小乐数学科普：采访数学家海曼·巴斯Hyman Bass（上篇）——译自AMS Notices美国数学会通告202506

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海曼·巴斯 （Hyman Bass，1932 -）

海曼·巴斯（Hyman Bass）教授，是一位在纯数学领域做出开创性贡献（代数K理论的奠基人，研究交换同调代数和投射模，他也是树上的群作用理论的共同创始人），并在数学教育领域发挥重要领导作用的杰出数学家（担任AMS美国数学会主席和国际数学教学委员会主席），他的工作极大地丰富了我们对代数和数学教学的理解。

他是美国国家科学院、美国艺术与科学院、世界科学院的院士。曾获得科尔代数奖、美国国家科学奖章。本文是Lisa Carbone和Yvonne Lai对其采访内容，内容较长，分为上下篇。

作者：Lisa Carbone（罗格斯大学数学教授）

Yvonne Lai（内布拉斯加大学林肯分校数学教授）

2025-2-13

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-6-23

我和Yvonne Lai有幸采访了我的博士生导师海曼·巴斯（Hyman Bass），了解他七十年来非凡而充满活力的数学生涯。

海曼的数学研究领域是代数及其与代数几何、数论、拓扑学和几何群论的关系。他于2012年成为美国数学会首届会士。2007年7月，他荣获乔治·W·布什总统颁发的美国国家科学奖章。

1990年代，海曼开始研究数学知识在教学中的应用。他的教育研究目前涵盖学校数学中的推理与证明、课程材料的分析、不同情境下的数学与教学实践特征描述，以及以连接为导向的数学思维。

海曼已培养出25名数学博士生，174名数学后裔，3名数学教育博士生。

他曾当选美国国家科学院院士、美国艺术与科学学院院士、美国国家教育学院院士、第三世界科学院院士，同时也是美国科学促进会会士。

他的数学著作以其系统的优美性而闻名。他凭借《代数K理论》一书荣获哥伦比亚大学范阿姆林格奖（Van Amringe Prize），并凭借发表于1973年《施普林格数学讲义》第343卷的《酉代数K理论》荣获美国数学会（AMS）弗兰克·纳尔逊·科尔代数奖（Frank Nelson Cole Prize in Algebra）。他的论文《数学与教学》（AMS 通告，2015年）被选入普林斯顿大学出版社出版的《2016年最佳数学著作》 [Pitici2017]。

他长期为数学教育事业做出杰出贡献。他曾于1980 - 1981年担任美国数学会（AMS）副主席，于2001 - 2003年担任美国数学会主席，并于1998 - 2006年担任国际数学教学委员会主席。2013年，他荣获美国数学协会（MAA）颁发的“玛丽·P·多尔恰尼奖”（Mary P. Dolciani Award），以表彰其对K-16学生数学教育的杰出贡献；2006年，他荣获美国数学协会（MAA）颁发的杰出数学服务奖（Yueh-Gin Gung and Dr. Charles Y. Hu Award），以表彰其对数学的杰出贡献。1995年至2000年，他担任美国数学会（AMS）教育委员会主席。

致谢

我们感谢研究生Em Stephen，在内布拉斯加大学林肯分校代数系（尤其是 Mark E. Walker）的支持下，他投入了大量时间将Zoom文字记录整理成流畅的自然语言。我们还要感谢TY Lam对最终稿件的仔细审阅，以及Isaac Bass阅读稿件并提供个人及家庭背景照片。

11930年代至1959年：成为数学家

在二战中

采访者：您出生时正值第二次世界大战爆发。这对您有何影响？

巴斯：我在八个孩子中排行第七。我的家庭活跃、充满活力、温暖。

这就是我童年时期的世界。我第一次意识到更广阔的世界的意识记忆，是在二战期间。

图1： 海曼的父亲（阿斯里尔·巴沙凯维茨 Asriel Bashakevitz，在美国英语中名为伊萨多·巴斯 Isadore Bass）在俄罗斯军队服役，大约在1905年，立陶宛维尔纽斯。

我的父亲1911年从立陶宛移民后，为一位在休斯顿拥有犹太肉店的叔叔工作。

后来我父亲接手了这项业务，并进入了肉类批发行业，为休斯顿周围的杂货店和其他市场供货。

图2： 海曼的父母范妮·魏斯博德 (Fanny Weissbord) 和伊萨多·巴斯 (Isadore Bass) 的结婚纪念日，1917年，德克萨斯州休斯顿。

海曼的母亲弗鲁姆（范妮）·韦斯博德 Frume (Fanny) Weissbord于1910年从白俄罗斯移民。

我确信我父亲一直盼望着养育儿子，帮他干这件体力活儿。后来，他和我母亲很快就生了四个女儿。最后，四个儿子出生时，二战爆发了。

我的两个哥哥都去参加海军了。我的姐姐们去了华盛顿。其中一个加入了女子陆军部队，并在诺曼底登陆后不久，前往法国服役。

小学的时候，我父亲没有哥哥们帮忙，所以我会在中午左右放学去帮他上卡车送货。就这样，我的第一次工作经历就是把肉运到市场秤上称重。我早期对“现实世界”的了解，就是用皮卡车运送肉，以及在一家宰杀、处理、装进冷藏箱的牛肉加工厂工作。

装卸码头上的同伴大多是非裔美国人，他们叫我“小巴斯”。我记得我和两个兄弟成了好朋友。我一直对他们的名字很感兴趣：拿破仑·吉布森和尤利西斯·吉布森。我花了一段时间才理解这两个名字的含义。

