我如何成为一位数学家？

波兰裔美国数学家 Mark Kac 是 20 世纪杰出数学家，现代概率论发展的先驱，特别是推动了概率论在统计物理学中的应用。他最广为人知的故事是提出问题“可以听出鼓的形状吗？”由此引发了相关谱理论的研究。Mark Kac 最大的特点是能将复杂概念以简单直观的方式呈现，写作风格清晰简洁，因此备受同行赞誉。本文摘自他的自传《机运之谜》（Enigmas of Chance: An Autobiography），记录了一个少年如何与数学结缘的故事。

撰文 | Mark Kac

翻译 | 蔡聪明

Mark Kac（1914.8.3—1984.10.26）

这是 1930 年夏天，在波兰所发生的事情。那年我 16 岁。高中的最后一年在 9 月就要开学，我必须思考未来的前途作生涯规划。因为数学与物理都是我拿手的，所以选择读工程似乎是实际与合理的事情。“一个家庭一个哲学家就已足够”，这是我母亲表述问题与建议解答的方式。“一个家庭一个哲学家”是指我的父亲，他在德国的莱比锡大学读哲学并且得到博士学位，其后又在莫斯科大学得到历史与语言学结合的博士学位。尽管有这些优秀的学历，但是由于社会普遍反犹，让他无法找到任何教职，除了在一个学校当了两年短暂的校长之外。我父亲参与我外祖父经营的纺织事业，多年后也宣告失败而结束，他只好靠着微薄的家教收入维生。他可能是历史上懂得希伯来文、拉丁文、希腊文、甚至是斯拉夫旧教文的唯一商人。因为他的一些学生是当地希腊正教学院的学生，所以他很方便就学得后者。

这样的生活并不是我母亲对她的儿子所期望的，因此读工程似乎是正确的方向。然而，在 1930 年的夏天，选择大学的科系在我心目中并不是最重要的事情。因为一个经常折磨数学家与科学家间歇性发作的“疾病”，突然发生在我的身上，那就是：对一个问题着迷。发病的症状都类似，而且很容易辨认，特别是患者的妻子更是心有戚戚焉，因为患者表现出的反社会行为持续增强。最常见的是：茶饭不思，也不睡觉。我的症状特别显著，因此家人开始为我担心。

事实上，我的问题并没有什么了不起，甚至也不会产生重大的后续发展，这就是三次方程式的求解问题。答案早在 1545 年就由意大利的数学家卡丹(Cardano，1501-1576)所发表。我所不知道的只是，他是如何想到与推导出来的。

波兰教育专家们为中学所设计的数学课程，在解完二次方程式之后就停止了。对于三次或更高次方程式好奇的学生，他们会回答说：“这对你们太高深了”，或者说：“不要急，当你以后读到高等数学时，就会学到。”因此这个问题就如同一个禁地。但是我不理会它，决心要自己弄明白三次方程式的求解问题。

我拿起一本暑期数学读物，打开三次方程式这一节，读到第一行我就被打败了。开头这样写着: “令 x=u+v. ”因为我知道答案是两个立方根之和，所以令 x=u+v，显然是预期这样的解答形式，但是整体说来，我觉得这对学习者是不公平的。

在这个节骨眼上，我很接近于数学教学的一个奇妙的分水岭：一边是如何想出证明或推理的策略，这大部分是超越逻辑的范畴；另一边是证明或推理的技巧，这是纯演绎的工作，因此具有逻辑与形式的特性。换言之，这是在求知过程中，动机与实践的区别。不幸地，绝大部分的数学书都只呈现后者，而忽略前者。

在不了解背后动机之下，我无法接受只是形式的推演。直接令 x=u+v，而不说明为什么要这样做，这对我是一种冒犯。我问父亲，但是他太专注于他那濒临衰败的事业，以至于对我没有什么帮助。因此我立定决心，要自己找寻一个满意且不同的推导方法。我父亲则抱持怀疑的态度，这从他愿意出高价就看得出来。只要我做成功，他就给我 5 元波兰币的奖金（这在当时是一个不小的数目）。

我这一生中，有好多次因沉迷于问题而发狂的纪录，有些问题在数学与科学上还产生过一些影响，但是在 1930 年后，我从未像这次那么努力与狂热的工作。我很早就起床，几乎没有时间吃早餐，我整天都在做计算，在一大堆白纸上写满公式，直到深夜累坏倒在床上。跟我讲话是没有用的，因为我只会回应无意义的单音节，“嗯”、“啊？”。我停止与朋友会面，甚至放弃跟女朋友约会。由于缺少策略，我的工作漫无方向，经常重复走着没有结果的老路，蹒跚于死胡同中。

