经济学中的“对称美”：如何用数学群论破解市场规律？

导语

在经济学的复杂图谱中，数学不仅是工具，更是洞察规律的“语言”。当对称性这一经典物理概念闯入经济系统，会碰撞出怎样的火花？本期带你解读方福康教授的研究论文《经济系统中的对称方法》，看如何用对称性分析破解经济动态方程的奥秘——从均衡背后的“不变性”到演化路径的变换规律，甚至借助李群技术将高维经济现象“投影”为可理解的模型。对称性不仅是自然科学的美学原则，或许也是解开经济复杂性的钥匙。

智学园联合北师大系统科学学院开设，以方福康先生系统科学文集为思想基石，汇聚北师大系统科学领域十位教授，系统整合统计物理、生命系统中的智能行为、社会复杂系统建模、人工智能与复杂网络等多个交叉方向，构建一条从微观机制到宏观结构、从理论分析到实际应用的知识脉络。我们颠覆传统“讲授+听讲”的教学模式，采用“集智课堂”形式，以十位教授在《系统科学前沿》系列课程中的讲授内容为主线，结合中的相关论文，提供「以输出倒逼输入」的内容沉淀任务，帮助大家学习入门不同的主题领域，本篇论文由课程学员整理共创。

关键词：对称方法、经济系统、动态方程、对称群、延拓技术、一般均衡理论、李群、复杂性科学

方福康丨作者

李海涵丨译者

赵思怡丨审校

论文题目：The symmetry approach on economic systems 论文地址： https://qiniu.pattern.swarma.org/attachment/8%20The%20Symmetry%20Approach%20on%20Economic%20Systems.pdf

目录

1.摘要

2.经济动态与对称性分析

3.延拓与对称性的计算

4.对动态方程的对称性计算示例

5.经济系统的分析方法

6.参考文献

摘要

本文研究了经济系统动态方程的对称性。对称群将方程的一个解变换为其他解，因此我们能够理解这些解之间的变换关系。对称性描述了动态方程的不变性，从而为经济系统的内部结构提供了更多信息。通过具有对称性的动力系统，讨论了社会经济现象的复杂性。在对称性的计算中采用了延拓技术（prolongation technique）。该方法以更几何化的方式重新表述了求解微分方程的基本问题，更适合于对称群的研究。文中还举例说明了利用对称性分析得到的一些动态方程。

在讨论经济系统时，通常会面对一个随时间演化的相当复杂的情况。对该系统的详细描述是困难的，大多数经济学家认为目前尚未达到建立一个处理一般经济行为全局框架的阶段。在这种情况下，对概念的研究以及对方程的分析对于理解经济系统是有意义和有用的。我们的目标是找出控制经济行为的一些主要因素和规律，并获得用于描述经济系统的相关概念及其相互关系。这些讨论使我们能够在某种程度上获得一些数学模型来刻画经济系统的演化过程。在这些讨论中，关于经济系统对称性的概念是一个重要且有用的概念。

构建处理经济系统的数学模型的思想是从复杂经济系统高维空间向低维子空间进行投影。如果数学处理是成功的，则低维模型将反映出经济系统复杂性的一些本质特征。对称性是理解经济行为和分析系统模型的基本概念之一。