我的哥哥曼努埃尔（Manuel，我们在家里叫他曼吉 Mangie）在海军军官训练团，主要从事工程学方面的工作。通过这个训练团，他学到了很多科学知识。这为我对科学的兴趣埋下了一颗种子。

和我所有的兄弟姐妹一样，他很聪明。他对世界充满好奇，对学习充满热情，渴望分享他学到的一切。休假回家时，他会教我和弟弟艾萨克（Isaac）他正在学习的科学知识。这为我对科学的兴趣埋下了一颗种子。我甚至还做过一个项目，可能是为西屋公司（Westinghouse）做的，研究果蝇（drosophila melanogaster） 。这可能也部分受到了我哥哥的影响。但最终，它并没有像数学那样深入我心。

战后和人造卫星时代成为一名代数学家

采访者：您从几岁起就知道自己对数学十分热衷？

巴斯：直到大学才有。

父亲退休后不久，我们搬到了加州。我们的暑假通常要么在科罗拉多州的山区，要么在加州。父亲很节俭，所以在加州，我们去了位于威尼斯海滩区和圣莫尼卡之间的海洋公园。我们住在沥青停车场中央的一栋小房子里——但离海边只有一个街区。

我父母搬家的时候，我的一个姐姐席尔瓦（Silva）已经在那里当作家了，她对电影行业很感兴趣。她帮我挑选了父母买的房子。我在那里读完了初中，然后去了洛杉矶的汉密尔顿高中。

在我读高中的时候，对科学有追求的人自然而然地会去加州理工学院。那时，曼吉已经是加州理工学院地球物理科学的研究生了。我的大哥利昂（Leon）曾在太平洋战区担任无线电操作员，也在那里学习电气工程。（我的弟弟艾萨克后来去了加州大学伯克利分校，在哥伦比亚大学获得物理学博士学位，现在在劳伦斯·利弗莫尔实验室从事激光研究。）

但我更想接受文科教育。我向曼吉咨询这方面的问题时，他没能立即给出答案，不过他咨询了同学。他们说普林斯顿大学的文科专业不错。我申请了，并获得了所谓的地区奖学金，可能是因为地域多元化。

图3： 1966年，巴斯兄弟姐妹从左到右依次为 Leon、Pearl、Manuel、Frances、Hyman、Sylva、Madeline和Isaac，摄于洛杉矶

我对普林斯顿一无所知，继承了父母的节俭。我从加州去普林斯顿的时候搭便车。为了不给父母添麻烦，我就这样跑了好几趟横跨美国的旅行。父母为我支付的教育费用总共只有500美元。我每年夏天都打工。高中毕业和去普林斯顿之间的那个夏天，我在俄勒冈州的一个伐木营地打工。后来营地因为火灾隐患关闭了，我后来成了一名森林消防员。大一结束后的那个夏天，我在普吉特湾圣胡安群岛附近的一艘鲑鱼捕捞船上工作。

抵达普林斯顿后，我大吃一惊。我以前在加州，天空湛蓝，色彩柔和，但现在这里却充满了泥土般的色彩和铅条玻璃窗。起初，我感到很压抑，但最终还是喜欢上了这里。

因为我早到几天，那里没人。所以我搭便车去了华盛顿特区。因为没钱，我就在华盛顿纪念碑附近走了一圈，然后回到了普林斯顿。那时，人们已经开始聚集了。

你问我什么时候转向数学的。答案非常明确：大一荣誉微积分，由埃米尔·阿廷（Emil Artin）教授。助教包括约翰·泰特（John Tate）和塞尔吉·朗（Serge Lang）。那门课的学生包括弗雷德·阿尔姆格伦（Fred Almgren）、迈克·阿廷（Mike Artin）、史蒂夫·蔡斯（Steve Chase）、李·纽维尔斯（Lee Neuwirth）、史蒂夫·沙努埃尔（Steve Schanuel）——许多人后来都成为了数学家。

埃米尔·阿廷是一位戏剧老师，面容严肃，风格像歌剧。有一次，一个学生在课堂上说了些什么。阿廷耸了耸肩，朝那个学生走去。这副模样看起来十分咄咄逼人。但他随即从口袋里掏出一枚五分硬币，递给学生，说道：“你这主意真不错。”

当时高中还没有教微积分。所以这对我来说是第一次接触数学，也成为了我正式接触数学的入门课。

我一直以为自己知道实数是什么。突然间，我被说服相信它是柯西有理数序列的等价类。这简直是倒退。这种想法怎么可能行得通呢？

我并非热爱实分析或微积分。我喜欢的不仅是教学中的数学思维，还有学生身上的那种思维。他们会提出各种想法，而我会想，究竟是谁会想到这些呢？ 我想，如果你足够了解这些并且密切关注它们，最终你会学到其中的一部分，但不是全部。

采访者：您学的什么专业？

巴斯：数学，默认的。我对很多科目都感兴趣，但只有在数学方面我才觉得自己有能力。

采访者：您还有其他兴趣可能会挑战您对数学的兴趣吗？

巴斯：我对很多事情都很好奇。但我从未觉得它们会挑战我对数学的兴趣，反而在很多方面增强了它，尤其是我对艺术的兴趣。

顺便说一句，当时普林斯顿大学全是男生。而且费用昂贵：如果有约会对象，就得安排他们住酒店。我发现融入社交圈的最好方式就是在橄榄球周末去酒吧当调酒师。社交表现就是大口喝酒。我并没有刻意去跟他们较劲。

