希尔伯特第六问题或取得突破

南方周末 2025-04-04 05:00:09

2025年3月17日至21日，北京国际数学研究中心举办了一场为期五天、主题为“运动学与希尔伯特第六问题的最近进展”的小型学术会议。

这项会议的主要内容，就是邀请芝加哥大学助理教授邓煜和密歇根大学唐纳德·刘易斯研究助理教授马晓，就他们和密歇根大学数学教授扎赫尔·哈尼 （Zaher Hani）合作完成的、最近提交在预印本网（arXiv）上的、关于希尔伯特第六问题的论文《希尔伯特第六问题：由玻尔兹曼运动学得出流体方程》做一个详细的讲解。

希尔伯特第六问题

1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，德国数学家大卫·希尔伯特作了题为《数学问题》的演讲。在这个演讲中，希尔伯特提出了日后被称为“希尔伯特问题”的23个当时还未解决的、他认为最重要的数学问题。围绕这些问题的研究，在接下来的一百余年时间里，对数学的发展起到了积极的推动作用。

著名数学家希尔伯特。视觉中国|图

其中的第六问题为“物理学的公理化”。

所谓“公理化”，指的是以几条公理假设为基础，以逻辑推导得出整个理论体系的方法。

在1900年这个时间来看，公理化是数学界的一个很重要的发展方向。

1889年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺 （Giuseppe Peano），在美国数学家查尔斯·桑德斯·皮尔士 （Charles Sanders Peirce）和德国数学家理查德·戴德金 （Richard Dedekind）的工作基础上，提出了皮亚诺公理体系。这一公理体系，完成了对自然数和一阶算数系统的公理化。

1899年，希尔伯特在其著作《几何基础》中提出了希尔伯特公理。这一公理体系完成了对欧几里得几何的现代公理化。

在这种背景下，希尔伯特提出了对物理学的公理化这一目标。对此，希尔伯特指出：“对于那些数学起重要作用的物理学领域，要按照数学的标准，将它们公理化。其中首先要解决的是概率论和力学。”

在所有的23个希尔伯特问题中，第六个问题显得非常地与众不同。

这一问题的提出对象，不是数学，而是与数学联系极为紧密的物理学。而且，相较于其他22个描述非常具体明确的问题，希尔伯特第六问题显得极为笼统概括。

在稍后的1902年，希尔伯特给出了第六问题的一个补充说明：“在我看来，对概率论的公理化研究，应当与数学物理，特别是气体动力学的那些严格且令人满意的发展相结合……玻尔兹曼关于力学基本原理的工作提出了这样一个问题：如何在数学上发展那些仅被初步阐明的极限过程，进而从原子论的观点推导出连续介质的运动定律。”

从微观到宏观

希尔伯特第六问题的提出，在1900年这个时间节点上，也有着物理学上的意义。

在当时，牛顿力学历经两百余年的发展，已经成为了一门相当完善的理论，并且在工程学等领域有着相当成功的应用。以至于在当时，很多物理学家都相信，物理学这门学科已经基本上完成了它的使命。

正如1907年诺贝尔物理学奖得主，美国物理学家阿尔伯特·迈克耳孙（Albert Michelson）所说：“……非常有可能的是，那些重要的基础物理学定律都已经稳固建立了，而未来物理学前进的方向仅仅是在我们已经关注到的物理现象中一丝不苟地应用那些定律而已。在定量工作比定性工作更受人追捧的现在，实验测量展现出其无与伦比的重要性。某位知名物理学家也曾说过，未来物理科学的真理将在小数点后六位找到。”

对于1900年的物理学来说，牛顿力学体系已经足以解释绝大多数的物理学内容。而描述气体和液体的运动状态的流体动力学，则显得有些微妙。

一方面，在宏观层面上，通过将流体视为连续介质，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1757年发表的论文《流体运动的一般原理》中，给出了描述无黏性的理想流体运动的欧拉方程。

