理解动态图形求最值——2025年安徽省中考数学第10题

理解动态图形求最值

2025年安徽省中考数学第10题

在动态几何图形中，动点、动线均可视为因变量，受它们影响，图形的其它部分也随之发生变化，以动点为例，点在直线上、点在射线上、点在线段上意味着因变量本身存在一个范围，相应的，随之变化的点、线，也可能存在一个变化范围，这就是几何最值产生的原因。

在此类题目中，构图是最关键的步骤，虽然题目会给出参考图，是静态图形，通过阅读题目条件，想像点、线的运动状态，找准关键点(临界点)，并以此为突破口，解决最值问题。

题目

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（ ）

A.EC-ED的最大值是2√5 B.FB的最小值是√10

C.EC+ED的最小值是4√2 D.FC的最大值是√13

解析

对于四边形ABCD而言，它是一个直角梯形，且各边长度均为定值，源动点是点E，它带动点F运动，同时线段ED、EC、FB、FC随之改变长度。

观察ED和EC，当点E在线段AB上由A到B，当E与A重合时ED最短为1，EC最长为5，当E与B重合时ED最长为√17，EC最短为3，所以EC-ED存在最大值4；

判断选项A错误；

当点E在线段AB上运动时，点F沿经过点F且垂直于AB的直线运动，如下图：

我们将△ADE也绕点D逆时针旋转90°，得△GDF，由于点E运动受限，在线段AB上，所以点F也存在一个范围，我们知道BF最短时，理应是当BF⊥FG，这意味着点F在AB上，但点F不能到达AB，它最低点就是点G，此时点E与A重合，我们可求出FB的最小值就是图中的BG，我们不妨连接BG，如下图：

利用勾股定理，求得BG=√10；

判断选项B正确；

两条线段和的最值，基本思路是转移到同一条线段上，具体方法是利用轴对称，如下图：

作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，此时CD'的长度就是EC+ED的最小值，同样可由勾股定理求得CD'=4√2；

判断选项C正确；

在前面选项A的探究过程中，我们知道FC的长度存在最小值，但本选项是探索最大值，因此我们考虑两个临界点，即E与A重合，E与B重合时FC的长；

当E与A重合时，求得FC长度是√13；

当E与B重合时，易证△ADE≌△HDF，于是AE=HF=4，可求出FI=5，减掉GI后，得FG=2，在Rt△FGC中由勾股定理求出FC=√13；

判断选项D正确；

因此，除A错误外，其余均正确，本题选A.

解题思考

作为选择题压轴题，考最值很常见，但这道题属于半开放题型，并没有指定某个最值，而是让学生判断四个选项中的最值是否存在，相当于学生要判断四次，这就不简单了。

而这道题也有快捷解答方式，就是让图在学生脑子里动起来，我们在课堂上探究动态几何问题的时候，有一个很重要的目的，就是让学生学会看动图，看懂动图，究竟纸上的图形如何在学生脑子里动起来，老师的引导很重要，包括教学语言、肢体语言等，这些语言传递给学生之后，产生的作用是形成动画，学生可通过描述自已想像中的动画，让老师来判断是否符合题意，这个过程在课堂教学中必不可少。

不少数学课堂上都涉及到动态几何图形，尤其是在解题课教学中，老师的表达很关键，准确说出几何图形如何动，并用学生能理解的语言进行描述，还要能听懂学生的描述，了解图形在学生脑子里是如何动的，这是双向理解，任何一个方面出现理解偏差，这个教学环节就无法落实。

让学生懂，再懂学生，学、教、评在这一刻，是一致的，千万不要拿动画演示一遍就完事。