对称群变换（图片由AI生成）

一般均衡理论（General equilibrium theory）是经济学中一个成功的数学模型。事实上，这个模型正是从高维系统向低维子空间的一种投影。复杂的经济系统涉及成千上万个变量和参数，而在一般均衡理论中，这一复杂系统被投影到一个特殊的子空间上。这个子空间就是一个点，即经济系统的均衡点。均衡点给出了复杂经济系统的运行规则——帕累托最优（ The Pareto optimum）。在经济均衡状态下，除非某些参与者受损，否则任何一方都无法获得更多利益。一般均衡理论证明了均衡点的存在性。当经济达到均衡状态时，高维系统被简化。在这个模型中，唯一的变量是价格。经济系统的各个部分都在均衡价格下达到各自的均衡，而描述经济细节的其他变量此时则不再那么重要。因此，一般均衡理论成功地近似刻画了经济系统的复杂性。该理论具有良好的数学语言支持，被称为布劳威尔不动点定理（Brouwer's fixed-point theorem）。从不动点公式 x = f(x) 中我们可以看出，它本质上体现了一种对称性。这种变换的不变性描述了系统的对称行为。对称性是理解均衡现象的基本概念。经济系统通常处于一种不断演化的复杂状态之中。因此，长期以来人们采用动态方法来研究它，并取得了丰硕的成果。以往的研究通常将动态方程建立在低维系统之上，并假定这些方程能够描述经济系统的演化行为。本文将讨论对经济系统的动态分析，并且我们将看到，对称性概念可以帮助我们从动态方程中获得更多的信息。第1节介绍动态系统中的对称性方法；第2节给出对称性的计算过程，称为延拓；第3节提供该方法的一些实例说明；第4节则回顾其在经济学中的应用。

经济动态与对称性分析

当我们研究随时间变化的经济系统时，会遇到复杂、开放和演化等现象所带来的困难。其中，复杂性是进行数学描述的主要难题。对于经济系统而言，复杂性不仅意味着系统内部包含大量的变量和参数，还意味着系统各要素之间存在强烈的耦合关系，并且其演化过程中通常会出现某些子结构。

数学模型的目标就是将这种复杂性简化为一个低维系统。这是一种适用于具体经济系统的简化方式，我们可以对此做出合理的解释。然而，常见的简化思路是将经济系统划分为不同的层次。宏观经济学和微观经济学这两个术语即是对经济系统层次划分的典型例子。某些在微观经济学中具有重要意义的概念，在宏观经济学中可能并不那么重要，例如单个企业的利润。

如果我们局限于某一特定层次来研究经济问题，则可以集中关注用于描述该系统的主要变量和参数。这样我们就得到了一个低维系统，并可以通过数学处理抽象出相关的概念和关系，从而得出一些结论。在此过程中，我们忽略了那些在其他经济层次中有用的变量，或者将其视为平均值参与计算。这些变量仅反映了环境的影响，通常不参与系统内部的强耦合作用，因此我们得以降低问题的复杂程度。选择适当的经济层次是一种有效的简化方式。只要我们能够正确而恰当地划分系统层次，就有可能在特定层次上解决各种演化型经济问题。

在对经济系统进行简化之后，我们选取一组变量和参数来描述该系统，记作

{x, λ} = {x1 ,…, xn, λ1,…, λl}

系统的演化过程可表⽰为如下形式的微分⽅程：

其中 x = {x1,…, xn}，F = {F1 ,…, Fn } 。

使⽤⽅程（1）来解释⼀个演化的经济系统是⼀个假设。该⽅程已被⼴泛应⽤于⾮平衡系统理论，并成功地⽤于处理诸如⽣态系统等多种复杂系统。我们在此假设，在确定性⽅法下，⽅程（1）同样可以很好地近似描述经济系统的⾏为。⽽在随机分析中，这类⽅程将被转化为概率语⾔来表达。从⽅程（1）出发，我们可以得到许多关于具体经济系统的结论。Allen [1]、Sanglier [2]、Day 和Ping Chen [3]、Zhang [4] 以及我们⾃⼰的研究都提供了很多例⼦。在这些例⼦中，⽤于计算的模型似乎显得不够规范且具有⼀定的任意性。也就是说，当我们想要分析⼀个经济系统时，并没有⼀套标准程序来帮助我们推导出动⼒学⽅程。我们必须根据具体的经济问题分别加以考虑，并依靠经验建⽴动⼒学⽅程。

我们是否可以更进⼀步，使对动⼒学描述的理解更加系统化？或者⾄少，我们是否可以获得⼀些更具普遍性的信息来帮助我们构建动⼒学⽅程？为了更好地理解经济动⼒学，以下两点值得讨论：我们称之为“基本⽅程”和“对称性分析”。