采访者：您什么时候发现自己想读研究生？

巴斯：自从我主修数学之后，这对我来说就成了理所当然的事。我喜欢数学思考，除了研究生院，没有其他地方可以让我进行这种思考。

当时的应用数学发展不如现在这么蓬勃。数学的主要应用出现在第二次世界大战期间。事实上，塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克莱恩（Saunders MacLane）的合作始于哥伦比亚大学的一个战时项目，该项目致力于弹道学等研究。该计划隶属于应用数学小组（Applied Mathematics Panel），该小组成立于1942年，是美国科学研究与发展局下属国防研究委员会的一个部门。[Rees1988]

许多参与曼哈顿原子弹研发计划的人，比如冯·诺依曼（von Neumann）等人，大多是纯数学家或物理学家。开阔的视野、概念性的思维和宏大的思维对这项工作至关重要。

应用数学等领域在飞机设计中当然至关重要，偏微分方程和动力学对高科技装备的设计至关重要，尤其是某些战争武器。这些问题以及物流问题最终在战后得到了应用数学领域的更充分的探讨。

第二次世界大战的一大影响是，由于雷达以及最终的原子武器和密码学的重要性，军方开始认识到基础研究在国家安全中发挥着重要作用。

他们也明白实现这一目标需要什么，并希望战后能够继续下去。他们的想法是建立某种制度来继续支持这一目标。有人提议成立国家科学基金会，但被杜鲁门否决，因为他反对该基金会高度独立于联邦政府的监督。

因此，支持基础研究的努力仍在继续，但这次是在海军研究办公室进行的。美国国家科学基金会（NSF）最终成立时，其文化借鉴了当时海军研究办公室的文化，真正支持基础科学。

图4： 海曼1958年就读芝加哥大学博士生照片

照片源：保罗·哈尔莫斯 (Paul Halmos)

1951年至1955年，我在普林斯顿大学学习，之后在芝加哥读研究生，直到1959年。1957年，苏联人造卫星“斯普尼克”（Sputnik）发射升空。很多人认为苏联过于落后，根本无法实现这样的目标。这真是一次真正的觉醒和震撼。国家意识到需要认真对待这个问题，并在科技领域进一步发展，提升实力。

因此，他们制定了激励措施，支持教育朝着这个方向发展。任何以任何方式表明自己对科学或数学感兴趣的学生都会受到充分鼓励。因此，在我读研究生和博士期间，由于基础科学和数学发展得到大力支持，我很容易获得奖学金或助学金。

采访者：您什么时候意识到自己擅长代数或者对代数特别感兴趣？

巴斯：从一开始。在微积分课程中，思维就是代数的。我们不是在解决复杂的微分方程；实分析的核心是度量空间。

有一道题我至今还记得。那是课程考试里的一道题，所有考试都是带回家的，我们得花好几天时间才能做完。当然，那时候还没有互联网，也没有现代计算器。

按如下方式定义函数f:ℝ→ℝ。当x∈ℚ即x=p/q，其中p,q∈ℤ，p和q既约时，取f(x)=1/q。当x∉ℚ时，取f(x)=0。问f在哪里连续？

我对这个问题的第一反应是生气。怎么会有人能回答这样的问题？ 你无法画图。所以我不得不思考，我有什么工具可以回答这个问题？我有两个工具：连续性的定义和f的定义。我不禁想， 仅仅用这些真的能推理吗？

我花了几天时间思考这个问题。我学到的与其说是答案，不如说是意识到，基于这样的定义进行推理实际上是可能的，而且你能够回答这个乍一看似乎不可能的问题。

乍一看，这个函数像是人为构造的。但实际上，这个问题蕴含了关于离散性、密度以及它们之间关系的实质性概念。这些概念一直萦绕在我的脑海里，并激发了我思考许多事物，例如离散群和格。

采访者：为什么选择芝加哥大学攻读博士学位？

巴斯：我忘了为什么选择芝加哥了。

应该说，现在难多了。我觉得在如今这个竞争激烈、考试导向太强的世界里，我根本不可能成为一名成功的学生。

在普林斯顿或芝加哥，我从未觉得自己是在和同学竞争。唯一的竞争是思想的竞争。数学是我的对手，但它并不卑鄙，规则也清晰明确。胜利不在于放倒什么，而在于精通，与思想融为一体。这是我从一开始就欣赏的数学文化之一。

即使在普林斯顿，那间屋子里也有各种各样的性格和体型的人。他们受到的待遇只与他们的思维方式有关。

我发表的第一篇论文[Bass58]出自芝加哥大学Halmos教授的一门“代数逻辑”课程。Halmos引入了“单子代数”（Monadic algebra）的概念。他提到，有限多个生成元的自由单子代数是有限的还是无限的，这是一个悬而未决的问题。我证明了它是有限的，并给出了它的基数。那是我的第一篇论文。它并不艰深。

科学中的数学教学和数学语言

采访者：如果您年轻时可以从攻读博士学位的年代穿越到现在，您会对周围的哪些变化感到最惊讶？

巴斯：作为一名研究生，我以为数学有着悠久而辉煌的历史，它或多或少会继续延续下去。我没有预见到，受该领域进步（尤其是格罗滕迪克的成就）以及科技进步的影响，数学发生了如此根本性的变革。我在不同时期思考过数学作为一个整体、作为一种文化的动态。人口规模带来了巨大的变化。

