他47岁转方向，一举解决了球体堆积领域内最大的未解问题

选自quantamagazine

作者：Joseph Howlett

机器之心编译

编辑：泽南

在数学领域里，对于最优模式的探索永无止境，球体填充问题也不例外，它旨在尽可能高效地将球体塞进一个（高维）盒子里。几个世纪以来，它一直吸引着数学家们，并在密码学、远程通信等领域有着重要的应用。

它看似简单，实则微妙。17 世纪初，天文学家、数学家约翰内斯・开普勒证明：像在杂货店堆放橙子一样堆放三维球体，可以填满大约 74% 的空间。他推测这是最佳的排列方式。但数学家们花了近 400 年的时间才证明这一点。

在更高维度上，数学家们仍然不知道明确的答案（除了 8 维和 24 维这两个奇怪的例外）。多年来，他们提出了更好的填充方法。但这些改进规模很小，而且相对罕见。

如今，数学家 Boaz Klartag 在四月份发表的一篇论文《Lattice packing of spheres in high dimensions using a stochastically evolving ellipsoid》中，新方法以显著优势打破了之前的记录。一些研究人员甚至认为，他的结果可能接近最优解。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2504.05042

作为该研究领域的新人，Klartag 通过复兴一种专家们几十年前就已放弃的古老技术，实现了他的堆积方法 —— 该方法适用于所有任意高维空间。这项工作触及了关于高维空间最优堆积性质的几个长期争论。它们应该是有序的还是无序的？它们究竟能堆积到什么程度？

「这真是一个了不起的突破，」耶路撒冷希伯来大学的数学家 Gil Kalai 说道。「它是能让近 100 年数学家兴奋起来的成果。」

一个领域，两种方向

1905 年，德国数学家赫尔曼・闵可夫斯基（Hermann Minkowski）建立了一种直观的方法来思考堆积球体。首先，我们先从空间中重复排列的点开始，称为「格」（lattice）然后围绕每个点画一个球体。这样，在给定维度中寻找最优球体堆积的问题实际上变成了寻找一个点排列尽可能高效的格子的问题。例如，在二维空间中，最优格子是「六边形」，其堆积形式如下：

看起来很符合直觉？但是在 1947 年，一位名叫克劳德・安布罗斯・罗杰斯（Claude Ambrose Rogers）的数学家提出了不同的观点。他认为，可以从任何格开始 —— 即使是次优的位置。与其在每个点周围画一个球体，不如在一个点周围画一个椭圆形，称为椭圆体，这样椭圆体的表面会接触但不会超出格中的其他点。罗杰斯提出了一种算法，以这个椭圆体为起点，构建一个致密的球体堆积。

它的工作原理如下：

罗杰斯方法的优势在于，你无需从特别高效的格子开始就能获得高效的球体堆积。你只需选择合适的椭球体即可，但这带来了新的复杂性。与完全由一个数字（半径）定义的球体不同，椭球体由多个不同长度的轴定义。维度越高，可以拉伸椭球体的方向就越多，起始椭球体形状的选择就越多。

「在高维空间中，你不知道该如何扩展它，拥有太多自由度了。」Klartag 说道。

数学家们最终回归了闵可夫斯基的方法，选择专注于寻找合适的格子。他们更加专注于格子理论，而不再像罗杰斯那样专注于几何学。

这种策略带来了高维球体堆积的改进。但在大多数情况下，它们只是在罗杰斯的堆积方法上取得了相对较小的进步。数学家们仍然期盼着更大的飞跃。几十年来，他们一直未能如愿。只有一位局外人才能打破这种停滞的状态。

局外视角

Klartag 是以色列魏茨曼科学研究所的数学家，他一直对格子和球体堆积很感兴趣。不过，Klartag 一直没时间对其进行深入研究，他原本的研究领域是几何，擅长的研究领域是凸形。这些形状包含各种对称性，尤其是在高维度上。Klartag 坚信，这使得它们极其强大：他认为，凸形是被低估的数学工具。

博阿兹・克拉塔格（Boaz Klartag）长期以来一直认为凸几何领域的方法可能有助于解决球体堆积问题。他只是一直没时间去验证自己的猜测 —— 直到现在。

去年 11 月，在他完成了自己惯常研究领域的一个重要项目后，发现自己的日程安排出乎预料的空。「我想，我已经 47 岁了，我这辈子都想研究格子，如果现在不做，就永远也做不成了，」他说。他请特拉维夫大学的朋友 Barak Weiss 指导他进行这项新尝试。