所谓基本⽅程，是⼀些特殊形式的动⼒学⽅程，我们希望通过对经济现象的研究来获得它们，⽽不是直接应⽤于某些特定的现象。如果我们将⽅程（1）以简化形式表⽰，可得：

其中 x = {x1,…, xn}，F = {F1,…, Fn} 。那么⼀个基本⽅程的形式为：

即：

或者也可以写成：

其中 A 是⼀个 n × n 的矩阵。

例如，在⼆维系统中，若：

则⽅程（4）就是⼀个⼆维logistic⽅程。⼜如：

则⽅程（4）就转化为Lotka-Volterra⽅程。在经济学情境中，经济增⻓的Solow⽅程可以写作：

其中 k 表⽰资本， f 是⽣产函数， x 是消费量。⽅程（6）仍然是基本⽅程（4）的⼀种形式。

⽅程（4）具有⼀个有意义的结果：当系统达到稳态，即 dx/dt = 0 时，我们有：

这正是不动点定理的内容，也是均衡经济学的基本分析⼯具。因此，⽅程（4）在对经济系统的分析中确实具有⼀些特殊⽽基础的⾏为特征。

另⼀个基本⽅程的形式是：

即：

其中 x = {x1,…, xn} ，且：

这⾥的 L 通常被解释为经济系统的拉格朗⽇函数。当 dx/dt = 0 时，系统退化为：∂L/∂x=0.这正是经济问题在均衡点上所具有的最⼤值特性。对于不同的经济问题，拉格朗⽇函数 在具体情形下具有各⾃的意义。例如，在微观经济问题中， 通常L代表企业的利润或成本。

接下来我们将为经济演化设计另⼀种形式。该⽅程不是作⽤于变量本⾝，⽽是作⽤于某些矩阵。我们考虑类似于原始⽅程的如下形式：

其中[H, A] = HA − AH 。这⾥，A 是⼀个n × n 矩阵，⽤于描述经济结构 H 则反映了系统内部的关系，也是⼀个n × n 矩阵。经济结构的变化将按照⽅程（10）的形式进⾏演化。

现在我们讨论动态系统的对称性分析。对称性分析主要有两种⽤途。

⼀⽅⾯，如果我们从动⼒学⽅程中得到了⼀个解，并且我们知道该⽅程的对称性，那么我们就可以通过对称性分析得到其他解。这种⽅法尤其适⽤于从⼀个简单的解出发来获得更复杂的解。因此，当我们使⽤上述基本⽅程来计算某些经济问题时，我们可以通过对称性分析获得更多关于系统的信息。

另⼀⽅⾯，对称性分析也可以使我们将⽅程转化为其他形式，从⽽加深我们对由这些⽅程所描述的经济系统的理解。

再次考虑如下⽅程（2）所⽰的动⼒学⽅程：dx/dt = F(x)，其中 x = {x1,…, xn} ，F = {F1,…, Fn} ，函数 。设 g ∈ G，其中G 是⼀个群，通常取为李群（Lie group）。如果对于所有 x ∈ Rn都满⾜下式：

我们就称 g 是⽅程（2）的⼀个对称性变换。

⽅程（11）的⼀个简单推论是：如果 x(t) 是⽅程（2）的⼀个解，则 g ⋅ x(t )也是⼀个解。因此，对称性给出了⽅程的⼀个“新”解。

从经济演化的⻆度来看，当我们知道系统的对称性后，就可以从原始演化路径 得到⼀个新的演化形式 。经济⽅程的对称性成为理解系统动态规律的⼀种有⽤⽅法。在下⼀节中，我们将介绍如何计算对称性。

延拓与对称性的计算

对称性计算所采⽤的技术称为延拓（prolongation），这是由 Olver [5] 提出的⼀种系统⽽有效的⽅法。当给定微分⽅程时，通过该⽅法可以确定其对称性群。延拓概念与⽆穷⼩⽣成⼦（infinitesimal generator）密切相关。

