一文梳理2025阿贝尔奖得主柏原正树的数学世界

挪威科学与文学院将2025年阿贝尔奖授予Masaki Kashiwara柏原正树（1947 -），“表彰他对代数分析和表示理论的重大贡献，特别是D-模理论的发展和晶体基的发现。”

一、他的工作——讲给非数学家听

柏原正树Masaki Kashiwara - 2025年阿贝尔奖得主 图：abelprize.no

柏原正树是数学不同领域之间的搭桥者。不仅仅是建造连接两个想法的小桥，而且还建造跨越不同数学世界的壮观桥梁。想象一下一座美丽的桥梁，它使用全新的建筑技术将挪威与南美洲连接起来，或将日本与南极洲连接起来。

柏原正树用他的原始思想将代数和分析的数学大陆，然后是几何学第三个数学大陆联系起来。他的想法不仅本身美丽而聪明，而且为许多其他数学家探索新领域并解决新问题开辟了道路。

龟鹤问题 图：DALL-E

柏原正树对代数的热爱始于龟鹤问题。在学校，他被设定了一个常见的问题——Tsurukamezan（鹤龟算，即鸡兔同笼问题）。若头数为X，腿数为Y，则鹤与龟各有几只？例如，如果共有两个头和六条腿，则必须有一只鹤和一只龟。

除了解决问题之外，柏原正树还喜欢找到一种每次都能解决任何X和Y的通用方法。在他的整个职业生涯中，他给其他数学领域带来了这种代数方法。

在东京大学，柏原正树与他的导师佐藤干夫（Mikio Sato，1928 - 2023）开创了代数分析，将代数方法应用于分析领域的问题——事物如何变化的数学问题。

柏原正树教授聚会照 图：Tetsuji Miwa / RIMS / 京都大学

柏原正树23岁时写下了硕士论文，奠定了D-模理论的基础，D-模理论是一种使用代数分析线性偏微分方程组的方法。

微分方程描述了事物是如何变化的。你可能还记得在学校求解微分方程来回答以下问题：一辆车在特定点的移动速度有多快？它正在加速还是减速？像柏原正树这样的数学家研究线性偏微分方程组。他们对求解方程不太感兴趣，而是对找出解（如果存在）具有的性质更感兴趣。

并非每个微分方程中的每个点都有可定义的解。如果函数由1/x定义，那么当x为零时，1/x 将是......无限。像这样的点称为奇点（singularity）。数学中一个长期存在的问题，希尔伯特的第21问题，询问在实数和虚数共存的复数域中具有这种奇点的特定类型的微分方程的解。

在一个复流形（complex manifold）上，这些奇点周围的解确实表现得非常奇怪。沿着奇点周围的解可以带你回到起点，却发现这一次，解的行为有所不同。具有这些奇点的微分方程组称为单值的（monodromic）。

希尔伯特第21问题（也称为黎曼-希尔伯特对应，Riemann-Hilbert Correspondence）问道：我们是否可以说特定类型的微分方程组将始终具有这种单值性（monodromy），我们能否准确预测这些具有奇怪行为的奇点将出现在何处？

大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）

利用他的D-模（D-Module）理论，柏原正树能够证明，在任何维度上，总会有一个独特的微分方程满足预测的要求（数学家Zoghman Mebkhout同时独立证明）。

为了证明这种黎曼-希尔伯特对应关系，柏原正树建立了一座通往拓扑学领域的新桥梁，将 D-模与称为层（sheave，束，参见 ）的拓扑对象联系起来。

波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826 - 1866）

柏原正树与Pierre Schapira 合作了50多年，在层方面的工作也为另一个数学领域——表示论（representation theory）——架起了一座桥梁。

Pierre Schapira（1943 -） 图: Christian Rodrigues / ICM 2018 / 公共域

表示论使用代数来研究对称性。

我们熟悉日常物品中不同类型的对称性。平面上的正方形瓷砖具有许多对称性。你可以将其旋转四分之一圈、半圈或整圈；你可以将其在一条对角线上反射，或沿连接对边中点的一条线反射。你可以在一个密铺表面上滑动，发现图案重复 - 平移对称。

