初中几何模型——网红模型12345模型

一、模型结论

1、和角结论：正切值是1/2的锐角和正切值是1/3的锐角的和是45°.

符号表示：

α、β都是锐角，则

图形表示：

2、倍角结论：

①如果一个锐角的正切值是1/2，那么它的二倍角的正切值是4/3

②如果一个锐角的正切值是1/3，那么它的二倍角的正切值是3/4

③如果一个锐角的正切值是4/3，那么它的半角的正切值是1/2

④如果一个锐角的正切值是3/4，那么它的半角的正切值是1/3

⑤如果一个锐角的正切值是2，那么它的半角的正切值是(√5-1)/2

图形表示：

如图，在RT△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5

AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，DF平分∠ADB

tan∠BCE=1/3，tan∠BAD=1/2，tan∠BDF=(√5-1)/2

该图也可表示和角结论：tan∠CAG=1/2，tan∠ACG=1/3，∠CGD=45°.

之所以叫12345模型就是因为这个模型与12345这几个数字密切相关.

二、模型证明

1、和角结论

原命题等价于45°减去正切值是1/2的锐角等于正切值是1/3的锐角.

过点D作DE⊥AC于点E

设AB=BC=2m，则AC=2√2m，BD=CD=m

CE=DE=√2m/2，AE=3√2m/2

∴tanβ=1/3

2、倍角结论

以①③为例

①如果一个锐角的正切值是1/2，那么它的二倍角的正切值是4/3

在AB上取点D，使AD=CD，连接CD，则∠BDC=2α

证明：设BC=m，BD=x，则AB=2m，AD=CD=2m-x

在RT△BCD中，由勾股定理，得

x^2+m^2=(2m-x)^2 解得 x=3m/4

∴tan2α=m/(3m/4)=4/3

③如果一个锐角的正切值是4/3，那么它的半角的正切值是1/2

如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，AB=3，BC=4

求证tan∠DAB=1/2

证明：过点D作DE⊥AC于点E

由勾股定理，得 AC=√(3^2+4^2)=5

易证△BAD≌△EAD(AAS)

∴AB=AE，DB=DE

设DB=DE=x，则CD=4-x，CE=2

在RT△CDE中，由勾股定理，得

x^2+2^2=(4-x)^2 解得x=3/2

∴BD=3/2，tan∠DAB=1/2

②④⑤都可以用类似的方法证明

三、模型应用

过点H作HI⊥DG于点I，HJ⊥AD于点J，HK⊥AG于点K

∠EDH=45°，tan∠EDF=1/2

由12345模型，知 tan∠HDG=1/3，tan∠ADG=3/4

∴AG=3/2，DG=5/2

∵H是角平分线交点 ∴HJ=HK=HI

∴S△AGH:S△ADH:S△DGH=3:4:5

∴S△DGH=5/(3+4+5)S△ADG=5/12×1/2×3/2×2=5/8

四、小结

1、该模型主要用于选择、填空题，对于符合模型的题，12345模型往往会比较快捷，有的题目虽然未必快捷但却可以提供一个额外的解题方向.

2、中考模拟考中，凡是能用12345模型解的题，必然能用课内知识来解.

3、12345模型没有某些“网红博主”宣传的那么神奇，也不像某些博主唱衰的那样“模型无用”，对于学有余力的同学建议学习，技多不压身，学习一般的同学则要量力而行.