深度科普：如果在地球挖个洞到另一端，跳进去会做怎样的运动？

这是一个颇具挑战性的议题。我们先从最浅显的层面探讨起。

最浅显的状况是这样的：

1.我们假设这道井从地球的最北端直通至最南端，与地球自转轴完美重合。这样，我们就可以忽略地球转动的影响。

2.井内为真空环境。当然，在井的两端需要封闭盖板。这样，我们就不用考量空气阻力的作用了。

3.井壁具备绝佳的隔热性能，否则，当你接近地心时，6000度的井壁散发出的热辐射足以将你烤熟。

4.我们将地球视为一个密度均匀分布的球体。

在这样一个理想化的井建成后，小明同学背上氧气瓶，无畏地从北极一跃而下。

在地球的表面，重力加速度大约为1g（约9.8米/秒2）。随着小明的深入，他所受到的重力逐渐减少，这意味着他的加速度也在减小，然而，他的下落速度却在持续增加。到达地心时，他所受到的重力为零。但此时，他已获得了能穿越地心朝南极洞口飞去的最大速度。越过地心之后，与运动方向相反的重力开始使其减速。随着他逐渐远离地心，重力又开始逐渐增加。当他抵达南极的洞口时，速度已减至零。重力再次将他拉回，朝北极的洞口坠落。

如此，小明在这条井中不断地做着往复运动。若无人将他拽出或他自己无法抓住把手攀爬而上，小明最终不是因耗尽氧气而窒息，便是饿死。

从北极到南极，小明所需的时间约为42分钟。有趣的是，如果你从地球上任意两点间的这种井中跳下，从另一端出来所需的时间都是42分钟。这里忽略了摩擦力的影响。更有趣的是，这个时间仅与星球的密度有关，与大小无关。基于这一原理，人们设想了引力火车这一未来可能的节能交通工具，其所需能量仅需抵消摩擦损失即可。

在整个过程中，小明受到的重力与其离地心的距离成正比。因此，重力可以简化为以下公式：

F = k r

其中，r代表小明到地心的距离，而k=4Gπmρ/3。其中G为万有引力常数，m为小明的质量，ρ为地球的密度。由于这些值均为常数，因此，k也可以视为常数。

显然，这类重力与弹簧产生的力性质相似。由这类力引发的运动与弹簧振子产生的运动一样，呈现出简谐振动的特性。整个过程，是势能与动能相互转化的简单过程。

我们现在推翻第一项假设。假设这个井从地球的一个赤道端延伸至另一端，那么地球的自转便不可忽略。

这个井位于赤道平面上，因此会随地球一起自转。从下方的示意图可以看出，井内不同位置的转动线速度大小与方向各不相同。小明从井口跃下的瞬间，其水平方向的自转线速度为464米/秒。在下落过程中，他水平方向的速度会逐渐超过井壁的速度，并最终看到井壁朝他逼近。不可避免地，小明会与井壁发生撞击。

在完全弹性碰撞的情况下，小明会被井壁弹回，并与对面的井壁再次相撞，在一系列的碰撞中继续他的旅程。但考虑到小明是活人，这种弹性碰撞不太可能。在数次碰撞后，他可能会贴着井壁下滑。从他的角度看，井壁似乎在加速向他靠近，因此，我们可以认为有一种虚拟的力正在将他推向井壁。过了地心之后，井壁会继续在水平方向上相对于小明加速，因此，对小明来说，这种虚拟力依然存在。在整个过程中，小明的体验与坐在滑梯上相似，只不过坡度要陡峭得多。

在地球上，这种现象同样可以观察到。在不同纬度运动的气流由于同样的原因会发生偏转。我们将这种虚拟的力称为地转偏向力，它在地球的气候系统中扮演了关键角色。

井壁与小明之间的摩擦会迅速消耗他的下落动能，将简谐振动转变为阻尼振动，使小明的振幅逐渐减小，最终在地心悬浮。

如果我们希望小明能不断下坠，避免碰到井壁，那么井壁的路径就必须与小明的下落路径一致。现在考虑什么样的井才能满足这一要求。

由于小明带着较大的自转线速度下落，不久后他会偏离直径AC方向，但他受到的重力仍具有上述特性：1）指向地心；2）大小与离地心的距离成正比。这种在二维平面上的动能-势能转化过程产生的运动轨迹是一个椭圆，椭圆的中心为地心。椭圆的长轴等于地球的直径，即12742公里；短轴等于748公里（相关计算可在牛顿力学中找到）。

最初，小明从A点跳下。到达B点时，他离地心374公里。42分钟后，小明沿着路径ABC来到C点，他会沿着椭圆轨迹的另一侧CDA重新下落。如此周而复始地在椭圆上移动。

然而，千万不要以为在地球上挖一个这样的椭圆形井就能让小明永远飘荡下去。别忘了，地球正在转动。椭圆长轴上的两端A和C是两个对立点。小明从A点到达C点需要42分钟，所以，当他穿过地球时，原来的C点已经前移了1169（464 x 42 x 60）公里。因此，井的另一端，C‘点，应该比A的对立点落后1169公里。同时，井的路径也需要做出相应调整。如果你希望小明还能从C‘点再落回去的话，另一端的井口A’应该比A点落后2338公里。

如此，小明每次循环都会出现在比上一次出发点落后2338公里的地方。这样的轨迹不会形成封闭的图形，所以，你无法为小明挖出一个井，让他能在地球内部无限往返。

如果你认为这已经足够复杂，实际上我们还有许多因素未纳入考虑。不过，以下这些因素已超出了本文的范围。

地球并非一个密度均匀的球体，地壳、地幔和地核的密度各异。在下落过程中的重力变化不能像上述那样简单处理。

上图中的蓝线显示了地球内部实际的重力加速度变化。对于这种无法用函数表示的数据，我们该如何计算呢？

如果井内有空气，空气的阻力肯定会消耗下落的动能。如果要进行计算，我们需要知道不同高度的空气密度和大气压力。我们所感受到的大气压力实际上是头顶空气的重量。那么，从地心算起，一根6000多公里长的空气柱会产生多大的压力？是否会让地心附近的空气变成液态？这样小明可能会一头扎进水里，不会出现在地球的另一侧。

此外，如果井壁不能隔热，地球内部的高温又会对气压和空气阻力产生怎样的影响呢？如果你有办法的话，不妨尝试计算一下。