像立方体这样的三维物体具有所有这些对称性以及更多对称性，因为它可以在三维空间中旋转、反射或滑动。在具有更多维度的空间中，数学对象可以具有更多的对称阶数。

物体的不同对称性之间的关系可以用代数的一个分支来表示，称为群论（group theory）。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802 - 1829）

阿贝尔奖以挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802 - 1829）的名字命名，他在这一领域做出了重要的工作，并因此以他的名字命名了阿贝尔群（Abelian group）。

正方形、立方体和许多其他熟悉的物体具有有限数量的对称性。但其他对象（如圆或球体）具有无限数量的对称性。你可以在任何轴上旋转球体，或通过中心将其反射到任何平面中。

索菲斯·李（Sophus Lie，1842 - 1899）

挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842 - 1899）发明了李群（Lie group），它描述了这种连续的对称群。（索弗斯·李于1902年首次尝试设立阿贝尔奖，当时正值阿贝尔诞辰100周年。）

李群 原始图源：Peter McMullen / Wikimedia Commons

量子群（quantum group）最初是在物理学中开发的，目的是在统计力学中使用李群，但柏原正树发明了另一种全新的使用它们的方法：晶体基（crystal bases）。

柏原正树发明的晶体基架起了另一座桥梁，这次是在表示论和图论之间。

图论（graph theory）使用通过边（即链路、线）连接的节点（即顶点）来对结构和系统进行建模。

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）

瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）于1736年发明了图论，用它来解决一个名为柯尼斯堡桥问题的难题。

波罗的海边的柯尼斯堡市（现在称为加里宁格勒）在河中央有两个岛屿，还有七座桥梁将岛屿与两岸连接，并相互连接起来。问题是找到一条路线，使得散步者每座桥都恰好穿过一次，并回起点。

欧拉使用一个图将桥表示为7个链路，将它们连接的地方（两个堤岸和两个岛屿）表示为4个节点。通过计算连接到每个节点的链路数量，他能够证明永远不可能找到这样的路线。这种将问题抽象为节点和链路的简化结构现在用于计算机科学、化学，甚至用于打印彩色地图。

柏原正树的晶体基（crystal basis）将量子群所描述的数学对象的组合对称性转换为图。具有相同对称性组合的所有对象共享同一种图。如果某个对象有两个不同的对称性，例如结合了旋转和平移的开瓶器，则对应的图将有两个不相连通的部分。

晶体基现在在整个表示论中使用。

柏原正树教授 图源：abelprize.no

2025年阿贝尔奖授予柏原正树，以表彰他在D-模和晶体基方面的工作，以及他对代数分析和表示论以及一般数学的更广泛贡献。

柏原正树是美丽数学桥梁的先驱、远见卓识者和建造者。

二、获奖引文

对称性在数学和物理世界中无处不在。表示论使用代数工具来研究给定对称性可以通过向量空间上的线性变换来表示的方式。另一方面，线性偏微分方程传统上是使用分析工具进行研究的。代数分析由佐藤干夫（Mikio Sato，1928 - 2023）的工作开创，是通过代数手段对这些方程进行系统研究。柏原正树为该计划做出了开创性的贡献，在表示论方面产生了令人惊讶的联系和惊人的成果。

“D-模”（D-modules）提供了一种用于研究线性偏微分方程组的代数语言。柏原正树1970 年的硕士论文发展了解析D-模理论，引入了特征簇（characteristic variety）的基本概念，并证明了Cauchy–Kovalevskaya柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理的广泛推广。这很早就证明了代数方法在解决分析性质问题方面的力量。

柏原正树在与Pierre Schapira合作开发层（sheave）的微局部分析时，进一步采用了这一理念。简而言之，微局部分析将流形上的微分方程与余切丛（cotangent bundle）上的几何对象相关联。柏原正树与河合隆裕（Takahiro Kawai）和佐藤干夫（Mikio Sato）一起在该理论中引入了各种基本新概念，并阐明了线性微分方程组的一般微局部结构。

