只要功夫深，通法有奇效——2025年上海中考数学第25题

只要功夫深，通法有奇效

2025年上海中考数学第25题

在金庸武侠小说《天龙八部》中，有这么一段描写：“乔峰见旁人退开，蓦地心念一动，呼的一拳打出，一招‘冲阵斩将’，也正是‘太祖长拳’中的招数。这一招姿势既潇洒大方已极，劲力更是刚中有柔，柔中有刚，武林高手毕生所盼望达到的拳术完美之境，便在这一招中表露无遗。来到这英雄宴中的人物，就算本身武功不是甚高，见识也必广博，‘太祖拳法’的精要所在，可说无人不知。乔峰一招打出，人人都情不自禁地喝了一声彩！”

太祖长拳是宋太祖所创，本是军中所用的基本武术，在宋朝自然很多人知道，但很多人知道，并不代表很多人能用好它。乔峰之所以能将最普通的一抬使得如此精彩，招式本身并不是关键，自身的功夫才是精髓。

在初中数学学习中，我们会用到很多这种类似太祖长拳的基本方法，在教材的例题和习题中，到处是它的影子，我们称之为通法，哪怕到了最烧脑的几何压轴题，通法依然是最有效的工具，下面以2025年上海中考数学第25题为例，这道题解法众多，本文只选取其中一种来说明通法的重要性。

题目

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点.

(1)当点E是BC中点时

①连接EF，若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；

②若CF=DF，连接BF交AE于点G，求S△BGE：S△AEF的值；

(2)若AB=3，BC=5，CF=1，且∠AEB=∠EFA=∠EFC，求AF的长.

解析：

01

(1)当点E是中点时，属于特殊位置.

①通常情况下，证明两个角相等，我们希望这两个角能产生关联，全等三角形或特殊三角形都可以，因此延长AE，交DC延长线于点G，如下图：

易证△ABE≌△GCE，于是AE=GE，∠BAE=∠G，再根据题目中的AE=EF得EG=EF，于是∠G=∠EFC，所以∠BAE=∠EFC；

②现在E和F点均为中点，我们仍然沿用前面的辅助线，如下图：

先证明△ABG∽△HFG，并且可得它们的相似比为2:3，于是AG:HG=2:3，设AG=2k，HG=3k，前面又证明过AE=HE，于是AG+EG=HG-EG，所以2EG=HG-AG，可知EG=1/4AG，即EG=1/5AE；

接下来看面积间的关系，S△BGE=1/5S△ABE，而S△ABE=S△HCE，由CF:CH=1:2，可知S△HCE=2/3S△EFH，恰恰S△AEF=S△EFH，于是它们间的关联建立起来了，S△BGE=1/5S△ABE=1/5S△HCE=1/5×2/3S△EFH=2/15S△EFH=2/15S△AEF，即S△BGE:S△AEF=2:15

02

(2)条件读完，发现EF是∠AFC的角平分线，且又夹在一组平行线间，所以当我们延长FE之后，便可得到一个等腰三角形，如下图：

容易得到图中的△AFG为等腰三角形，不妨设AF=x，于是AG=x，BG=x-3；

我们同样从题目条件可判断三组相似三角形，分别是△AEF∽△ECF，△ABE∽△AEG，△EBG∽△ECF，其中第一对相似三角形包含了我们需要的AF，由△AEF∽△ECF得AE:EC=EF:CF和EF²=AF·CF，即EF²=x，EF=√x，再由△ABE∽△AEG得AE²=AB·AG，通过图中的等腰△AFG得AG=AF=x，于是AE²=3x，则AE=√3x，将所得EF和AE代入到比例式AE:EC=EF:CF中，可求出EC=√3，于是BE=5-√3，再利用△EBG∽△ECF，得BG:CF=BE:CE，可求出x=2+5√3/3.

解题思考

本题解法众多，所选取的解法从辅助线上来看，均可认为是“中线倍长”法的变式，事实上这个方法追根溯源，在八年级上册的全等三角形章节，而在八年级下册平行四边形章节中，它也属于常见方法，学生在平时练习中，也大量使用过。中线倍长的关键是构造全等三角形，特别是在本题中，还存在平行四边形，角平分线等条件，因此延长之后可得到的全等、相似非常多，这些辅助线构造出来的新条件，就可用于图形间的等量转换.

我们在课堂教学中，通常经由例题和习题，传授给学生基本的方法，这些方法可称之为通法，但方法“通”与“不通”，取决于老师在课堂上是否分析透彻，从方法使用的必要性入手，即为什么要用这种方法，再从方法使用的多样性出发，即在不同图形情景中，寻找或创造使用方法的条件，最后是归纳方法使用的经验，完成方法变通法的闭环。

在这个过程中，避免方法套路化，例如见中线就倍长，其实出现中点条件之后，也有可能是构造中位线、斜边上的中线甚至圆，在教学中尽可能留给学生足够的思考空间，让学生自已完成解题经验的积累，只有这一步进行到位，方法才会变通法。