冈·哈肯在半个世纪前就借助 1000 小时的计算机时间证明了这一点。

量子杂志撰稿人Lyndie Chiou和我最近合写了一个故事，关于一个著名的重新证明 https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/ ——请参阅。“十杯马提尼”问题是问当生活在原子网格上的电子被放置在磁场中时会发生什么。数学家马克·卡克 （Marc Kac） 曾经向任何能够证明电子能量值形成分形图案的人提供10杯马提尼酒。数学家最终找到了一个证明，但它从未与它的作者之一斯维特兰娜·吉托米尔斯卡娅 （Svetlana Jitomirskaya） 相符。证明涉及使用不同的技术解决不同的情况，给人一种拼凑的被子，零碎地建造的感觉。数学真理感觉足够深刻，以至于吉托米尔斯卡娅怀疑应该有一个更优雅的证明来同时处理所有不同的情况。

一些数学家对漂亮的证明如此着迷，以至于他们相信并寻求每个数学论证的柏拉图式理想。保罗·埃尔多斯（Paul Erdős）曾谈到过著名的所谓《“圣经”》（The Book），这是一本只有上帝知道的巨著，其中包含了所有这些完美的证明。就在他去世几年后，两位数学家出版了他们的版本《“圣经”中的证明 》。2018年，他们与量子杂志撰稿人 Erica Klarreich 讨论了该纲要的前五个版本 https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/ ，以及为什么某些证明属于“圣经”。

网络上的报道

证明也像语言。他们让数学家将只存在于他们脑海中的概念传达给他们的同事——有时并不完美。比尔（威廉）·瑟斯顿 （Bill Thurston） 的一篇著名的 MathOverflow 帖子（陶哲轩等人的回复）愉快地沉思了这项棘手的努力 https://mathoverflow.net/questions/38639/thinking-and-explaining 。

如果证明美学的主观性与你对数学应该如何运作的想法不符，那么你并不孤单。大卫·希尔伯特（David Hilbert）于1900年提出的著名的 23 个问题，以指导下个世纪的数学，其数量接近 24 个。 希尔伯特决定不包括这个问题 https://www.aemea.org/math/Hilbert_Problem_24.pdf 要求一个客观的指标，用于根据简单性对给定命题的证明进行排名。吕迪格·蒂勒 （Rüdiger Thiele） 从他的笔记中重新发现了它，他在2003年《美国数学月刊》 的一篇文章中写到了这一点。

你如何区分一个命题的不同证明？正如数学家蒂姆·高尔斯 （Tim Gowers） 在他的博客上讨论的那样，判断两个证明实际上是相同的 https://gowers.wordpress.com/2007/10/04/when-are-two-proofs-essentially-the-same/ 并不总是那么容易。我想知道他会如何看待最近的预印本，该预印本声称勾股定理有无限多证明 https://arxiv.org/abs/2301.06812 。

参考资料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-black-holes-keep-pulling-physicists-in-4867639

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-will-never-stop-proving-the-prime-number-theorem-20200722/

https://www.quantamagazine.org/in-computers-we-trust-20130222/

https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/

https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/

https://www.quantamagazine.org/gunter-ziegler-and-martin-aigner-seek-gods-perfect-math-proofs-20180319/

https://mathoverflow.net/questions/38639/thinking-and-explaining

https://www.aemea.org/math/Hilbert_Problem_24.pdf

https://gowers.wordpress.com/2007/10/04/when-are-two-proofs-essentially-the-same/

https://arxiv.org/abs/2301.06812

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