希尔伯特第21问题（通常称为Riemann-Hilbert黎曼-希尔伯特问题）询问在黎曼球面上是否存在一个线性微分方程，该方程具有正则奇点和规定的局部单值量（local monodromies）。皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne，1944 -）在更高的维度上扩展并解决了这个问题。柏原正树制定并证明了一种广泛推广的Riemann-Hilbert对应关系，即正则和乐D-模（regular holonomic D-modules）和反常层（perverse sheave）之间的等价性。这个结果是由Zoghman Mebkhout独立获得的。最近，柏原正树和Andrea D'Agnolo将黎曼-希尔伯特对应关系扩展到不必须正则的和乐D-模。

表示理论中的卡兹丹-卢斯蒂格Kazhdan-Lusztig猜想可以看作是将表示的特征与交叉上同调群（intersection cohomology group）联系起来。柏原正树和让-吕克·布林斯基（Jean-Luc Brylinski）在对黎曼-希尔伯特对应的惊人应用中证明了这一点。Alexander Beilinson和Joseph Bernstein使用不同的方法获得了独立证明。

柏原正树和谷崎俊之（Toshiyuki Tanisaki，1955 -）后来通过在无限维旗簇（flag variety）上发展D-模理论，将Kazhdan-Lusztig猜想推广到无限维仿射李代数。从那时起，D-模理论已成为不可或缺的工具，并为表示论带来了许多新的发展，包括正特征（positive characteristic）。

受数学物理学中可解晶格模型研究的启发，Vladimir Drinfeld和Michio Jimbo在80年代后期独立地形式化了量子群。它们是复半单（complex semi-simple）即Kac-Moody李代数的包络代数的形变（deformation）。柏原正树引入了晶体基（crystal base）的概念，并证明了量子群的可积最高权重表示的晶体基的存在性。该证明通过现在被称为大环论证（grand loop argument）的复杂归纳过程进行，是一个随着时间的推移而没有得到太多简化的杰作。柏原正树还将晶体基推广到整体基（global bases），这些整体基是由乔治·卢斯蒂格（George Lusztig）以典范基（canonical bases）的名义独立发现的。这项工作可以被认为是对杨图（Young diagrams）和杨表（Young tableaux）理论的广泛而富有成效的概括。

柏原正树是一位非常多产的数学家，有70多名合作者。五十多年来，他重塑并深刻丰富了表示论及其众多化身和代数分析领域。他的工作继续处于当代数学的前沿，并激励着一代又一代的研究人员。

三、柏原正树个人简介

柏原正树于1947年1月30日出生于日本东京附近的茨城县结城市。他的父亲 Masaharu Kashiwara 在农业省工作，这意味着他和他的妻子Kazuko以及他们的家人在柏原正树年轻时不得不经常搬家。

他记得他在学校里被一个叫做Tsurukamezan（鹤龟算，即鸡兔同笼问题）的问题点燃了他对代数的热爱，该问题是关于通过知道头和腿的总数来分别计算鹤和龟的数量。他喜欢能够概括出解决任何问题的方法。

在东京大学，他第一次遇到了他的导师佐藤干夫（1928 - 2023），当时他报名参加了他的高年级研讨会。佐藤干夫创造了一种新方法，即代数分析，将代数工具应用于理解函数的特性，特别是线性偏微分方程（LPDE）。

在1970年的硕士论文中，在佐藤的指导下，柏原正树在这项工作的基础上建立了解析D-模理论的基础，这是用代数分析研究LPDE组的新基础。这篇论文具有全球影响力，尽管在接下来的25年里只有日文版本。

1971年，柏原正树搬到京都大学数学科学研究所（RIMS），在那里他继续与佐藤一起从事代数分析工作。这一年，柏原遇到了法国数学家皮埃尔·夏皮拉（Pierre Schapira，1943 -），他应邀参加了在日本坚田举行的谷口研讨会。这项合作将在法国继续进行。

皮埃尔·夏皮拉的导师安德烈·马丁诺（André Martineau，1930 - 1972）邀请日本河合隆裕 （Takahiro Kawai）和柏原正树到前尼斯大学（2019年起为蔚蓝海岸大学）学习1972-1973学年。遗憾的是，马丁诺在他们到达前不久死于癌症。尽管损失惨重，佐藤干夫、河合隆裕和柏原正树还是去了尼斯大学。这次学术逗留培养了数学家之间蓬勃发展的同事关系。许多年后，这导致了夏皮拉和柏原正树的双边杰作“流形上的层论”（Sheaves on Manifolds）。