在我是学生的时代，美国数学正开始蓬勃发展。在此之前，美国数学起步缓慢。即使是像麦克莱恩这样的人，也得去哥廷根大学攻读学位。但后来，随着美国数学在科学和数学领域地位的提升，它蓬勃发展起来。如今，从事数学研究的人数已大幅增长。并非每个人都能成为学者。但长期以来，学术职位一直空缺。数学领域之所以声名鹊起，不仅是因为人们钦佩它，还因为它对国家安全、经济以及许多其他领域日益增长的影响。甚至技术和应用领域也高度依赖数学。

以非侵入性医学诊断为例。该领域的重大突破很大程度上依赖于19世纪末的数学成果。这些成果早被准备好，随时可供化学家或医生使用。例如，假设你取一个三维物体，进行平行切片，并从这些切片中获取数据。你能重建原始的三维物体吗？这是微分几何中一个自然的问题。或者，如果你从多个方向截取线段，你能根据这些数据重建它吗？这些几何问题在19世纪末基本得到解决。它们是CAT（计算机轴向断层扫描，现称CT扫描）和MRI（磁共振成像）的基础。

数学中存在一个有益的悖论，尤金·维格纳（Eugene Wigner）称之为“数学的不合理有效性”（1960，第1页[Wigner1960]）。人们一次又一次地出于求知欲去追求数学思想。但事实证明，我们的好奇心和审美本能会引导我们找到与大自然为许多问题准备好的相同的答案。这些事物可能需要很长的时间才能得到润色修整，但关键在于，当修整它们时，他们会产生一些想法，而那些执着于只关注应用的人永远不会想到这些。他们永远不会想到数学发展过程中所考虑的抽象和概念发展阶段。

正如伽利略所说，我们必须理解自然的语言，也就是数学的语言。

“哲学被写在这部宏大的书籍——宇宙之中……[若]未能先学会理解其语言、读懂构成它的文字，便无法参透这部书。它是以数学的语言写就的……”——伽利略/德雷克，1623/1957，第237-238页[Galileo1623]

这是一个深邃的洞见，且其真理性不断被重新验证。历史的巧合在此重现——这一学科的美学理念始终与现实世界紧密相连。

我认为数学的学术途径已经在某种程度上饱和了。越来越多接受过数学训练的人不得不从事金融、数据科学、计算机科学和其他应用领域的工作。这很好，因为优秀的批判性思考者在这些领域至关重要。所谓的现实世界越来越需要善于思考和解决问题的人；数学可以培养这些技能。

采访者：您认为自从您成为博士后以来，数学领域有哪些进步？哪些方面变得更具挑战性？

巴斯： 总的来说，这个领域在不断进步，我认为只要我们不毁灭文明，这个领域就永远不会停止，不幸的是，我们不能再排除这种可能性了。

举个例子，学术数学以及一般科学的经济基础是什么？

在科学领域，关键在于实验室的运营。如果你是科学系主任，你任命了一位新教员，你负责组建团队，发放薪水，此外，以前仅仅为了建立实验室，就需要投入五十万美元，现在可能更多。实验室不仅需要学术支持，还需要人员、管理和行政技能，甚至需要科学家的帮助，才能维持项目的正常运转。因此，科学领域的研究经费通常比数学领域的要多得多。

另一方面，数学家的经济基础不同。我认为对数学家来说，实验室就是教室——尤其是高级研究生课程，它们充当着该学科思想的苗床。数学文化的结构与科学文化不同。在一个活跃的数学系，研讨会的安排在其他领域是独一无二的。大量的时间和智力投入到这些研讨会中。教师通常不会因为举办研讨会而获得正式的荣誉。

数学系通常拥有STEM领域规模较大的师资队伍之一。是什么让数学系拥有如此规模的师资队伍？其经济基础在于教育：教学使命。数学是一门赋能科学技术的学科。在教授微积分、线性代数和微分方程等基础学科时，数学在教学领域占据主导地位。随着大学越来越依赖学费作为收入来源，教学成为一种日益重要的资源。它维持着合理的师资规模，而且非常宝贵。

数学家们没有充分认识到本科教学质量对他们的重要性。这关乎经济学基础。其他人，尤其是工程师，常常觊觎这块领地，这当然没错。他们觉得自己更适合教工程师微积分，因为他们知道微积分的用途。这种说法并非毫无道理。

艾伦伯格当时担任哥伦比亚大学数学系主任，当时正值这一挑战发生之际。他绕过了正常的程序，没有去找院长辩论，而是直接去找校长。校长表示，哥伦比亚大学是一所一流的研究型大学，没有一流的数学系的研究型大学是无法生存的。一流的数学系需要合理的师资规模，能够涵盖足够多的领域，并拥有深厚的数学实力。

哥伦比亚大学数学系规模不大，但就其规模而言，与大学和学院的规模相比，其教学职能相对较大。如果他们失去这些教学资源，就意味着系规模的大幅缩减，从而导致教学质量的下降。这是一个“临界规模”的问题。这个论点很有说服力。

但这种争论并非纯粹关乎数学本身的价值。它还传达了一个信息：教学质量必须与规模相符。遗憾的是，这一点并不总是能够充分传达给进入系里的年轻数学家们，他们并没有意识到数学系规模以及教学质量对他们有多大的影响。

随着时间的推移，这种情况正在缓慢地向好的方向改变。你不能再说，只要某人的数学成绩非常优秀，无论他作为老师多么不称职都无所谓。进一步的论证是，事实上，提高教学质量将提高数学的质量和生产力。这项承诺必须成为数学系文化的一部分，并且必须得到系领导层的培育和支持。