随后，在1850年，经过几十年的研究，法国工程师和物理学家克洛德-路易·纳维（Claude-Louis Navier）和爱尔兰数学家和物理学家乔治·斯托克斯爵士（Sir George Stokes）提出了描述黏性流体运动的纳维-斯托克斯方程。

另外一方面，在微观层面上，17世纪以来对于热力学的突破性发展，使科学家们开始重新思考物质的结构问题。1738年，瑞士数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）发表著作《流体力学》（Hydrodynamica）。在这一著作中，伯努利提出，气体是由大量向各个方向运动的分子组成的，分子对表面的碰撞就是气压的成因，热就是分子运动的动能。

1744年，俄国化学家米哈伊尔·罗蒙诺索夫（Mikhail Lomonosov）第一次明确提出热现象是分子无规则运动的表现，并把机械能守恒定律应用到了分子运动的热现象中。

这两种从宏观层面和微观层面对于流体的解释，就产生了一个很自然的问题：怎么统一这两种看上去完全不同的理论体系。

1859年，英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦（James Maxwell）提出了气体分子的麦克斯韦速度分布律。这一分布律说明，某一特定分子的速度大小是不可预知的，且运动方向也是随机的。但在平衡态下，对大量气体分子而言，它们的速度分布却遵从一定的统计规律。这是物理学史上第一个统计定律。

1871年，奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）推广了麦克斯韦的工作，提出了麦克斯韦–玻尔兹曼分布。麦克斯韦–玻尔兹曼分布从统计学的角度，解释了流体在微观层面下的分子运动，怎样在宏观层面形成诸如压强、扩散等基本性质。

在稍后的1872年，玻尔兹曼又给出了玻尔兹曼方程，用以描述处于非平衡状态的热力学系统的动力学行为。

玻尔兹曼的这一系列工作，给出了连通流体力学微观层面和宏观层面的一个路径：在微观上，流体分子可以看做是牛顿力学中的刚性小球。它们之间的相互作用，遵循牛顿力学中的弹性碰撞。而在宏观层面上，流体的物理学特性，呈现的是大量微观流体粒子的统计学特征。

在这个过程中，玻尔兹曼方程起到了承上启下，从描述微观粒子运动的牛顿力学方程过渡到欧拉方程、纳维-斯托克斯方程等描述流体宏观力学状态的方程的作用。

就这样，对流体动力学的微观和宏观描述，通过玻尔兹曼的工作，得到了统一。

但是，在希尔伯特看来，玻尔兹曼的工作是远远称不上严格的。

一方面，在1900年这个时间点上，原子、分子这样的物质微观结构学说，还没有被物理学家们普遍接受。甚至就连麦克斯韦和玻尔兹曼都认为，分子只是一种方便处理的数学结构，不是实际存在的物质。

另外一方面，从数学的角度来看，玻尔兹曼的工作也很难称为“严格”。

玻尔兹曼所描述的，从微观到宏观的过程当中，涉及多次极限过程。从描述微观粒子运动的牛顿力学方程导出玻尔兹曼方程，需要分子运动学下的统计学极限。而从玻尔兹曼方程导出宏观的流体力学方程，则需要流体动力学极限。这些极限过程，在数学上都是需要严格的定义与证明的。

更为关键的是，在1900年的时候，统计学和概率论本身还没有完成数学的严格化。当时的概率论，还只适用于有限情况下的古典概率。对于玻尔兹曼的理论中所需要的，涉及无穷多个粒子的极限情况下的概率，这是远远不够的。

这正是希尔伯特在第六问题中所说的：“其中首先要解决的是概率论和力学”，以及在1902年的补充说明中再次强调的，要求在数学上严格化玻尔兹曼工作所涉及的那些极限过程。

探求严格化的过程

1912年，希尔伯特给出了一种被叫做希尔伯特展开的方法。在1916年和1917年，英国数学家西德尼·查普曼（Sydney Chapman）与瑞典数学物理学家大卫·恩斯科格（David Enskog）各自得出了另外一种级数展开的方法。这两种方法，通过无穷级数展开逼近的方式，给出了玻尔兹曼方程得出了宏观状态下的流体力学方程所需要的流体动力学极限过程。