Weiss 和 Klartag 以及其他几个人一起开了一个小型研讨会，研究相关文献。Klartag 的作业包括仔细阅读闵可夫斯基和罗杰斯的球体堆积方法。

当他读到罗杰斯将椭球体变成球体堆积的技巧时，他想知道为什么数学家们放弃了这种方法。椭球体是凸形，所以 Klartag 知道很多复杂的方法来操作它们。他还意识到，罗杰斯使用的初始椭球体虽然直观，但效率低下。他只需构造一个更好的椭球体 —— 一个在边界与格中的其他点接触之前能够覆盖更大空间的椭球体 —— 就能创造新的填充记录。

他首先采用了一种自己熟知的方法，即根据随机过程沿椭球体的每个轴扩展和收缩其边界。每当边界扩展至足以触及格中的新点时，他就冻结椭球体在该方向上的生长。这确保了该点永远不会落入椭球体内部。但椭球体的形状会继续向其他方向膨胀，直到碰到另一个点。就这样，椭球体会以急促、犹豫的运动改变形状，逐渐「探索」周围的空间。最终，边界会碰到足够多的点，阻止椭球体进一步生长。

随着时间的推移，平均而言，这项技术会使椭球体的体积增加。但它是否增加到足以超越罗杰斯直观的椭球体呢？

由于 Klartag 的方法是随机的，因此每次实施都会产生不同的椭球体。他评估了这些椭球体可能拥有的体积范围。如果他能找到一个体积比罗杰斯几十年前使用的椭球更大的椭球，他就能用罗杰斯最初的方法把它变成更紧密的球体堆积。

但 Klartag 找不到一个足够大的椭球，于是他调整了随机生长过程的细节。仅仅一两周后，他就证明了，至少在某些时候，这个过程会产生足够大的椭球，足以创下新的纪录。

他立即将结果告知了 Weiss。「我们下周见面吧，我会告诉你我之前是怎么搞错的，」Klartag 告诉他的导师。此时，Klartag 对自己的证明已经更加自信了。

接近真相

新的证明已获验证。Klartag 新的起始椭球体在转化为球体堆积后，其堆积效率实现了自罗杰斯 1947 年论文以来最显著的提升。对于给定的维度 d，Klartag 可以堆积的球体数量是大多数先前结果所能堆积球体的 d 倍。也就是说，在 100 维空间中，他的方法可以堆积大约 100 倍的球体；在百万维空间中，可以堆积大约 100 万倍的球体

Klartag 仅用几个月的研究和几周的证明就破解了格和球体堆积领域的一个核心难题。「这感觉简直是不公平，」Klartag 说道。但数学通常就是这样运作的：有时一个棘手的问题只需要一些新的想法，而尝试自己领域之外的研究可能会带来回报。Klartag 对凸几何（通常是另一个研究领域）的熟悉，恰恰是这个问题所需要的。「由于我的工作，这个想法一直萦绕在我的脑海中，」他说。「对我来说，这显然是可以尝试的。」

他的成果也重新引发了该领域关于任意高维空间中最优堆积性质的争论。数学家们曾一度认为高度对称、基于格的堆积是尽可能密集地排列球体的最佳方式。但在 2023 年，一个团队发现了一种不完全依赖于重复格子的堆积方式；在 Klartag 的研究结果之前，这是一项难以打破的纪录。一些数学家认为，这表明在寻找最优球体堆积时，需要更多的无序性。

现在，Klartag 的工作支持了这样一种观点：有序和对称或许才是最终的出路。

此外，关于球体堆积究竟能达到多高的密度，一直存在争议。一些数学家认为 Klartag 的堆积方式距离最优值只有一步之遥 —— 实际上已经尽可能接近了。其他人则认为仍有改进的空间。「我现在真的不知道该相信什么，」伊利诺伊大学芝加哥分校的 Marcus Michelen 说道。「我认为所有现实情况都尚待确定。」

这个问题的答案对于密码学和通信领域的潜在应用至关重要。因此，Klartag 的成果虽然对这些应用目前尚无立竿见影的效果，但却激发了一些初步的热情。「这个问题对工程师来说非常严峻，而且近年来进展甚微，」希伯来大学的信息理论家 Or Ordentlich 说道。「所以这让我们感到兴奋。」

Klartag 则希望他的工作能够引领人们回归罗杰斯时代的实践，那时凸几何和格理论领域的联系更为紧密。「我认为我们现在对凸体的理解应该对格理论有用，甚至超越了堆积理论，」他表示。「我的目标是让这两个领域之间的联系比现在更加紧密…… 这是我的计划，我仍然想继续走下去。」

参考内容：

https://www.quantamagazine.org/new-sphere-packing-record-stems-from-an-unexpected-source-20250707/