21960至1990年代：主要是交换同调代数、投射模、泛函和树

采访者：在1960到70年代，您的工作主要集中在同调代数和投射模上。您记忆中最深刻的是什么？

巴斯：为了准备这次采访，我翻阅了我65岁生日会议[LamMagid1997]上写的那本书。我记得有几次我读到了一些我钦佩的结果，于是我问了那些证明了这些结果的人，他们说：“你做到了。” 这就是我读完那本书的感受。很多事情已经从我的记忆中淡去，只剩下一些非常普通的印象。

我确实记得，进入一个新鲜的领域总是令人欣喜，当时的同调代数就是这样的。这片土地还没有完全被开发，所有低垂的果实都还没有被采摘。它提出了许多新的问题。同调代数是以拓扑学中发展起来的同调理论和上同调理论为模型的。

桑德斯·麦克莱恩（Saunders MacLane）有一篇关于自然变换的论文，它本质上是函子之间的态射。例如，一个有限维向量空间同构于它的对偶。它们具有相同的维度。但它以一种自然的方式同构于它的第二个对偶，因为你可以将它等价于它的第二个对偶。在这两个同构中，一个是典范的；它是自然的。于是，范畴论的概念开始出现。

同调代数（homological algebra）蕴含着范畴论（category theory）的种子，它刚刚开始发展成为一种将代数拓扑的思想公理化的全新理论。拓扑学研究的是复杂的连续对象。离散的事物更容易处理，更容易计算，也更容易发现差异。例如，（上）同调理论将离散的代数对象与空间联系起来。

因此，这些理论是强大的工具，因为它们可以将复杂的几何对象代数化。同调代数将这些理论方法公理化。因此，这些公理可以应用于拓扑空间以外的其他范畴，例如环、群、李代数等等。

笛卡尔在代数和几何之间架起了一座重要的桥梁。这发展成为将空间X与X上的函数环R(X)关联的实践。这支持了将许多与X相关的几何对象转化为与R(X)相关的代数类似物的部分词典。例如，X上的向量丛对应于投射R(X)-模。

投射模（projective module）对于任何环都具有纯代数意义，不一定是R(X)的形式。因此，投射模和环的同调代数是纯代数理论，它们与几何学有着重要的联系，也与代数中的经典问题有着一些意料之外的联系。

新的环同调代数为其应用打开了大门。环R的第一个同调不变量是它的全局维数。我记得艾伦伯格在环论发展最为成熟的领域，也就是当时的有限维代数中研究了这一点。它们有一个幂零根，模为半单的。事实证明，如果R是半单的，则R的全局（整体）维数为零，否则该维数为无限。因此，令人失望的是，同调代数并没有带来任何新的启示。

但更有成效的应用领域是交换代数，它与代数几何紧密相关。同调代数在其中有何意义？在这方面，它带来了巨大的回报。这些成就源于让-皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）、莫里斯·奥斯兰德（Maurice Auslander）、大卫·布赫斯鲍姆（David Buchsbaum）以及当时其他代数学家的发展。例如，全局维度的有限性等同于正则性。从几何学上讲，它等同于对应簇的光滑性。这就是交换同调代数的诞生，它至今仍是一个充满活力的研究领域。

欧文·卡普兰斯基（Irving Kaplansky，巴斯的博士生导师，作者注）在一系列讲座中开始揭示交换代数中的同调方法，这启发了我的论文方向。对我来说，卡普兰斯基是一位非常轻松的老师。他不会试图面面俱到。他会挑选一些关键定理，然后尝试沿着测地线（意即局部最短路径的方式，zzllrr小乐译注）推导这些定理，不让技术细节和枝节问题妨碍教学。

事实证明，这是一种很有吸引力的教学方式。它勾勒出该学科的宏大思想，同时也揭示了当时许多悬而未决的问题。例如，考虑一个正则局部环（一个光滑点处的局部环）是否为一个唯一分解整环。这是一个非常自然的代数问题，其答案可以用同调方法得到证明。塞尔用同调术语构建了相交重数理论框架。

同调代数在其早期阶段，将投射分解和内射分解，尤其是投射模，带到了人们的视野中。投射模非常棒。自由模类似于向量空间，但标量来自环而不是域。因此，我们的想法是，模仿线性代数或主理想整环的初等因子理论，看看能将其推广到何种程度。

在我的论文中，我研究了与内射维数相关的内容。当时，这方面的研究并不活跃，所以对我来说，这是一个鲜有涉猎的领域。我认为，它之所以没有受到太多关注，原因之一是内射模往往不是有限生成的。例如，对于阿贝尔群，一个重要的内射模是ℚ/ℤ，它肯定不是有限生成的。

因此，内射模和内射维数的发展将我引向了一个看似很自然地可以同调地看待的方向。与此同时，我并不清楚它在更广泛的数学领域中究竟有多有趣。当时我并没有为此担心。但我那篇所谓的“泛在性”（Ubiquity）论文，最终成为了我在这个主题上工作的巅峰，并成为我被引用次数最多的论文之一[Bass1963]。

鉴于我的方法，研究满足自身作为A-模的环A具有有限内射维数是很自然的。我发现了几个与此等价的条件，尤其是当A是交换诺特环时。当我向塞尔证明这一点时，他指出，当A是仿射环（就像在代数几何中一样）时，其中一些与对偶相关的条件已被格罗滕迪克（Grothendieck）研究过，他根据Gorenstein关于平面曲线奇点的论文将它们称为Gorenstein环。其他例子包括有限阿贝尔群的积分群环，这与我对有限群积分表示的兴趣相关。

这篇关于泛在性的论文试图将一系列看似毫无关联的结果连贯地整合在一起，之后我才将注意力转向其他方向。这有点像“房屋清扫”；我的目标并非解决什么大问题。因此，这篇论文为何能引起如此大的关注，我感到颇为好奇。

