连续耗散混沌系统中的势函数：分解方案及奇异吸引子的作用

Potential Function in a Continuous Dissipative Chaotic System: Decomposition Scheme and Role of Strange Attractor

连续耗散混沌系统中的势函数：分解方案及奇异吸引子的作用

https://arxiv.org/pdf/1208.1654

在本文中，我们首次在我们所知的文献中证明了可以在连续耗散混沌系统中构造势函数，并且这些势函数可以用来揭示系统的动力学特性。为了实现这一目标，我们提出了一种类似洛伦兹（Lorenz）的系统，并严格证明其具有混沌特性以用于示例分析。我们明确地构造了一个沿系统动力学单调递减的势函数，从而揭示了混沌奇异吸引子的结构。势函数可以有不同的构造形式。我们还对动力学系统进行了分解，以解释混沌吸引子和奇异吸引子的不同起源。因此，在当前的分解框架下，清楚地讨论了混沌非奇异吸引子和非混沌奇异吸引子存在的原因。

势函数（在不同背景下也称为能量函数、广义哈密顿函数或李雅普诺夫函数）从全局的角度描述了非线性动力学系统。沿着这个标量函数，相空间中的所有状态都向下移动。因此，势函数既反映了系统的详细结构，又揭示了其长期趋势，同时表明了系统的性能和稳定性。还可以预见的是，当一个系统的势函数变为常数时，该系统已经演化为一个“吸引子”。因此，势函数对混沌系统具有特殊的理论重要性，因为它有助于揭示混沌吸引子的复杂结构。然而，不幸的是，在非线性动力学系统中构建势函数所涉及的基本困难仍然需要解决。甚至有人因未能成功构建势函数而声称复杂系统中不存在势函数[1,2]。在本文中，我们证明了可以在混沌动力学系统中构造势函数。我们首先提出了一个简化的几何洛伦兹吸引子，并通过其庞加莱映射严格证明它是混沌的（这一证明本身对许多研究者来说就是一个有趣的成果[3]）。然后，我们为该系统解析地构造了一个势函数，解释了混沌吸引子的结构。通过这个势函数，我们发现混沌吸引子可能不是奇异吸引子，反之亦然。这与之前的观察结果相对应，并通过我们的构造方法进行了详细解释。

I. 引言

许多自然和技术系统背后的非线性动力学通常由一组常微分方程描述：

这种描述定义了一个固定规则，规定了当前状态将如何演化到其最近的未来。随着时间推移，即使具有简单确定性规则的系统也可能产生看似“偶然”的现象[4]，通常被称为混沌。在非平衡动力学的通用框架下[6]，如何以全局视角分析这些现象仍然是一个令人着迷的问题[5]。理想情况下，这样的通用框架应包含以下内容：演化方程背后的统一（可能是几何的）结构、系统不同状态的可比测度，以及对系统生成的动态过程的准确反映。

从历史角度来看，对这种通用框架的积极探索始于20世纪70年代，当时雷内·托姆（René Thom）和克里斯托弗·泽曼（Christopher Zeeman）提出，势函数及其变形[7]可以描述“自然界各个方面形式的演化，因此它体现了一种具有广泛普适性的理论”[8]。托姆的提议非常巧妙，因为这种标量函数将前述提到的属性整合为一个单一的量：势函数。它不仅推广了现有的李雅普诺夫函数和首次积分方法，还将稳定性[9]和可逆性[10]等概念纳入一个统一的框架。甚至，自然和技术系统可以直接通过势函数建模，从而即使在没有明确知道描述系统的所有内部参数的情况下，行为仍然可以被描述[7]。

然而，根据斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）的观点，托姆的数学方法“仅处理了少数已知的例子”[11]，因此缺乏实际有效性。托姆及其追随者未能证明复杂系统中势函数的存在性，甚至未能提供一种构造方法，例如振荡或混沌行为的系统。这种挫折甚至促使一些人声称，在复杂动力学系统的情况下，势函数并不存在[1,2]。此前，我们已经用数学语言严格定义了势函数（见定义1），并证明了势函数（或李雅普诺夫函数）可以在振荡系统中解析构造[12,13]。在本文中，我们进一步推动了这一研究，展示了在混沌系统中构造势函数的方法，并为混沌吸引子和奇异吸引子提供了更多见解。

实际上，构造类似于势函数的函数——即具备势函数部分特性的函数——是研究人员已经采用的一种方法。直到最近，仍有各种努力在解决这一问题。例如广义哈密顿方法[14]、类能量函数技术[15]、最小作用量方法[16]等，都在寻找对混沌动力学的统一描述。这些先前的方法都构造了一个类势函数来分析某些混沌系统，例如洛伦兹系统[17]。不幸的是，这些工作中的标量函数都缺乏某些重要特性（见第6节）。

