套路自创方有用——2025年安徽省中考数学第22题

套路自创方有用

2025年安徽省中考数学第22题

在2022版新课标中，对于轴对称变换的要求如下：

新人教版初中数学八年级上册第十五章轴对称，安排在全等三角形之后，在前面我们也学习过平移变换，我们需要迁移前面学习平移的方法至轴对称，有了全等三角形作为铺垫，因此这一章节研究最多的，是三角形相关的轴对称，例如等腰三角形，到八年级下册，在平行四边形或特殊平行四边形中，我们会再次运用轴对称，所以在八年级上学期，这一章内容需要帮助学生深入理解。

我们在解题过程中，需要先观察图形，发现其中的轴对称图形，或者构造出轴对称图形，帮助我们建立条件与结论间的关联，从而找到解题思路。而一旦成功建立起这种关联，在解题过程中又遇到类似的情景，便可重复使用，用通俗点的语言，我们找到了一种解题套路(模型)，虽然在教学中我们要避免将解法套路化，但是若能引导学生发现甚至构建模型，这种“套路”应鼓励学生使用，在新课标中，我们称之为模型意识、模型观念.

题目

已知点A‘在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA'的垂直平分线，连接A'E.

(1)如图1，若BA'的延长线经过点D，AE=1，求AB的长；

(2)如图2，点F是AA'的延长线与CD的交点，连接CA'.

(i)求证：∠CA'F=45°；

(ii)如图3，设AF，BE相交于点G，连接CG，DG，DA'，若CG=CB，判断△A'DG的形状，并说明理由.

解析：

01

(1)由BD是正方形对角线可知∠A'DE=45°，由BE是线段AA'的垂直平分线可知△BAE与△BA'E关于BE轴对称，则∠BA'E=∠DA'E=90°，于是得到等腰Rt△A'DE，且AE'=AE=1，所以DE=√2，则AD=√2+1，故AB=√2+1；

02

(2)图中已经存在等腰△ABA'和等腰△A'BC，充分利用好这两个轴对称图形，本小题容易求解；

(i)方法一：

联想到等腰三角形顶角和底角间的数量关系，可得∠AA’B=90°-1/2∠ABA'，∠CA'B=90°-1/2∠A'BC，将这两个等式相加得：

∠AA'C=180°-1/2(∠ABA'+∠A'BC)=180°-1/2∠ABC

=180°-45°=135°

最后求出∠CA'F=45°；

方法二：

将等腰△A'BC的对称轴作出来，如下图：

作A'C的垂直平分线，交AA'延长线于点G，对于图中两个等腰三角形，均出现了“三线合一”，所以可得∠A'BH=1/2∠ABA'，∠GBA'=1/2∠A'BC，它们相加后∠GBH=1/2∠ABC=45°，而对于△GBH，判断它是等腰直角三角形，则∠G=45°，又BG⊥A'C，可求出∠CA'F=45°；

其实这个结论可以作为本题的专属“模型套路”，观察∠CA'F的位置，它是四边形ABCA’的一个外角，且这个外角相邻内角恰好对着∠ABC，如下图：

不妨给它一个文字描述：由两个等腰三角形拼成的四边形ABCA'中，AB=A'B=CB，∠ABC=90°，则∠AA'C=135°，它的外角等于45°.

(ii)当CG=CB时，我们又得到新的等腰三角形，前一小题中归纳出来的“模型套路”就出现了，如下图：

所以用同样的方法可求出∠DGB=135°，而AA'⊥BE，可得∠DGA'=45°；

不妨作新等腰△BCG的顶角平分线CH，交AB于点H，交BG于点K，很容易得到K是BG中点，且CH∥AF，即可证KH是△ABG中位线，所以点H是AB中点；

再证明△ABE≌△BCH，这是正方形内的常见全等三角形，得点E也是AD中点，结合前面的轴对称性质，可得AE=A'E=DE，借助圆的概念可得点A'在以AD为直径的半圆上，所以∠DA'G=90°，因此△A'DG是等腰直角三角形.

解题思考

本题涉及到正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、中位线性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定等，其中的正方形、等腰三角形、等腰直角三角形都属于轴对称图形，条件中还有垂直平分线的描述，这都要求我们对轴对称概念要深入理解，其实本题条件也可以换一种描述方式，例如正方形ABCD中，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE对折后，点A'落在正方形ABCD内部，这就是我们常见的题目了.

当我们在解题过程中，遇到条件类似结论也类似的情况，往往可以写“同理”可证，这其中的关键是判断是否“类似”，以本题为例，两个等腰三角形拼在一起成为一个四边形，且这两个等腰三角形的顶角顶点重合，两个顶角相加等于90°，于是成为一种特殊四边形，在第2小题中我们成功求得这个四边形90°角的对角是135°，而在最后1小题中，当CG=CB条件又给出新的等腰三角形之后，我们同样可寻得新的特殊四边形，所以思路可以很快得到∠DA'G=45°，所以新增条件对原图形有什么影响，是首先要观察的，在解这一类几何综合题时，辅助线的构建并不是空穴来风，而是有迹可循，前面我们用到了三线合一，那么后面的解题，我们便可试试构造等腰三角形的对称轴，这就是通常所说的常规常法.

在平时的课堂教学中，我们会遇到很多类似的几何题，而这些几何题之间，也会存在某种关联，第m题和第n题很像，若头脑中有这种印象，老师可立刻引导学生思考，它们哪里像？是条件中有相同的描述，还是结论一样，甚至图形看上去差不多？解完它们之后，再比较它们的思考过程，从中找到相通点，这一系列工作完成之后，我们便会惊喜地发现，学生找到了一种解题模型，为方便记忆，给它起个名儿，诸如“手拉手”、“脚拉脚”等，这样的解题模型，从发现到建立，有利于学生核心素养的提升.

任何模型的建立，都是我们从相关数学概念中抽出部分元素，重新排列组合而成，所以数学概念是所有模型的基础，描述数学概念的数学语言和描述模型的数学语言是相同的，若概念学习不扎实，模型建立便无从谈起.