李群对称性延拓（图片由AI生成）

延拓⽅法既适⽤于偏微分⽅程，也适⽤于常微分⽅程。我们可以将微分⽅程表⽰为如下形式：

其中 ，x = {x1,…, xp } ，u = {u1,…, uq } , u(n) = {u ，所有u的导数} 。这⾥ x ∈ X，u ∈ U ，M ⊂ X × U。M 是⼀个维数为m 的流形，⽅程（12）的解义在 M 上。

流形 M 上的一个向量场在每一点 处都指定了一个切向量 ，并且这个切向量随着点的变化是光滑的。在局部坐标 (x1,…, xn) 下，点 x 处的向量场具有如下形式：

其中每个 ξi(x) 都是 x 的光滑函数。向量场具有作为群的⽆穷⼩⽣成⼦的特性。

事实上，如果我们取李群为：

则有：

其中 ϵ 是⼀个参数，由⽅程（14）所形成的群通常被称为单参数群（one-parameter group）。⽆穷⼩⽣成⼦由⽅程（15）定义。

延拓的第⼀步是将基本空间延拓到，其中是笛卡尔积空间，⽽Uk（其中k=1，…，n ）表⽰各阶导数的空间。因此， 不仅表⽰了系统中的独⽴变量和因变量，还包含了系统中出现的各种导数。

从空间 U 到 U(n)的延拓诱导了函数从 u 到 u(n) 的延拓。我们将 称为函数的n阶延拓，记作，它是由延拓⽽来的，其中 。因此，是⼀个从 X 到 U (n) 的函数。

微分⽅程（12）可以在延拓空间上进⾏重新考察。如果我们记，那么 Δ 就是从 到某个 l 维欧⼏⾥得空间的映射：

微分⽅程（12）本⾝告诉我们这个映射（16）在 上取值为零。或者换句话说，我们在上定义了⼀个⼦簇 ，如下所⽰：

从这个⻆度来看，⽅程（12）的⼀个光滑解是⼀个光滑函数 u = f(x) ，使得

换句话说，延拓函数的图像必须位于⼦簇内部：

当空间 被延拓到新的空间时，我们得到了关于微分⽅程及其解的⼀个新的表述形式。这是⼀种更加⼏何化的表达⽅式，⾮常适合⽤于对称⽅法的研究。

现在我们利⽤延拓空间来讨论对称性，这与群作⽤密切相关。⽅程（12）的对称群是⼀个变换群 G，它作⽤于开集 M ⊂ X × U上，并且以这样的⽅式： G将⽅程（12）的解变换为另⼀个解。如果某个解是 ，其图像为 ，

那么群作⽤ g 对该图像的变换为：

其中是在群作⽤g ∈ G 下得到的⽅程（12）的新解。

群作⽤的延拓记作 。 的作⽤不仅将函数变换为⼀个新的函数，⽽且还将u的导数变换为的新导数。换句话说，若是 中的⼀个点，其中表⽰所有相关的导数，那么的延拓形式为：

其中

我们已经定义了微分⽅程的对称性。对于微分⽅程来说，如果x 是⽅程的⼀个解，⽽ g ⋅ x 也是解（其中 g ∈ G ），那么我们就说这些⽅程具有对称性，此时 G 就是对称群。对称群 G 将⼀个解变换为其他解。

延拓引⼊了关于⽅程对称性的另⼀种描述。微分⽅程在延拓空间上定义了⼀个⼦簇 ，如公式（17）所⽰。如果微分⽅程具有对称性，那么在 的作⽤下保持不变，即它是不变的。

定理：设 M ⊂ X × U是⼀个开集， 是在 M 上定义的⼀组微分⽅程，其对应的⼦簇记为 。假设 G 是作⽤在 M 上的⼀个局部变换群，并且它的延拓保持 不变，即当时，对所有 g ∈ G 都有 。那么 G 就是该微分⽅程的⼀个对称群。

