基于相似性的类比比例*Similarity-based analogical proportions

Similarity-based analogical proportions

基于相似性的类比比例

https://arxiv.org/abs/2402.18360

摘要

作者最近在泛代数（universal algebra）的一般框架下引入了类比比例（analogical proportions）和相似性（similarity）的抽象代数模型。本文的目的在于通过将“类比比例”用“相似性”的概念来表达，从而在二者之间架起一座桥梁。这种基于相似性的方法的好处是：比例与相似之间的联系被内建于该框架之中，因此显而易见——这一点颇具吸引力，因为类比的核心正是比例与相似；此外，关于相似性的未来研究成果可以直接应用于类比比例。

1. 引言与预备知识

作者最近在泛代数的一般背景下引入了形式为“a 对 b 如同 c 对 d”（记作 a : b :: c : d）的类比比例的抽象代数框架，具有良好的数学性质（Antić, 2022）。该框架已被应用于逻辑程序综合（logic program synthesis）（Antić, 2023c），并在单一运算代数（monounary algebras）中进行了研究（Antić, 2023b）。

与此同时，作者还提出了一个基于以下思想的抽象代数相似性模型：一个元素的泛化集合（generalizations）包含有关该元素性质的重要信息（Antić, 2023e）。例如，项 2x 是整数 a 的泛化，当且仅当 a 是偶数；项 x² 是 a 的泛化，当且仅当 a 是平方数。

本文旨在结合上述两个框架，通过将类比比例定义为基于相似性的结构，使相似性成为比例的核心。这种基于相似性的方法的优势在于：比例与相似之间的联系是框架内在的、显而易见的——这在 Antić (2022) 中给出的先前定义中并不成立。这一特点颇具吸引力，因为比例与相似都处于类比的核心地位。更重要的是，这种方法使得我们能够直接将未来关于相似性的研究成果应用到类比比例上。

我们在第5节对这两种方法进行比较，并注意到它们之间存在细微差异。具体而言，虽然 Antić (2022) 中的框架总是满足内部 p-自反性（inner p-reflexivity）a : a :: c : c，在本文提出的基于相似性的框架中却不一定成立，例22给出了一个合理的反例加以说明。此外，Antić (2022) 中的关键结果“唯一性引理”在此框架中也不成立（见警告24）。另一方面，在第4节中我们展示了 Antić (2022) 中的同构定理（Isomorphism Theorems）可以顺利地转移到基于相似性的设置中，表明类比比例与保持结构的映射是兼容的。

我们假设读者熟悉泛代数的基本知识，如 Burris 和 Sankappanavar (2000, §II) 所呈现的内容。

6.结论

本文的目的是在泛代数的一般框架下，基于代数相似性（Antić, 2023e）这一定性概念来定义类比比例，从而将类比中两个核心概念结合起来。我们展示了 Antić (2022) 中的大多数结果可以轻松地被迁移过来。然而，我们也看到，内部 p-自反性 a : a ≈ c : c 在一般情况下并不成立（定理 12），例 22 中给出的合理反例对此进行了说明；此外，Antić (2022) 中的关键“唯一性引理”也可能不成立（见警告 24）。总体而言，我们在泛代数的一般设置下建立了一个具有良好数学性质的、基于相似性的类比比例框架——最重要的是，未来关于代数相似性的研究成果可以直接应用于本文所定义的类比比例。

原文链接： https://arxiv.org/abs/2402.18360