为了使情况更近一步，我们可以研究树上的群作用。该领域源于对同余子群问题的研究，该问题探讨的是，对于全局域上的算术群，有限指标子群在多大程度上可以用同余子群“解释”。在分裂简单代数群G中，当rank⁢(G)≥2时可以得到有效结果。人们早就知道，对于秩为1的群，例如S⁢L₂⁢(ℤ)，这不成立。

塞尔继续分析了S⁢L₂⁢(A)的情况，其中A是S-算术环，例如ℤ⁢[1/p]，p是素数。他证明了，如果A的单位群为无限，则同余子群性质本质上得以保留。他的方法涉及研究S⁢L₂⁢(F)的离散子群Γ，其中F是局部域。关于此研究的一个显著结果是Ihara定理：如果Γ不具有挠率，则Γ是一个自由群。塞尔通过使用Γ对Bruhat-Tits厦（building，秩为1时是一棵树）的作用，系统化了这项研究。

1968年，塞尔在法国学院开设了一门关于这些思想的课程。当时我在巴黎休假一年，塞尔邀请我准备他的讲座笔记。我很乐意做这件事，尽管我当时的重点是代数K-理论。塞尔发起了一项关于群Γ作用于树X的普遍研究。除了恢复Ihara定理之外，他还证明了，例如，如果Γ\X是一条边，那么Γ允许合并自由积分解。

在一次关于课程笔记的咖啡馆讨论中，塞尔指出这些结果应该是树上群作用的一般组合理论的片段，并建议我可以在笔记中阐述细节。我照做了，将其表述为一种分支覆盖空间理论的类似物，其中Γ表示为商“群图”Γ\\X的“基本群”。这项工作现在被称为“Bass-Serre理论”，被纳入塞尔的《树》

Trees

完成这些之后，我的注意力又回到了代数K-理论。在IHÉS法国高等科学研究所，我和泰特一起研究了全局域的K₂。大约十年后，Peter Shalen（彼得·沙伦）问了我一个关于G⁢L₂⁢(ℂ)的有限生成子群的具体问题，他怀疑这个问题可以用树上的群作用理论来解答。我证明了一个小定理，证实了他的怀疑。

当瑟斯顿（Thurston）来哥伦比亚大学做学术报告时，我给他看了这个定理，并问他是否知道沙伦的兴趣所在。他说他不知道，但这个结果可以帮助证明史密斯（Smith）猜想，即关于三维球面周期微分同胚的固定圆的结可解性。瑟斯顿的冲动被证明是正确的，但它的实现必须动员几位数学家的努力，这些研究最终汇集在了《史密斯猜想》[MorganBass1984]一书中。

这项工作使得Morgan和Shalen深化并推广了树的群作用理论。特别是，他们引入了Λ-树的概念，其中Λ是任意全序阿贝尔群。组合树属于Λ=ℤ的情况。他们建立了ℝ-树的几何重要性[MorganShalen1984]。这些事件重新激起了我对树作用的兴趣，包括与Roger Alperin合作研究Λ非阿基米德的情况。

这项工作的成果之一是我与Alex Lubotzky合著的《树格》

Tree Lattices

图5：从左到右J. - P. Serre、Alex Lubotzky和Hyman Bass，耶路撒冷希伯来大学爱因斯坦数学研究所，1998年

照片源：Lisa Carbone

Ihara的论文是所有这些工作的关键来源，它不仅证明了S⁢L₂⁢(ℚp)中无挠率的离散子群Γ是自由的，而且它还附加到Γ一个zeta函数[Ihara1966]。虽然我之前没有怎么研究过zeta函数，但为了自我启发，我决定理解Ihara论文的这一部分。

我将Ihara的构造推广到任何均匀格，不一定无挠率，也不一定是正则树上的格，并使用了来自投射模和表示论工作的非交换行列式思想，例如在我的论文“离散群的欧拉示性数和特征”[Bass1976]中。虽然我将这篇论文视为自学练习，但令人惊讶的是，它成为了我被引用次数最多的论文之一。

31960年代中期至80年代中期：代数K理论和同余子群问题

采访者：您最为人熟知的可能是在1960年代到80年代对代数K理论和同余子群问题的研究。您对这项工作有什么印象？

巴斯：有趣的是，事物具有连续性。我一直在思考塞尔猜想，即多项式环上的投射模是自由的。作为一名代数学家，我心中一直存在的模型是初等因子理论（elementary divisor theory），即主理想整环（PID - Principal Ideal Domain）或戴德金整环上的模。

令我大开眼界的是塞尔在杜布雷尔-皮索（Dubreil-Pisot）研讨会上发表的一篇论文，他证明了秩足够大的投射模有一个自由直和项（free direct summand）[Serre1958]。这个结果与我之前见过的任何结果都截然不同。因此，我仔细研究了这个证明。

他的证明让我意识到，拓扑方法和代数方法之间存在着一道巨大的壁垒。这道壁垒类似于光滑性和解析性之间的壁垒。对于解析性，如果你知道一个函数的芽（germ）——如果你知道它在某个点的一个小邻域内——它就被全局确定了。两个在一个小的开集上一致的解析函数是相同的。如果它只是可微的，甚至是无限可微的，那就不再成立了。

