全等相似总相宜——2025年北京中考数学第27题

全等相似总相宜

2025年北京中考数学第27题

我们在八年级下学期学习全等三角形之后，在七年级基础上，对于几何图形中的线段、角之间的关系又有了新的转换工具，而在九年级下学期学习了相似三角形之后，初中阶段的基本几何变换模型“手拉手”便相对完备了，当然，对于模型的建立，需要以学生视角，即引导学生发现模型并会运用模型，而不是机械记忆模型套路。

一道几何综合题，首要难关便是“如何想到”，读题之后，题目条件能否在脑海中形成知识网络尤为重要，我们并不期待学生拿到题目之后第一时间去套用模型，近年来许多省市的中考题，已经针对这种见题套模型进行了优化改进，因此，仔细审题，用数学思维去理解题目中的几何元素间的关系，是解决问题的基础。

题目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB，交直线BC于点F.

(1)如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC；

(2)如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)由题目条件可知△ABC是等腰直角三角形，旋转角∠CAE=90°，于是AE∥BC，再加上AB∥EF，得平行四边形ABFE，于是BF=AE，而AE=AC，所以BF=AC；

02

(2)方法一：

由旋转条件出发，既然线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α可以得到线段AE，不妨将线段AB也旋转，如下图：

在BC延长线上截取CG=CB，连接AG，这样可得到等腰△ABG，其中顶角∠BAG=180°-2α，我们达到了将线段AB旋转至AG的目的，再连接BE，很容易证明△ABE≌△AGD，于是BE=DG，∠AEB=∠D，∠BAE=∠GAD，再由AB∥EF，得∠AEF=∠BAE，对于∠BEF，有∠BEF=∠AEF+∠AEB

=∠BAE+∠D=∠GAD+∠D=∠AGB=∠ABC=∠BFE，我们又得到了一个新的等腰△BEF，于是BE=BF；

接下来我们来探究DF与BC的关系，由DF出发，DF=BD-BF，其中BD=DG+BG=DG+2BC，而BF=BE=DG，所以DF=2BC.

方法二：

仍然由旋转条件出发，连接DE后得到等腰△ADE，同样构造等腰△ABG，如下图：

类似方法一，我们仍然可得∠BAG=180°-2α，因此这两个等腰三角形相似，即△ADE∽△AGB；

由∠AGD=180°-α，∠DFE=180°-α，而∠ADE=α可知∠ADG=α-∠EDF，同时∠BFE=α可知∠DEF=α-∠EDF，所以∠ADE=∠DEF，可证△ADG∽△DEF；

这两对相似三角形分别可得到比例式AD:DE=AG:DF和AD:AG=DE:GB，将后一个比例式变换得AD:DE=AG:GB，再对比两个比例式，不难得到DF=GB，所以DF=2BC.

解题思考

本题解法并不唯二，还有更多很好的思路，不再重复，有兴趣的老师们可自行尝试，仅就这两种解法分别说明思路如何得到.

这道题总体上来讲并不难，题目中的线索有一条很重要，那就是旋转角180°-2α，我们在研究等腰三角形内角关系的时候，就有过一个结论：顶角=180°-2×底角，这意味着∠ABC=α极有可能使它成为一个等腰三角形的底角，这便是方法一和二的由来，构造等腰△ABG，在此之后，两条路摆在面前了，基于等腰△ABG，我们可以从旋转角出发构造“手拉手”模型，连接BE走全等之路，或连接DE走相似之路，题目设置得很巧，这两条路都走得通.

但是找准思路之后并不代表一路顺风，方法一中的等腰△BEF和方法二中的△ADG∽△DEF，便是学生可能遇到的障碍，这需要综合考量题目中给出的条件和已有结论，此时AB∥EF的作用就凸显出来了，平行线的作用，我们在七年级的时候就说过，它是角的搬运工，只要目标明确，搬运起来并不费事.

为什么方法一中我们需要等腰△BEF？因为我们要探寻的DF与BC间的数量关系并没有随着全等三角形完成关联，同样在方法二中相似三角形不出现，依然没有建立起线段DF与BC间的数量关系，而在几何题中，构造全等或相似三角形，正是建立线段间数量关系的通法.我们在八年级教学生各种全等三角形的性质和判定，九年级教学生相似三角形的性质和判定之后，有没有帮助学生在脑子里形成知识网络，这道题可以很有效的区分出来，实际答题中，确实也存在学生套用模型得到了全等或相似，但在后续探索中没能成功建立起关系，原因无它，当年学习偷的懒，总会还.