这些方法也被叫做查普曼-恩斯科格-希尔伯特展开。

英国数学家拉塞尔·卡夫利施（Russel Caflisch）等人，在数学上严格化了查普曼-恩斯科格-希尔伯特展开。从而在数学上严格化了从玻尔兹曼方程到流体力学方程的流体动力学极限过程。

1933年，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）完成了现代概率论的公理化。柯尔莫哥洛夫将概率定义为概率空间上函数的测度，并将测度论和函数论等分析学的工具引入了对于概率论的研究。这就使得在数学上，可以准确地描述玻尔兹曼理论当中从微观粒子运动的牛顿力学方程到玻尔兹曼方程所需要分子运动学下的统计学极限。

1949年，美国数学家哈罗德·格拉德（Harold Grad）在一定的限制条件下，从动力学的刘维尔方程（Liouville equation）推导出了玻尔兹曼方程。格拉德的工作，也被称为玻尔兹曼-格拉德极限。

1975年，美国数学家奥斯卡·兰福德（Oscar Lanford）证明了，在非常短的时间内，玻尔兹曼-格拉德极限是成立的。这一工作也被称为兰福德定理。

2014年，法国数学家劳拉·圣雷蒙德（Laure Saint-Raymond）和合作者们补全了兰福德定理中的漏洞。

但是，在兰福德的证明方法中，“极短时间”这一条件是无法取消的。这是因为，兰福德的证明依赖于数学中的微扰方法。在极短时间的条件下，误差是可以忽略不计的。但是，当时间变长后，微扰方法下的误差会随着时间累计，进而导致整个计算过程的失效。

因此，圣雷蒙德和合作者们，试图给出长时间下这一极限过程的数学证明的时候，都需要加上一些别的限制条件。诸如假设气体密度接近真空，或者假设玻尔兹曼方程满足某些线性随机条件等。

邓煜、哈尼和马晓最近的论文，则取消了这些限制条件和假设，给出了这一极限过程的完整证明。

邓煜及其合作者们的证明方法，来自邓煜本人稍早之前的工作。在研究玻尔兹曼方程之前，邓煜和哈尼合作研究过由非线性薛定谔方程导出波动力学方程的工作。他们发现，从动力学的角度来看，从非线性薛定谔方程导出波动力学方程的过程，和从牛顿力学方程导出玻尔兹曼方程的过程之间，存在着某种相似性，进而可以将之前工作中积累的方法和经验用于解决这一问题。

在克服了一系列技术上的障碍之后，邓煜、哈尼和马晓给出了这一有着一百多年历史的极限过程的完整证明。

邓煜、哈尼和马晓的工作，也给出了一个经典的物理学问题的清晰解释。

1872年，在提出玻尔兹曼方程的同时，玻尔兹曼还提出了H定理。H定理可以直接由玻尔兹曼方程导出。由玻尔兹曼方程可知，流体分子间的相互碰撞，会导致H函数值的下降，直到H达到最小值为止。这在宏观上对应于热力学第二定律，即熵增定律。

H定理从微观粒子的统计学行为的角度，给出了热力学第二定律的一个数学解释。但是，这一解释也带来了一个新的问题。热力学第二定律，是有着时间不可逆性的。而从微观层面看，粒子相互碰撞所遵循的牛顿力学体系却是可逆的。这就产生了一个极为深刻的问题：时间的方向性是在什么时候产生的？

兰福德定理，揭示了在时间不可逆的宏观热力学和可逆的微观牛顿力学之间的本质性差异是怎样产生的。但是，兰福德定理中极短时间的假设，无法完整展示这一过程。

邓煜等人的工作，完整地给出了玻尔兹曼方程整个过程的描述。因此，也就给出了从时间可逆的牛顿力学体系中涌现出时间不可逆的宏观热力学体系的一种理论依据。

南方周末特约撰稿 左力

责编 朱力远