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练习
题目:设函数 , 求 的定义域 , 并判断 在 处是否可导 , 如果可导, 求 ; 如果不可导 , 请说明理由.
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练习参考简答
题目:设函数 , 求 的定义域 , 并判断 在 处是否可导 , 如果可导, 求 ; 如果不可导 , 请说明理由.
[分析及解答]: 由于 ,故 的定义域为 . 又函数为初等函数,故在定义区间内连续、可导,即 在 内连续且可导,从而 在 处可导。
那么,对于 的值的计算是否可以采取“先求后代”(即先求导函数在求导数值)的方法来计算呢?对 求导,得
由上式可知, 在 处没有定义,故不能采用“先求后代”的方法来求 . 那应该如何计算呢?
其实,由函数的表达式不难看到咱们熟悉的绝对值函数的初等函数描述式,即 ,对它连续性可导性的讨论是以 为分界点,分区间讨论来讨论. 故该函数在 处可导性的讨论与导数值的计算也应该考虑定义法比较合适. 于是
从而可知, 在 可导,且 .
事实上,不能利用先代后求来求函数 在 处的导数值的原因可以归结为它不符合复合函数求导的条件,复合函数求导法则的定理如下:
定理 如果 在点 处可导,而 在点 处可导,那么复合函数 在点 处可导,且其导数为 .
而在该题中,当令 时,中间函数 在 处不可导,故不能直接应用复合函数求导法则,只能考虑定义法来求其导数值.
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