初等函数在定义区间内可导，则在定义区间内都能利用“先求后代”来求导数值吗？

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练习

题目：设函数 , 求 的定义域 , 并判断 在 处是否可导 , 如果可导, 求 ; 如果不可导 , 请说明理由.

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练习参考简答

题目：设函数 , 求 的定义域 , 并判断 在 处是否可导 , 如果可导, 求 ; 如果不可导 , 请说明理由.

[分析及解答]: 由于 ，故 的定义域为 . 又函数为初等函数，故在定义区间内连续、可导，即 在 内连续且可导，从而 在 处可导。

那么，对于 的值的计算是否可以采取“先求后代”(即先求导函数在求导数值)的方法来计算呢？对 求导，得

由上式可知， 在 处没有定义，故不能采用“先求后代”的方法来求 . 那应该如何计算呢？

其实，由函数的表达式不难看到咱们熟悉的绝对值函数的初等函数描述式，即 ，对它连续性可导性的讨论是以 为分界点，分区间讨论来讨论. 故该函数在 处可导性的讨论与导数值的计算也应该考虑定义法比较合适. 于是

从而可知， 在 可导，且 .

事实上，不能利用先代后求来求函数 在 处的导数值的原因可以归结为它不符合复合函数求导的条件，复合函数求导法则的定理如下：

定理 如果 在点 处可导，而 在点 处可导，那么复合函数 在点 处可导，且其导数为 .

而在该题中，当令 时，中间函数 在 处不可导，故不能直接应用复合函数求导法则，只能考虑定义法来求其导数值.

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