现有方法的这些重要缺陷促使我们寻找一个真正的势函数来描述混沌系统的行为。理想情况下，它应该是一个相空间中的连续函数，随时间单调递减。此外，当时间趋于无穷大时，如果原始系统不发散，势函数应稳定到某个有限值。在本文中，我们将这些思想结合在一起，定义了一个势函数，并尝试在混沌系统中获取它。

本文的结构如下：首先，我们定义了一个用于描述混沌系统的理想势函数。为了利用这个势函数详细分析混沌系统，我们构建了一个按定义是混沌的吸引子。然后，为这个混沌吸引子构造了势函数，揭示了混沌奇异吸引子的结构。此外，我们的框架提供了一个原矢量场的分解。这种分解有助于理解混沌吸引子和奇异吸引子的不同起源，解释了为何既存在混沌非奇异吸引子，也存在非混沌奇异吸引子。

II. 势函数

我们首先陈述势函数的定义，它是对具有单调性质的动力学系统的一种自然描述。然后，我们将讨论与势函数相关的一般动力学系统的分解方案。

该定义在不同文献的风格之间取得了平衡[20,21]，并且与经典动力学系统教科书中“吸引集”的定义完全一致[22]。

A. 分解方案

许多推广哈密顿动力学或梯度动力学的研究意识到，动力学系统 通常存在一种分解：

这意味着一个通用系统仅由能量耗散（梯度）部分和能量守恒（旋转）部分组成。对于梯度部分，势函数Ψ是一个通用的能量函数；对于旋转部分，Ψ是一个首次积分。一旦我们找到了系统的势函数，我们就可以表达这两个部分：

也就是说，一个通用的动力学系统是两种经过充分研究的几何结构的直接组合。

随后，这种梯度-旋转分解将为理解混沌吸引子和奇异吸引子提供更多的见解。

III. 简化的几何洛伦兹吸引子

如前所见，许多研究已经致力于将洛伦兹系统作为混沌的典型模型进行分析。然而，据作者所知，目前只有数值证据表明洛伦兹方程支持一个稳健的奇异吸引子。对于洛伦兹吸引子的全面理解，包括但不限于证明洛伦兹吸引子是混沌的，仍然缺乏。

早期的一项工作尝试通过构建一个分段的几何模型来研究混沌系统，使其类似于洛伦兹系统。从分段模型得到的“几何洛伦兹吸引子”得到了较为深入的研究，并与洛伦兹系统进行了类比。这种方法在实践中是有效的，但模型系统可以进一步简化，以便从理论上证明其混沌性。

因此，我们开始构建一个简化的几何洛伦兹吸引子。该模型系统由分段连续的常微分方程（ODE）描述，类似于“几何洛伦兹吸引子”。我们在模型系统的每个连续区域中积分轨迹。然后，通过找到连续区域之间的庞加莱映射来揭示吸引子的结构。通过庞加莱映射，根据广泛采用的Devaney混沌定义，证明该吸引子是一个混沌吸引子。

A. 模型系统描述

分段连续的常微分方程（ODE）模型在每个连续区域（从区域RA到区域RC，以及RB'和RC'作为RB和RC的对称对应区域）中描述如下，对应于图1。

该区域的动态特征是在 y = z = 0 处存在鞍点。这些鞍点导致原本接近的轨迹发生分叉。

该区域中的轨迹围绕 y = z = 2 旋转 角度，并在 x 方向上收缩。

区域RB′中的向量场与区域RB中的向量场完全对应。

区域RC′中的向量场与区域RC中的向量场完全对应。

我们注意到，区域RB′和RC′中的模型系统仅仅是区域RB和RC中系统的变量变换。因此，为了避免重复，在以下分析中，我们仅用区域来代表所有定义区域。

B. 靠近鞍点-焦点不动点

我们已经构建了一个包含一个鞍点的模型系统。正如在洛伦兹系统中一样，当系统扩展到整个 空间时，实际上还会有另外两个鞍点-焦点不动点。在这里，我们完成了靠近这两个鞍点-焦点不动点的动态系统，以便进一步展示远离吸引子的收敛行为。

我们将这里讨论的定义区域称为区域RD和RD′（见图2），每个区域由三个部分组成：区域（以RD为例）。区域关于直线 对称，正如在前一节中所述。因此，我们遵循前一节中提到的惯例：用区域来代表它们的对称对应区域。区域以及其中的微分方程如下所述。

C. 轨迹与庞加莱映射

基于方程（5-9），我们模拟了动态系统的轨迹（如图3所示）。实际上，每个区域中的轨迹都可以通过解析方法求解。为了研究吸引子的结构，我们分别在区域RA、RB和RC中求解轨迹：

