数学家破解笛卡尔四圆定理 来自380年前的几何难题

莫纳什大学的数学家终于解决了一个可以追溯到 17 世纪的古老几何难题，为哲学家和数学家勒内·笛卡尔最初提出的一个等式提供了新的见解。研究人员利用受物理学启发的先进数学工具，通过找到任意数量切线圆的一般方程，扩展了笛卡尔四圆定理。

左图为 3 花。右图为 5 花。来源：几何与物理杂志，10.1016/j.geomphys.2025.105458

他们的突破性成果发表在《几何与物理学杂志》上，扩展了著名的笛卡尔圆定理，该定理定义了四个相互相切的圆之间的关系。虽然该定理长期以来一直是几何学的基石，但数学家们几代以来一直在努力将其推广到涉及四个以上圆的配置——直到现在。

莫纳什大学数学学院数学家副教授 Daniel Mathews 和博士生 Orion Zymaris 找到了控制这些较大切线圆模式（称为“n 花”）的方程。

副教授 Daniel Mathews。图片来源：莫纳什大学

他们的证明借鉴了涉及旋量（在量子力学和相对论中也发挥着作用的对象）的现代数学技术，解决了一个悬而未决超过 380 年的问题。

“1643 年，笛卡尔向普法尔茨公主伊丽莎白提出了一个问题，他认为自己可以解决它。毕竟，他刚刚发明了笛卡尔坐标！但他做不到，当他将这个问题修改为一个实际可解的问题时，这个问题就被称为经典的笛卡尔圆定理，”马修斯副教授说。“其他人已经以其他方式推广了这一结果，但这是该结果的首次扩展，给出了一个与平面上任意数量的圆的半径相关的显式方程。”

齐马里斯的博士研究取得了这一突破，他强调了这一研究与数学和物理学其他领域的意外联系。

“我们的方法使用了受物理学启发的先进几何工具，这令人惊讶，”他说。“旋子在物理学中被广泛使用，尤其是在量子力学中。我们使用了诺贝尔奖获得者罗杰·彭罗斯和沃尔夫冈·林德勒开发的旋子版本，他们将其应用于相对论。”

“事实证明，描述量子自旋和相对论的相同数学结构也能帮助我们理解圆形堆积。”

这项工作不仅推动了纯数学的发展，也凸显了莫纳什大学拓扑学小组日益增强的实力，该小组目前有 9 名博士生，其中 5 名是女性。

“这一发现是一个令人兴奋的例子，说明经典问题如何在几个世纪后启发新的数学，”马修斯副教授说。“令人难以置信的是，笛卡尔在 17 世纪苦苦思索的问题仍然有新的答案等待着我们去发现。”

编译自/ScitechDaily