我们也可以讨论对应于群 G 的⽆穷⼩⽣成元的延拓。

设 M ⊂ X × U 是⼀个开集，是定义在 M 上的⼀个向量场，则 是定义在的某个开⼦集上的向量场，称为的第 n 次延拓。的延拓在寻找对称群的过程中起着判别准则的作⽤。

定理：假设是⼀个定义在 M ⊂ X × U上的最⼤秩微分⽅程组。如果 G 是作⽤在 M 上的⼀个局部变换群，并且对于每⼀个 G 的⽆穷⼩⽣成元，都有

只要成⽴，那么 G 就是这个⽅程组的对称群。

式（23）给出了寻找对称群的判别准则。我们需要写出 的显式表达式。虽然在延拓过程中群作⽤的形式较为复杂，但向量场的延拓形式在计算上更为简便。

下⾯给出 的公式。

延拓公式：设是定义在 M ⊂ X × U 上的⼀个向量场，

则 的第 n 次延拓是⼀个定义在的某个开⼦集上的向量场，表⽰如下：

其中 ，满⾜。延拓后的向量场的系数由下式给出：

其中：

对动态⽅程的对称性计算⽰例

上述介绍的对称性分析⽅法是研究微分⽅程及其解的⾏为的⼀种有⼒⼯具。Over 的讨论主要集中在偏微分⽅程上。⽽在经济系统中，我们通常处理的是动态⽅程。因此，在这些系统上展⽰⼀些对称性计算的例⼦是有意义的。

我们从⼀个基本的动态⽅程开始：

⽅程（27）的解是众所周知的，但通过对称性分析可以重建解之间的关系。我们可以将这种⽅法推⼴到更复杂的系统中去。

⽅程（27）的解定义在 上，其对应的向量场 可以写成：

对于⽅程（27）的情形，我们只涉及⼀阶导数，即 n = 1 。此时向量场的延拓形式为：

根据公式（23）所述定理，我们将公式（27）代⼊公式（29）。由于⽅程本⾝零，因此各项的系数消失。该计算给出了向量场 的基向量如下：

由公式（27）可得其对称群，即由公式（30）决定。根据定理（23），对称群由公式（30）确定。我们有：

对称群将⼀个解变换为另⼀个解。通过对称性分析可以获取更多信息。观察变换G2 ，我们可以从稳态过渡到演化状态。

稳态解较容易获得。根据公式（27），它们是 u = 0 和u = a/b 。对称群 G2将这些解变换为演化状态。根据公式（31）， 给出的新状态为：

因此，我们通过群变换直接得到了依赖于时间的解。这⼀结果对经济学讨论具有重要意义。因为⼀般均衡理论仅研究系统的均衡状态。我们由此得到⼀个思路：将稳态解转换为依赖于时间的解。这将提供关于经济系统的更多信息。公式（31）中的其他群变换也提供了有⽤的结果。

这⾥讨论的另⼀个动⼒学⽅程如下所⽰：

当取 a,c 为正、b,d 为负时，公式（33）退化为 Lotka‒Volterra ⽅程。⽅程（33）具有M ≃ R3，其向量场 表⽰为：

向量场的延拓仍为⼀阶，即 n = 1 ，但变量为 t, u, w 。因此我们有：

对公式（34）的整体计算是复杂的，我们仅讨论⼀些特殊情况。在计算中，我们仍然将公式（33）代⼊公式（34），并通过对⽅程的消失性条件来求得系数。当 时，我们得到

以及向量基为

于是对应的对称群为

我们也可以计算其他情况。例如当 a = d 时，向量基为

对称性分析提供了⽐通常对动⼒学⽅程的讨论更为丰富的信息。公式（33）是⼀个包含两个随时间演化的分量的⽅程组，这些分量之间相互耦合，并表现出周期性的变化⾏为。对称性分析告诉我们，该系统可以分为四类结构，因此可以通过对称性来理解其主要的耦合⾏为。

