数学大统一梦想：朗兹兰纲领几何部分核心突破

来源：数达未来

几何朗兰兹猜想（Geometric Langlands Conjecture）于2024年被一个由9位数学家组成的团队正式证明。这一突破历经30年的研究，最终由Dennis Gaitsgory（马克斯·普朗克数学研究所）和Sam Raskin（耶鲁大学）领导完成，团队包括中国学者陈麟（清华大学丘成桐数学科学中心助理教授）等。该证明由5篇论文组成，总计超过800页，涵盖了从函子构造到最终推广的全部过程，被认为是朗兰兹纲领（Langlands Program）几何部分的核心突破。这是一个极为了不起的伟大时刻。

一、经典朗兰兹计划

一个数学构想，探究数论与几何之间的让人吃惊的联系。1967 年，年轻的数学家罗伯特·朗兰兹在写给安德烈·韦伊的一封信中首次阐述了他的初步想法 1。在看似不同的数学领域，如数论和调和分析之间，存在着根本的联系 2。许多数学家将朗兰兹计划视为数学领域的“大统一理论”，试图在一个统一的框架下理解数学中各种复杂的结构，“结构”既包括具体的代数运算系统，也包括几何、数论和分析中的抽象对象及其相互作用。

经典朗兰兹计划示意图

二、几何朗兰兹猜想

是朗兰兹计划在几何背景下的一个重要分支。它将经典朗兰兹计划中的数域替换为函数域，并应用代数几何的技术，对朗兰兹对应进行了重新表述。建立了代数几何和表示论之间的联系，可以看作是经典朗兰兹计划在几何上的类比。

几何郎兰兹猜想示意图

三、大统一思想

受研究方法还原论的影响，人类总是希望能找到一个万有的、自洽的理论来解释这个世界。从古希腊的原子论到我们的五行学说，概莫能外。当然，第一个真正意义上的辉煌是牛顿在宏观领域让天上地下使用同一套公式，爱因斯坦希望对宇宙的解释可以写在一张餐巾上。在这种用一套万有的理论解释世界上一切的哲学理念影响下，人类一直在寻找大一统的理论来简化这个世界。其中一个重要方法就是分级分类。怎样在看似不同的对象/系统中找到二者不变的内核，并且让二者通过某个变化或者从另外一个更高的维度来观察，他们是一样的，就可以划分为一类。在不同系统间找到联系，就可以根据类别中已经熟悉的一个领域知识推断出结果，在同类中另外一个领域也会有经过对应后统一的结果。这对于人类的认知和解决问题方法有极大的帮助。于是寻找两个系统内部具备不变性的某种性质和方法，成为认知世界的重要手段。

在物理上，人们通过“对称”将两个不同的系统统一起来，对称性是指物理系统在某些变换下保持不变的性质。例如，空间平移不变性对应于动量守恒，对称 = 守恒 （作用量）。对称可以认为是在一个系统中建立了某个对应法则，经过映射之后，系统有某种内在不变性存在。

数学家们一直寻求不同领域之间的内在联系，希望能够用更简洁、更统一的理论来解释各种复杂的现象，让数学领域的分类和预测能有更好效果。

朗兰兹纲领的终极目标是揭示这些看似无关的结构之间的精确对应关系，这种统一性类似于物理学中试图用单一理论解释四种基本力，而朗兰兹纲领试图用“表示论”的语言统一数学的核心分支。下面就其核心“表示论”做一个解释。

四、表示论

在集合里面+1种二元运算，满足四个条件（群四点）就构成了所谓的群。看起来好像简简单单 ，但是实际上是非常抽象。群有多种类型，比如说有限群，无限群，循环群，对称群，置换群，阿贝尔群，非阿贝尔群，还有李群等。但是有许多抽象群，本身的结构非常复杂，要想了解他的结构（运算）和群作用（群的元素对另一个群的运算）方式、结果就非常困难。一般我们会采用两种方式来研究， 一种是分而治之。研究部分元素和运算法则构成的子群的结构和性质，加上生成元等，从而来探索群的结构。

另一种群表示。通过群同态（少部分会有群同构），在保持运算一致情况下把这些群映射到一种我们非常熟悉的代数结构中，尤其是可逆矩阵构成的线性群，就可以通过我们熟悉的矩阵运算的性质，得出一些结论。由于是一个线性运算，所以抽象群到线性群之间是可逆的，将结论反向带入到原来的抽象群里面，从而能得到其他的群本身的结构。映射过程中，同构当然非常好，可以说两个代数系统（定义了运算的非空集合）之间是完全相同的，但是多数情况下是条件稍微弱一些的同态，就相当于我们的函数是多对一的方式，而不是同构的一一对应方式，和函数相比还多了一种保持运算不变的要求。因此，在同态的过程中会有一些信息的丢失，但是这依然是分析抽象群的最重要的方法。

抽象群研究方法

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