直到有一天早晨，答案突然出现在眼前，卡丹公式就在眼前的纸页上放光！我花一整天或更多的时间，从堆积如山的纸堆中拾取论证的线索。最后终于把整个推导过程精炼成三到四页。我父亲把我辛劳的成果浏览一遍后，就付给我奖金。

不久学校开学了，我把整理好的文章交给数学老师。他是一个亲切的人，喜爱伏特加酒，他在圣彼得堡大学受过良好的教育，但是当我认识他时，他已很少记得他所学的，并且也不在乎。不过，他还是很小心地研读我的文章，并且代我投稿到华沙的《少年数学家》这本杂志。到此似乎就结束了，因为杂志社一直没有通知我文章已收到，又经过了几个月也没有从遥远的华沙传来任何讯息。

然后，在 1931 年 5 月初，距离期末考只有几个礼拜的时间，好消息突然降临。在上午的时段，宗教灵修的课程正要开始。因为只有信奉罗马天主教的同学要接受教导，对于我们少数几个非天主教徒的学生，这段是自由时间。现在上课钟声响了，朦胧微暗的走廊几乎没有学生。我迟了一些离开教室，在匆忙之中差一点就撞上正要进入教室的牧师。就在这时，我看见校长朝我走来。我猜这必是冲着我而来，因为宗教课从未有外行的专家会来造访，而且我的周遭没有人，走廊也只是通到教室的死巷。

根据我的经验，会见校长大概不会是什么好事，于是我开始回想，到底我有没有做错什么事情，才让校长走出办公室来找我（有别于通常的召人进入校长室)，我担心可能要被处罚。事实上，从他神秘的表情看来，他将要奖赏我！甚至在他开口之前，还特别调整一下自己以示庄重，这是一个学生在快要毕业的前夕所无法想象的事。他的第一句话就让事情明朗。他说：“教育部的参事 Rusiecki 阁下，正在本校访问，下午两点半在他的办公室要接见你。”这时果戈里《巡按将军》的景象立刻在我脑海浮现，不过 Rusiecki 是“真实的”人物，这让我有几秒钟的时间一直回味着“参事阁下”这句话。原来 Rusiecki 是《少年数学家》杂志的主编。

在两点半整，我以周末最佳的整装打理好自己去会见 Rusiecki 先生。他个子高大，有点瘦，蓄小胡子，戴着金边眼镜。他对我讲话时，宛如我们的地位是平等的。

“我们已经收到你的论文，会拖这么久是有理由的。在编辑会议的讨论中， 起先我们相信你的方法是已经知道的，因为在文献上有许多不同的方法可以推导出卡丹公式，也许你只是重新发现其中之一而已。然而，经过我们搜寻文献的结果，最后确信你的方法是新的，因此我们准备要刊登你的论文。”

他们实现了承诺。在我毕业几个月后，论文注销来了，我用 Katz 的名字发表，因为我觉得德文的拼字 Katz，比斯拉夫文的 Kac 还要优雅。

在我会见 Rusiecki 先生要结束前，他问我将来有什么计划。我告诉他说，家人要我读工程。他说：“不，你应该读数学，显然你对数学有天分。”我听从他的劝告，走上数学之路，这救了我的性命。我的数学足够好，也足够幸运，我在 1938 年申请到博士后出国深造的研究奖学金。这是由波兰富有的犹太家庭 Parnas 所捐赠，规定要有一个名额给犹太籍申请者，为期两年期的奖学金。我在 1938 年 12 月抵达约翰・霍普金斯大学，二次世界大战让我滞留在美国，有家归不得。如果我当初去读工程，无疑地，我必然留在波兰，跟我的家人和六百万犹太同胞一样，走上被希特勒屠杀的相同命运。

最后附言：在几年前我有一位朋友，也是美国年轻的数学之星 Gian-Carlo Rota 在洛克斐勒大学演讲，题目是 “Umbral Calculus”， 探讨用新方法来处理不变式理论。在演讲中， Rota 顺便讨论 Sylvester 定理，这是关于二元齐次式的一个美妙结果。他说：“我现在展示给你们看，如何用 Sylvester 定理来求解三次方程式。”我只听他讲几句话，立刻就感觉到电流传布全身。因为我认识到，那就是在 1930 年夏天我所发现的方法。

编者注

1：Kac的文章发表于1931年，原文是波兰文，后来有人翻译成英文，见
https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/mark-kac-s-first-publication-a-translation-of-o-nowym-sposobie-rozwi-zywania-r-wna-stopnia-trzeciego-6

2：Rota的证明，可见下文69页5.4节：

J.P.S. Kung and G.-C. Rota, The theory of binary forms, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 10 (1984), 27-85.

Kac的自传，1985年出版

本文转载自微信公众号“数学纵贯线”。原文摘自Mark Kac的自传《机运之谜》（蔡聪明译）第一章。

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