这意味着，有了光滑性——而不是解析性——你就可以进行单位分解。你可以将函数的各个部分组合成在不同位置表现良好的函数，然后将它们光滑地拼接在一起。

单位分解是拓扑方法的基操。如果把投射模看作向量丛，得到一个自由直和项意味着可以得到一个处处非零的截面，因为这样它就能生成一个一维直和项。

塞尔的结果是一个简单的拓扑定理的代数类似物：如果向量丛E的秩超过了基的维数，那么E有一个（连续的）非零截面。那么，如何构造一个处处非零的截面呢？你可以在基空间的骨架上进行归纳构建。归纳地讲，在t-骨架，你想将其扩展到(t+1)-骨架的一个单元内部。该单元已在边界上构造，你想将其扩展到不带零的内部。设向量丛秩为r，基空间维数为d，则此扩展的障碍几乎同义反复地位于π_t⁢(Sʳ⁻¹)，如果r−1>d−1≥t，则障碍消失。

代数中的函数表现得像解析函数。如果有两个多项式，即使它们包含多个变量，并且它们在一个开集上一致，那么它们就是相同的。所以你不能拼接局部给定的多项式函数。

在秩为r的投射模P中，塞尔试图构建一个元素（“截面”）s，模每个极大理想都非零。因此，我们处理的是环极大理想空间X。s的零轨迹Z⁢(s)在X中闭合。选择一个截面t，它在Z⁢(s)上非零，并且与用于构建s的所有截面“线性无关”。如果r很大，并且Z⁢(s+t)⊂Z⁢(s)维度较低，则是可能的。这就是塞尔的方法。这与我之前见过的论证完全不同。

令ᵣ(R)为秩为r的投射R-模的同构类集，并定义通过将P发送到P⊕R，ᵣ(R)⟶ᵣ₊₁(R)成立。塞尔定理指出，对于d=dim⁢(R)，r≥d，则这些映射是满射的（surjective）。受拓扑类似物的启发，我证明了它们对于r>d是内射的（injective）。这引起了人们对代数中“稳定范围”现象的更多关注。

随后，格罗滕迪克提出了黎曼-罗赫（Riemann-Roch）定理，幸运的是，它发表在了波雷尔（Borel ）和塞尔的一篇开创性论文中[BorelSerre1958]，后来被发表在SGA 6 [Grothendieck1957]。格罗滕迪克想等到这些想法得到进一步发展，但这些想法太过丰富，以至于无法拖延发表。

其中一个想法是K-函子，即代数簇（algebraic variety）或概形（scheme）X上的向量丛的“格罗滕迪克群”K⁢(X)，它被处理成类似于上同调理论的东西。阿蒂亚（Atiyah）和希策布鲁赫（Hirzebruch）以此为基础，创立了拓扑空间X的拓扑K-理论，将Kⁿ⁢(X)定义为“X的n次悬垂（suspension）的K群”。

图6：从左到右，Lisa Carbone、Peter Kropholler、Elizabeth Schneider、Hyman Bass、Sal Liriano和Ilya Kapovich，奥尔巴尼群论会议，1993年

对我来说，尝试构建这些发展的代数类似物似乎是自然而然的。对于环R，我们首先从K₀(R)开始，即有限生成（左）R-模的格罗滕迪克群。当R满足交换律、Noether环和正则律时，格罗滕迪克证明了一种“同伦不变性”：K₀(R)⟶K₀(R⁢[t])是一个同构。

因此，有限生成的投射R⁢[t]-模与P⁢[t]“稳定同构”，其中P是R-模。结合稳定性定理，这部分证实了“塞尔猜想”，即当R为域（field）时，投射R⁢[t₁, t₂, … , t_d]-模P是自由的；如果rank⁢(P)≥d+2，则这可由同伦不变性和稳定性定理推导出来。大约十年后，Quillen和Suslin完全证明了塞尔猜想。

图7：海曼，1960年代中后期

寻求高等代数K-群K_n⁢(R)，n≥0的构造是很自然的，但没有令人满意的悬垂集的代数类似物。我直接研究了n=1的情况。拓扑上，K₁(X)=K⁢(S⁢X)，即X的悬垂集S⁢X上的向量丛的格罗滕迪克群。S⁢X可以看作是X上两个锥的并集，沿它们公共基X粘合。

设E是S⁢X上的秩n向量丛。由于锥是可收缩的，E可以等价于每个锥上的平凡秩n丛。则E由平凡丛在S⁢X的“赤道”X上的“粘合”自同构定义，换句话说，由元素α∈G⁢L_n(C⁢(X))定义，其中C⁢(X)是X上的连续实函数环。达到同构，E由α的同伦类确定，即α模G⁢L_n(C⁢(X))的恒等分量G⁢L_n⁰(C⁢(X))的像，因此K₁(X)=lim_n G⁢L_n(C⁢(X))/G⁢L_n⁰(C⁢(X))=G⁢L⁢(C⁢(X))/G⁢L⁰⁢(C⁢(X))。

要定义一个代数类似物，需要用任意环R代替C⁢(X)来表示G⁢L_n⁰(C⁢(X))的代数代理。由于各种原因，使用由初等矩阵I+t⁢e_{i⁢j}生成的群E_n⁢(R)是合理的，其中t∈R，i≠j，且e_{i⁢j}，(1≤i,j≤n)是n×n矩阵空间的标准基。此外，定义K₁(R)=G⁢L⁢(R)/E⁢(R)。我证明了K₁的一些稳定性定理，类似于K₀的稳定性定理。

我们与Alex Heller和Dick Swan一起证明了K₁的同伦不变性的类似物。在我的著作《代数K-理论》中，我构造了一些与K₀和K₁相关的正合序列（exact sequences）[Bass1968]。此外，米尔诺（Milnor）还撰写了一篇精彩的代数K-理论导论，将该理论扩展到K₂⁢(R)[Milnor1969]。

