物理悖论？为何穿越地球与绕行地球所需时间一样？

你在地球上挖了一个贯穿中心的隧道。你站在隧道一端，想去地球另一边。问题来了：是直接跳下去穿越地球更快，还是乘坐火箭绕行轨道更快？

别急着说这是做梦！物理学就喜欢这种"假如"的脑洞大开。而且，答案可能会颠覆你的想象...

高斯定律：重力场的终极秘密

首先，我们得搞清楚地球内部的重力是什么鬼。大部分人只知道地表重力加速度是9.8牛顿/千克，至于地下的情况？恐怕连你高中物理老师都说不清楚。

地球表面的重力场可以用这个公式表示：

g = (G * M) / r²

这里G是万有引力常数（6.67×10⁻¹¹牛·米²/千克²），M是地球质量（5.972×10²⁴千克），r是到地心的距离。验算一下就知道，在地球表面（r = 6.378×10⁶米）重力场强度确实约为9.8牛/千克。

但问题来了：当你接近地心时，重力场是多少？难道会无限增大？还是变为零？这时候就需要请出物理学界的大佬——高斯定律！

高斯定律对于重力场是这样说的：

∮g·n̂dA = -4πG·M_in

这个公式看起来吓人，但本质很简单：穿过某个封闭曲面的重力场通量，等于曲面内部总质量乘以一个常数。

我不会像大学教授那样废话连篇地讲解曲面积分（谁受得了那种折磨？）。重点是：利用球对称性，我们可以轻松找出地球内部任何位置的重力场！

秘密揭晓：地球内部的重力场

假设地球密度均匀（虽然实际上不是），那么地球内部距离中心r处的重力场为：

g = (G * M * r) / R³

这个结果告诉我们几件有趣的事：

1. 地心处重力为零！没错，如果你站在地球中心，你会体验到失重状态
2. 地球内部重力与距离成正比，不是平方反比
3. 在地表处(r=R)，两个公式给出相同结果

用Python随机分布5000个质点模拟地球，计算结果也验证了这一点！

穿越地球：一场简谐运动的狂欢

现在回到原问题。如果你跳入这个贯穿地球的隧道，运动方程是：

m·d²x/dt² = -(G·M·m·x) / R³

这是什么？没错，就是简谐运动方程！解出来是：

x(t) = A·cos(ωt) + B·sin(ωt)

其中ω = √(G·M/R³)

这意味着你会像弹簧上的物体一样在隧道里来回振动！从一端到另一端需要的时间是π/ω。

绕行还是穿越：结局反转

再看看另一种方案——在地表轨道上飞行到地球另一侧。

对于圆周运动，向心加速度必须由重力提供：

m·ω²·R = (G·M·m) / R²

解出ω：

ω = √(G·M/R³)

惊呆了吧？这与穿越地球的ω完全相同！

这意味着什么？无论是穿越还是绕行，到达地球另一端所需的时间竟然完全一样！两种方式都需要大约42分钟！

当然，这个结论有个前提：地球密度均匀。实际上地球密度从核心到地表是递减的。如果考虑真实密度分布，结果会不一样。

用Python模拟非均匀密度的地球，我们可以看到穿越地球和绕行地球到达另一侧的时间差异。这才是更接近现实的答案。

这个看似荒谬的问题揭示了物理学的精妙之处：通过假设和理论模型，我们可以探索无法直接实验的现象。

从高斯定律到简谐运动，从计算机模拟到理论推导，我们看到了物理学如何用数学语言描述宇宙的运行规律。虽然我们无法真正挖穿地球（别傻了，地核温度高达5500°C，比太阳表面还热！），但思想实验让我们领略了自然界的神奇法则。

注：本文所有模型均基于理想假设。实际地球内部结构复杂多变，密度分布不均，核心处于极高温度和压力状态，任何真实的"穿越地球"计划都将面临难以克服的工程挑战。但这不妨碍我们在思想实验中探索物理规律的美妙之处。