1973年，佐藤干夫、河合隆裕和柏原正树发表了一篇开创性的科学论文，后来被称为著名的“SKK论文”（Sato、Kawai和Kashiwara），三人在论文中证明了代数分析中的两个重要结果。1974年在京都大学获得博士学位后，柏原正树被任命为名古屋大学副教授。

1977年，他前往麻省理工学院（MIT）担任研究员，然后于1978年返回日本，此后一直留在京都大学数学科学研究所（RIMS） 工作。他于2002年至2003年和2007年至2009年担任RIMS 主任。

柏原正树成为名誉教授，并在2010年退休后作为RIMS的项目教授继续他的研究。当柏原正树在2018年获得陈省身奖章时，他将部分奖金用于RIMS。如今，他担任京都大学高等研究所 （KUIAS）的特定项目教授（自2019年起），该研究所专门建立为世界上最先进研究中心。

1980年，柏原正树使用D-模理论证明了黎曼-希尔伯特对应关系，这是一个关于微分方程行为的猜想，几十年来一直困扰着数学家。1981年，他被授予日本数学会弥永昌吉奖，该奖授予获得杰出数学成果的40岁以下数学家。

在黎曼-希尔伯特结果的基础上，柏原正树与让-吕克·布林斯基（Jean-Luc Brylinski，1951 -）和后来的谷崎俊之（Toshiyuki Tanisaki，1955 -）一起研究了Kazhdan-Lusztig猜想，将代数、分析和几何结合在一起，以改变表示论。

自1970年代以来，柏原正树继续与Pierre Schapira合作，开发了微局部层理论（microlocal sheaf theory），这是对表示论的重大贡献，可应用于几何、拓扑学和结理论。2018年，柏原正树将他们1990年的书《流形上的层论》（Springer-Verlag）描述为他最重要的作品之一。

对表示论的另一个主要贡献是柏原正树在1990年发展了量子群的晶体基理论。量子群是代数对象，它们起源于统计力学中的晶格模型。通过使用晶体基将量子群表示为有向图，柏原正树创造了一种组合工具，能够解决表示论中的许多问题。

柏原正树是一位多产的合作者，曾与70多位数学家在代数分析和表示论领域合作。除了他的许多出版物外，他还贡献了未发表的想法，供其他人开发。例如，柏原正树切西瓜定理（Kashiwara Watermelon Cut Theorem），将超函数、矢量场和解析波前面结合在一起。

自1981年获得弥永昌吉奖以来，柏原正树的工作赢得了许多奖项。1988年，他与河合隆裕（Takahiro Kawai）一起被授予朝日科学奖。1988年，他因研究代数分析而获得日本科学院奖，并于2007年被接纳为日本科学院会员。他于2008年获得藤原奖，以表彰“为日本科学技术发展做出巨大贡献的科学家”。

在2018年国际数学家大会上，柏原正树因在数学领域的杰出成就而被授予IMU国际数学联盟的陈省身奖。同年，他获得了稻盛基金会的国际京都奖，以表彰他“对现代数学的广泛贡献”。

他于2023年与来自韩国的三位合作者（Myungho Kim，1957 -）、Se-Jin Oh和Euiyong Park以及2024年与Andrea D'Agnolo一起获得国际基础科学大会的科学前沿奖。

2020年，柏原正树被授予日本瑞宝勋章、金星和银星勋章，并于2024年被授予京都府文化杰出贡献奖。

柏原正树与Hiroko Kashiwara结婚，他们于1981年结婚。在业余时间，他喜欢打乒乓球。

参考资料

https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2025

https://abelprize.no/citation/citation-abel-committee-masaki-kashiwara

https://abelprize.no/sites/default/files/2025-03/biography_english_Abelprize2025.pdf

https://abelprize.no/sites/default/files/2025-03/MasakiKashiwara_s_work_for_non_mathematicians_AbelPrize_2025.pdf

https://abelprize.no/sites/default/files/2025-03/kashiwaraENG.pdf

https://abelprize.no/sites/default/files/2025-03/RH_ENG.pdf

https://abelprize.no/sites/default/files/2025-03/krystallENG.pdf

内容来源：zzllrr小乐

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