尽管环C⁢(X)介导了代数与拓扑K理论的联系，但事实证明，拓扑学中一个完全不同的分支，更早之前就对K₁(R)的一个细微变体产生了兴趣，其中R是群π中可能非交换的整群环Z⁢π。这就是“简单同伦理论”，它探究同伦等价关系X⟶Y是否“简单”。J. H. C. Whitehead（怀特海）定义了一个障碍，它存在于我们现在称之为Whitehead群W⁢h⁢(π)中，其中π是X和Y的共同基本群。我们可以写成W⁢h⁢(π)=K₁(Z⁢π)/[±π]，其中[±π]表示元素属于±π的对角矩阵类。

怀特海建立了初等矩阵的基本代数，例如证明了E⁢(R)是G⁢L⁢(R)的交换子群。他的学生格雷厄姆·希格曼（Graham Higman）对有限阿贝尔矩阵π进行了W⁢h⁢(π)的首次实质性计算。这个代数为K₁的计算提供了基本工具。

对于R可交换，行列式分解为K₁(R)=R^×⊕S⁢K₁(R)，R^×是R的单位群，后者来自特殊线性群。此外，对于R的理想J，还定义了相对群S⁢K₁(R,J)。对于R=ℤ，计算群S⁢K₁(Z,J)时已经遇到了S⁢L_n⁢(ℤ)，n≥3的百年之久的“同余子群问题”。这引起了几位数学家的努力，尤其是米尔诺和塞尔，最终形成了我们关于同余子群定理的论文[BassMilnorSerre1967]。这解决了算术环的S⁢L_n同余子群问题（n≥3），并将其与数论中的互反律联系起来。

这些多元的联系（与代数、代数几何、拓扑K-理论、简单同伦理论、泛函分析和数论）表明，这些代数K-理论尚且不温不火的发展，其数学前景远超我的预期。这更激发了我对构建“好的”高等代数K-理论的兴趣。因此，代数K-理论似乎拥有许多引人入胜的触角，其中一些甚至超出了我的专业范围，但却缺乏数学核心。这促使我组织了一场会议，将这一新兴学科的所有不同研究对象聚集在一起。

在提交给美国国家科学基金会的会议提案中，我曾这样写道：“有很多人有着类似的兴趣，但他们的领域截然不同。只要把他们聚集在一起，就能产生人与人之间的化学反应。”会议取得了巨大的成功，这要归功于奎伦，他带来了一套完整的高等代数K-理论（两个版本）的构建以及一些基本的计算工具。这让他获得了菲尔兹奖。会议论文集出版于三卷厚厚的施普林格数学讲义[Bass1973one][Bass1973two][Bass1973three]中。

- 上篇完 -

参考资料

https://arxiv.org/html/2502.09751v1

https://www.ams.org/journals/notices/202506/noti3189/noti3189.html

[Bas63]

Hyman Bass, On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z. 82 (1963), 8–28, DOI 10.1007/BF01112819. MR153708

[Bas68]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968. MR249491

[Bas73a]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, i. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 1), Springer, 1973.

[Bas73b]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, ii. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 2), Springer, 1973.

[Bas73c]

Hyman Bass, Algebraic K-theory, iii. “Classical” algebraic K-theory, and connections with arithmetic (vol. 3), Springer, 1973.

[Bas76]

Hyman Bass, Euler characteristics and characters of discrete groups, Invent. Math. 35 (1976), 155–196, DOI 10.1007/BF01390137. MR432781

[Bas15]

Hyman Bass, Mathematics and teaching, Notices Amer. Math. Soc. 62 (2015), no. 6, 630–636.

[Bas17]

Hyman Bass, Designing opportunities to learn mathematics theory-building practices, Educational Studies in Mathematics 95 (2017), no. 3, 229–244.

[BCR01]

Hyman Bass, Lisa Carbone, and Gabriel Rosenberg, The existence theorem for tree lattices (appendix), Tree lattices, 2001.

[BK90]

Hyman Bass and Ravi Kulkarni, Uniform tree lattices, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 4, 843–902, DOI 10.2307/1990905. MR1065928

[BL01]

Hyman Bass and Alexander Lubotzky, Tree lattices, Progress in Mathematics, vol. 176, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001. With appendices by Bass, L. Carbone, Lubotzky, G. Rosenberg and J. Tits, DOI 10.1007/978-1-4612-2098-5. MR1794898

[BMS67]

H. Bass, J. Milnor, and J.-P. Serre, Solution of the congruence subgroup problem for SL_n(n≥3) and Sp_{2n}(n≥2), Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 33 (1967), 59–137. MR244257

[Car01]

Lisa Carbone, Non-uniform lattices on uniform trees, Mem. Amer. Math. Soc. 152 (2001), no. 724, xii+127, DOI 10.1090/memo/0724. MR1841021

[CR03]

Lisa Carbone and Gabriel Rosenberg, Lattices on nonuniform trees, Geom. Dedicata 98 (2003), 161–188. MR1988428

[LM99]

T. Y. Lam and A. R. Magid (eds.), Algebra, $K$-theory, groups, and education, Contemporary Mathematics, vol. 243, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. On the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday; Papers from the conference held at Columbia University, New York, November 6–7, 1997, DOI 10.1090/conm/243. MR1733562

[Ree88]

Mina Rees, The mathematical sciences and World War II, A century of mathematics in America, Part I, Hist. Math., vol. 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, pp. 275–289. MR1003177

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