数学知识之5个初等函数性质解析(十三)

数学知识之5个初等函数性质解析(十三)

主要内容：

1.求f(x)=(4x-15)³√(4x+9)²的单调性区间和极值。

2.已知f(x)+9f(-x)=x,求f(x)。

3.函数y=√(20-2x)的单调和凸凹等性质

4. 函数y=2x³+2x²+3x的主要性质

5. y=x²-13|x|方程的单调性及单调区间

1.求f(x)=(4x-15)³√(4x+9)²的单调性区间和极值。

主要内容：

通过函数的导数，求出函数的驻点，判断函数的单调性，进而求解函数f(x)=(4x-15)³√(4x+9)²的单调区间和极值。

解：函数f(x)对x求导，得：

y'=4*³√(4x+9)²+(4x-15)*2/[3*³√(4x+9)],

=[12(4x+9)+2(4x-15)]/[3*³√(4x+9)],

=（56x+78）/3*³√(4x+9)],

令y'=0,则56x+78=0，即：

x=-39/28。

下面需要判断导数y'的符号问题，

分母零点x0=-9/4,又函数的定义域为全体实数，则有：

(1)当x∈(-∞，-9/4]和[-39/28,+∞]时，y’>0,

此时函数y为增函数，该区间为单调增区间。

(2)当x∈(-9/4,-39/28)时，y’<0,

此时函数y为减函数，该区间为单调减区间。

进一步可得，在x=-9/4取得极大值，

在x=-39/28处取得极小值，所以：

y极大值=f(-9/4)=0,

y极小值=f(-39/28)=-18*³√(24/7)。

2.已知f(x)+9f(-x)=x,求f(x)。

主要内容

通过抽象函数换元、函数代换法，介绍已知f(x)+9f(-x)=x,求函数f(x)表达式的具体步骤。

思路一：抽象函数换元

设-x=t,则x=-t，代入已知条件得：

f(-t)+9f(t)=-t,

9f(t)+f(-t)=-t,

由于函数自变量可以用任意符号表示，

同时连立已知条件，得方程组：

9f(x)+f(-x)=-x……(1)

f(x)+9f(-x)=x……(2)

方程(1)*9-(2)，得：

(81-1)f(x)=-9x-x,

(9-1)f(x)=-x，

所以f(x)=-x/8。

思路二:函数代换法

设f(x)=mx+n,则：

f(-x)=-mx+n,代入已知条件得：

(mx+n)-9mx+n=x

(-8m-1)x+2n=0,

方程对任意的x都成立，则：

-8m-1=0,且2n=0。

即：m=-1/8,n=0,

所以f(x)=-x/8。

3.函数y=√(20-2x)的单调和凸凹等性质

主要内容：

本文介绍函数y=√(20-2x)的定义域、值域、极限等性质，并用导数知识判断函数的单调性和凸凹性，并求出函数的单调区间和凸凹区间。

函数的定义域值域：

根据函数特征，有：

20-2x≥0，则x≤10.

即函数的定义域为：(-∞, 10).

根式函数的值域为[0,+∞).

函数的极限：

Lim(x→10)√(20-2x)=0；

Lim(x→-∞)√(20-2x)= +∞。

函数的单调性：

∵y=√(20-2x)

∴dy/dx=-1/√(20-2x)<0,

则函数在定义(-∞, 10)上为单调减函数。

函数的凸凹性：

∵dy/dx=-√(20-2x)=-(20-2x)^(-1/2),

∴d²y/dx²

=(1/2)(20-2x)^(-3/2)*(-2)

=-(20-2x)^(-3/2)<0.

所以函数y在(-∞, 10)上为凸函数。

4. 函数y=2x³+2x²+3x的主要性质

主要内容：

本文主要介绍函数y=2x³+2x²+3x的定义域、单调性、值域、凸凹性及极限等性质，并举例介绍函数导数的应用，同时通过函数导数知识，求解函数的单调和凸凹区间。

函数定义域：

根据函数特征，函数y=2x³+2x²+3x右边表达式为自变量的多项式，即可取任意实数，故函数的定义域为：(-∞，+∞)。

函数单调性：

用导数的知识来判断函数的单调性，并求解函数的单调区间。

∵y=2x³+2x²+3x,

∴dy/dx=6x²+4x+3,

对于方程6x²+4x+3=0,有：

判别式△=4²-4*6*3<0,即dy/dx>0.

所以函数在定义域上为增函数。

函数凸凹性：

∵dy/dx=6x²+4x+3

∴d²y/dx²=4(3x+1),令d²y/dx²=0，则：

x=-1/3,且有：

(1)当x∈(-∞，-1/3)时，d²y/dx²>0,

则此时函数为凹函数。

(2)当x∈[-1/3，+∞）时，d²y/dx²<0,

则此时函数为凸函数。

函数的极限：

lim(x→+∞) 2x³+2x²+3x=-∞;

lim(x→0) 2x³+2x²+3x=3;

lim(x→-∞) 2x³+2x²+3x=+∞;

根据函数的极限可知，函数的值域为(-∞，+∞)。

5. y=x²-13|x|方程的单调性及单调区间

主要内容：

通过去绝对值讨论方法，介绍求解绝对值方程y=x²-13|x|的单调性及单调区间的主要步骤。

主要步骤：

解：1.当x≥0时，|x|=x,代入得：

y=x²-13|x|=x²-13x,

对称轴x=-(-13)/2=13/2>0,

此时二次方程开口向上，则有：

(1)当x∈[0,13/2]时，函数y为减函数，

该区间为二次函数的减区间；

(2)当x∈(13/2,+∞)时，函数y为增函数，

该区间为二次函数的增区间。

2.当x＜0时，|x|=-x,代入得：

y=1x²-13|x|=1x²+13x,

对称轴x=-13/2＜0,

此时二次方程开口向上，则有：

(1)当x∈[-13/2,0)时，函数y为增函数，

该区间为二次函数的增区间；

(2)当x∈(-∞，-13/2)时，函数y为减函数，

该区间为二次函数的减区间。