⼀个重要的且有趣的动态模型是具有时间依赖性的三变量⽅程模型。这⼀模型⼴泛应⽤于许多经济问题中。我们在此简要说明⼀种特殊情况，即三变量逻辑斯蒂⽅程，形式如下：

公式（40）的空间满⾜ M ≃ R4 ，其向量场为

⽽其向量场的延拓形式为

公式（40）中的三个变量 u, v, w 是紧密耦合的，它们的增⻓或减少不仅取决于彼此之间的相互作⽤，也受到环境的影响。通过对称性分析表明，这些变量之间会发⽣周期性变化。这是⼀种强烈的⾮线性现象，仅通过数值计算难以直接观察到。对于公式（40），存在五种基本解，其中两种解表现出周期性⾏为，这在经济分析中具有重要意义。

经济系统的分析⽅法

如上所述，我们⽤于分析经济系统的⽅法是寻找低维的动⼒学模型，⽽对称性分析有助于揭⽰系统更深层次的信息。

⼀个例⼦是索洛（Solow）的经济增⻓模型 [6]。我们有动态形式如⽅程（6）所⽰：

其中 k 表⽰资本, f 是⽣产函数，⽽ x 表⽰消费。如果我们设定⽣产形式是固定的，那么经济的潜在⽣产能⼒就是有限的，资本的效率也受到限制。我们可以设定

于是我们得到了与⽅程（27）类似的形式：

其中 a = α − x，b = β − λ 。因此我们可以对式（44）进⾏对称性分析。如果我们在式（43）中的⽣产函数中引⼊⼀个三次项，就可以得到资本效率的双稳态。

另⼀个例⼦是我们在前期论⽂中介绍的⼀个宏观经济模型 [7]。其简化后的⽅程如下：

其中 Y 表⽰产出，I 表⽰投资，S 表⽰储蓄，K 表⽰资本，R 表⽰利率，P 表⽰价格⽔平，Md表⽰货币需求，π 表⽰通货膨胀率，a, b, c, α, μ, ν 是参数。在⽅程（45）中，我们有三个具有动态变化的变量。也可以讨论更多随时间变化的变量。数值结果已经在⽂献 [7] 中计算得出。现在，通过对称性分析可以帮助我们理解这些变量之间的相互关系。在⽅程（45）中，变量 Y , K, R 与 I, S, M, P紧密耦合，但只有 Y , K, R 在动态⽅程中发⽣变化。我们对这些变量进⾏对称性分析，从⽽可以⽐单纯数值计算获得更多的信息。

总结

本⽂介绍了⼀种⽤于分析经济系统对象动态⽅程的⽅法，这种⽅法被称为对称性分析，它与李群技术密切相关。我们对流形进⾏了延拓，从⽽得到了群和向量场的延拓。经济系统与动态⽅程相关联，因此我们⾯对的是关于时间演化的、具有多个因变量的⼀阶微分⽅程。对称性分析有助于理解经济系统的内部结构及其耦合变量之间的关系。因此，这种新⽅法为研究经济系统提供了新的⼯具：结合数值计算，我们可以更深⼊地了解经济学问题。宏观和微观经济问题都可以⽤对称性⽅法来探讨。

本⽂主要讨论该⽅法本⾝，并仅介绍了如何应⽤该⽅法的⽅向。实际的经济问题需要更加细致的分析和计算。我们希望这种⽅法能为经济学的研究提供⼀些新的思路。

参考文献：

[1]P. M. Allen, The evolution of communities social self-organization (submitted to Inter. Conf. on Complexity and Self-organization in Socioeconomic Systems (IC2S3)).

[2]M. Sanglier, Economic structure in market economy (submitted to IC2S3).

[3]R. Day and Ping Chen, Nonlinear Dynamics and Evolutionary Economics. Oxford University Press, Oxford (1993).

[4]W. B. Zhang, Synergetic Economics. Springer, Berlin (1991).

[5]P. J. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer, Berlin (1986).

[6]A. Kira Takayama, Mathematical Economics. Cambridge University Press, Cambridge (1985).

[7]Fang FuKang, Macroeconomics dynamic model and economic evolution (submitted to IC2S3).

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