E. 证明吸引子为混沌吸引子
根据广泛采用的Devaney混沌定义，如果吸引子 A 满足以下条件，则被定义为混沌吸引子

吸引子 已被视作最小的吸引集，因此它默认是一个不可分解的吸引子。我们只需要证明当系统限制在 上时，对初始条件具有敏感依赖性。

我们首先利用倍增映射在其吸引子上对初始条件敏感的事实，证明庞加莱映射的吸引子是混沌的。然后，我们以完全相同的方式，通过 的敏感性，证明模型系统的吸引子 是混沌的。

从这一部分和前一部分可以发现，模型系统的吸引子是一个具有分形维数的混沌吸引子：一个奇异混沌吸引子。

IV.混沌系统中势函数的构建

基于上述观察，我们希望开始构建一个势函数来描述混沌系统的整体结构。首先，我们构建一个“种子函数”，记为 F ，以解释系统吸引子的“奇异”特性。然后，我们证明其连续可微性，以便将其应用于模型系统的势函数构建中。最后，我们明确地用种子函数 F 来表示势函数。

定义在区间 [0, 2] 上的函数 F(x) 如图 (5) 所示。它具有与庞加莱映射的吸引子 相同的分形结构。

B. 证明 F(x) 的连续可微性

在此，我们提出上述定义的函数 F(x) 是连续可微的。

在这里，我们在图 (6) 的庞加莱截面上绘制了势函数。

如果我们还对鞍点附近的动力学感兴趣，区域 的势函数也可以如下构造。

在区域 RD 中，势函数在区域中心比在与其他区域的边界处更高。因此，该区域内的点会自然地向其边界汇聚（边界位于：x = 0 ，

势函数的构建并不是唯一的。如果我们改变“种子函数”F(x) 中 的表达式，我们可以得到系统的一个不同的势函数。

V、势函数的验证

在本节中，我们从三个方面验证势函数的完整性：首先，我们证明它在定义域内是连续的。其次，我们证明它沿着向量场单调递减。最后，我们证明 当且仅当 x 属于系统的吸引子。

A. 势函数的连续性

根据我们的分解方案，我们首先将每个区域中的混沌动力系统分解为两个部分：梯度分量和旋转分量。

因此，当系统接近吸引子时，系统的梯度分量 将趋于零。因此，吸引子上的运动完全由旋转部分引起。

完全相同地，可以在区域 B 和区域 C 中进行这种分解过程，并且得出相同的结论。

B. 非奇异混沌吸引子

让我们首先通过稍微修改我们的原始系统（在区域 中，方程（11））来考察一个非奇异混沌吸引子的例子：

在区域 中，我们设置

梯度部分和旋转部分的性质与原始模型系统完全一致。也就是说：当接近吸引子时，梯度部分趋于零；吸引子上的运动由旋转部分决定。

C. 奇异非混沌吸引子

也可以构建一个奇异非混沌吸引子。

以区域 RA 的左侧为例，向量场可以表示为：

由梯度定义的微分方程组是一个动力系统，因为它在每个区域内都是利普希茨连续的。由于利普希茨连续性保证了流的存在性和唯一性，系统的动力学性质得以满足，并且可以扩展到包含边界。

该系统会沿着势函数 向下收敛，直到达到 的状态。因此，该系统的吸引力由

表征，与原始模型系统相同。因此，梯度系统的吸引子与原始模型系统的吸引子 AL 相同，其盒计数维数为：

D. 混沌吸引子与奇异吸引子

前面的两个例子表明，混沌吸引子和奇异吸引子的概念并不相互蕴含。在我们这里提出的分解框架（方程（3））下：

VIII. 结论

在本文中，我们展示了在具有奇异吸引子的连续耗散混沌系统中可以构造具有单调性质的势函数。这里的势函数是相空间中的连续函数，随时间单调递减，并且仅当达到极限集时保持不变。这种定义是通用动力学的自然限制，因为它直接推广了李雅普诺夫函数，并且对应于能量的概念。按照这种方式定义的势函数还表明，动力学可以分解为两部分：一个梯度部分，耗散能量势；以及一个旋转部分，保持能量势不变。梯度部分推动系统向吸引子靠近，而旋转部分则维持系统在吸引子上的循环运动。

为了展示这种框架在混沌系统中的强大功能，我们简化了几何洛伦兹吸引子，并通过定义证明它是一个混沌吸引子。然后，我们为该吸引子分析地且明确地构造了一个合适的势函数，据我们所知，这是混沌动力学中的第一个例子。势函数揭示了混沌奇异吸引子的分形本质。

我们进一步利用我们的分解方法分析了混沌吸引子和奇异吸引子的概念。研究发现，混沌吸引子源于旋转部分，促使吸引子的状态空间扩展；而奇异吸引子源于梯度部分，导致初始状态被吸引到复杂的极限集。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/1208.1654