韦东奕论文登数学顶刊，将散焦方程的爆破性研究扩展至d≥4

韦东奕论文再登数学顶刊！

就在备受关注之际，韦神本韦和另两位北大学者章志飞、邵锋合作的一篇论文已发表于数学界顶级期刊《Forum of Mathematics, Pi（数学论坛，π） 》。

论文题目为《On blow-up for the supercritical defocusing nonlinear wave equation（超临界散焦非线性波动方程的爆破现象研究）》，通俗来说就是研究某些方程的解在什么条件下会“爆炸”失控。

而经过一系列论证，他们最终发现对于d=4且p≥29，以及d≥5且p≥17的情况，存在一个在有限时间内爆破的光滑复值解。

不清楚具体研究内容不要紧，重要的是这一成果不仅填补了相关空白，而且其证明方法绕过了传统方法中奇点处理的难点，理论上可推广到其他非线性偏微分方程的爆破研究。

网友们的反应一致be like：

• 字都认识，但是看不懂一点（doge）。

实际上，据清华大学丘成桐数学科学中心网站介绍，韦东奕还在今年5月以主讲人的身份做了这篇论文的报告。

下面具体来看这项研究讲了啥？

将散焦方程的爆破性研究扩展至d≥4

从论文摘要入手，该研究探讨了在ℝ×ℝd上，以下散焦非线性波动方程：

1）在“超临界”状态下是否会在有限时间内爆破？

2）如果存在，爆破的速度和机制是什么？

正如水波、电磁波等波动现象能用方程来描述，“非线性波动方程”是指一类描述复杂波动的数学方程。

而这里的“散焦”意味着波的能量向外扩散。

那么，为什么要关注该方程在“超临界”状态下的情况呢？

原因主要在于，此前研究已解决“亚临界”、“临界”情况的全局正则性（解永远存在且光滑），但超临界散焦方程的爆破性研究很少，尤其在空间维度d≥4的低维情形几乎空白。

而通常来说，当方程处于“超临界”状态时，波的能量分布更难控制，更可能出现“爆破”现象（即解在有限时间内变得无穷大）。

所以，韦东奕等人想要论证：

• 在d≥4的低维情形下，散焦非线性波动方程存在有限时间爆破解

这里要补充一下，方程的“临界性”由空间维度d和指数p决定。几种状态的定义如下：

其中“超临界”状态具体指sc >1，即当且仅当d≥3，有p>1+4/（d-2）。

最终，他们得出了两项核心结论：

• 当d=4且p≥29，以及d≥5且p≥17的情况时，存在光滑的初始波形，使得方程的解在有限时间内爆破。
• 波的最大振幅随时间接近爆破时间时，爆破速度比临界范数的增长更快，说明爆破不可避免

具体论证方法则结合了三人组之前关于“相对论欧拉方程自相似内爆解”的一项研究。

这篇名为《Self-similar imploding solutions of the relativistic Euler equations》的论文核心围绕相对论欧拉方程展开，这是一个描述理想流体（比如气体）在相对论速度下行为的数学模型。

团队研究了这些方程的一种特殊解，叫做“自相似内爆解”，即流体在有限时间内会集中到一个点，就像内爆一样。

他们发现，在特定的条件下（比如在2维或3维空间中，或在更高维度中但条件稍微宽松一些），这种内爆解是存在的。

这个发现对于理解更复杂的波动方程（比如描述声波或光波的方程）在特定条件下是否会在有限时间内“爆炸”（即变得无限大）非常重要。

换言之，我们能更好地理解在极端条件下，物质和能量的行为方式。

回到正题，在后来登上顶刊的这项研究中，他们正是将相对论欧拉方程的“自相似解”（形状不变、仅缩放的解）作为爆破解的“骨架”，结合其他技术绕过了传统方法中奇点处理的难点。

最终为理解散焦方程的动力学行为提供了新视角，并且其方法可推广到其他非线性偏微分方程的爆破研究。

通俗理解，其具体论证过程可分为以下五个步骤：

第一步：模相位分解。就像把光分解成振幅和相位一样，他们将波也拆成“幅度”和“相位”两个零件，以便单独研究哪个零件导致了“爆破”。

第二步：自相似解假设。一般炸弹爆炸时，不同时间点的“爆炸形态”其实很像，只是“缩放了大小”，故他们也假设波的爆破也有这种“自相似”，以便后续计算。

第三步：构造近似解。继续用简单的数学公式拼出一个“假波”，模仿爆破的趋势。

第四步：反向时间求解精确解。从“爆炸结局”往回推，慢慢修正成精确解，以证明真的存在这样一个波，会在特定时刻爆炸。

第五步：推论的证明。通过前面四步，已经找到“会爆炸的波”的精确解，现在要验证它的 “爆炸速度”。而通过计算，他们发现爆炸“刹不住车”，必然会发生。

更专业的论证过程指路原论文第二章节。

曾以唯一作者身份登上数学顶刊

这项研究的其他两位作者分别为章志飞和邵峰。

章志飞，博士毕业于浙江大学，目前为北大数学科学学院博雅特聘教授、副院长和博士生导师。

主要从事偏微分方程领域的研究，已在Invent Math、CPAM、Memoirs AMS等顶尖数学刊物上发表论文150余篇，获得过国家“杰青”和陈省身数学奖等荣誉。

他和韦东奕合作多年，2022年曾作为团队代表在国际数学家大会上做了45分钟的报告。

邵峰，本科毕业于中国科学技术大学，目前是北大基础数学专业四年级博士生。

章志飞和韦东奕为邵峰的共同导师，三人多次合发论文。

事实上除了合著，韦东奕的个人研究也曾登上数学顶刊。

就在2021年，《Science China - Mathematics》刊载了他的一篇论文“通过预解估计流体流动中的扩散和混合”。

怕大家信息过载，具体内容这里不再展开了（doge）~

BTW，许多网友关注到韦东奕在这篇论文中并非第一署名。

根据网友科普，这是因为数学上默认按照姓氏字母顺序排序，不区分一二作。

论文：
https://arxiv.org/abs/2405.19674