理论物理新方向：用高一维的拓扑序来全息理解量子场论

广义对称性是一种超越群论的新型的对称性，其需要用高一维的拓扑序来描写。演生的广义对称性可能完全决定无能隙态（也就是量子场论）的低能性质，这 改变了我们对量子场论和无能隙系统的基本看法和思路。这将成为量子场论与强关联量子物质研究的一个重要方向，甚至可能是一个主导的方向。

撰文|文小刚（美国国家科学院院士、麻省理工学院格林讲席教授）

编辑 | 陈钢（北京大学）

凝聚态物理是研究多体系统 （如材料） 物理性质的学科。该领域最重要的问题之一是理解材料中大量自由度在量子基态 （即低温态） 下的组织形式，因为系统几乎所有的低温性质都由此决定。我们将量子基态中的这种组织形式称为“量子纠缠模式”。

数学上，N粒子系统的基态由波函数，一个关于N个变量的复函数Φ(m1,m2, …,mN)，来描述。要理解多体系统的量子纠缠模式 （即理解多体系统的量子相——这里的“相”指液相、固相等相态） ，我们需要对N→∞极限下的复波函数Φ(m1,m2, …,mN)进行分类。这种分类问题是物理学最基础的问题之一，因为它决定了多体系统可能存在的相态。

由于历史原因，长期以来物理学家认为波函数 （即量子纠缠模式） 可通过对称性分类，例如波函数是否在"自旋"旋转Φ(mi) → Φ(mi+m)下保持不变。基于此种观点，人们认为物质的相也由对称性分类，而对称性都可用数学中的群论来描写。这就是群论成为物理学重要数学基础的原因，也是每位物理学生都需要学习群论的原因。然而1989年的研究发现，仅凭对称性不足以完全分类波函数Φ(m1,m2, …,mN)具备的所有可能的组织形式。为了理解超越对称性的新型多体组织形式，我们需要把物质态分为两类。一类是有能隙的物质态，一类是无能隙的物质态。有能隙的物质态，包括绝缘体，量子霍尔态等等，其需要注入一个有限大小的能量来产生一个激发。无能隙的物质态，包括超导体，超流体，量子相变的临界点等等，其产生一个激发所需的能量可以是无限小。这两种物质态，都具有超越对称性的组织形式（也具有由对称性所描写的组织形式）。

在有能隙系统中，这种超越对称性的新型多体组织形式被称为“拓扑序” （2010年，我们意识到拓扑序本质上是长程纠缠的模式） ，这开启了凝聚态物理理论研究的一个新方向。

超越对称性框架，在N→∞极限下，对波函数Φ(m1,m2, …,mN)进行完全分类，这一数学问题极具挑战性。而发展这一描述多体纠缠模式的数学理论至关重要，代表着理论物理的未来方向。

其实，多体纠缠 （即拓扑序） 是物理学中的全新现象，其需要全新数学语言来描述。这正像牛顿时代曲线运动需要全新的数学——微积分——来描述。这种新数学是什么？2005年以来的研究表明，高阶融合范畴理论可能正是描述长程纠缠的数学框架，正如群论是描述物理中对称破缺的数学框架，这为我们全面理解有能隙物态提供了数学的框架及语言。这让我们对有能隙物态有了一个完全系统的理解。

下一步，我们想要完全系统地理解联无能隙量子物态与量子场论 （这两个名称指向同一问题） 。这些无能隙的量子物质可能甚至没有弱相互作用的准粒子激发。这是理论物理学长期悬而未决的难题。我们在量子色动力学 （QCD） 、早期宇宙相变、高温超导体、量子自旋液体、量子材料临界点等问题中都面临这一困境。近年来理论物理学的新进展，让我们有望在这一长期难题上取得突破，这或将推动理论物理学进入新纪元。

这一新发展受到两个方面的推动：第一个是过去三十余年通过对有能隙高度纠缠物质相 （即拓扑序） 的研究，我们发现拓扑序和多体纠缠模式可通过新数学理论——高阶融合范畴——来进行描述和分类；第二个是近十年对对称性本质有了更全面深入的理解。

众所周知，对称性可约束低能动力性质，也就是限制无能隙态和量子场论的性质。同样值得注意的是，无能隙态和量子场论在低能区可呈现演生对称性，我们可利用这种演生对称性来表征无能隙态和量子场论的低能性质。

过去十年来，我们发现量子系统演生对称性的形式十分丰富：既包括传统群论描述的对称性，也包含反常对称性、高阶群所描述的高阶对称性、反常高阶对称性，以及超越群与高阶群的不可逆对称性等。所有这些广义对称性都可用于表征无能隙态和量子场论的低能性质。

当对称性被如此深度推广后，其与 （不可逆的） 引力反常已难以区分——后者同样可约束低能动力性质。我们又知道 （不可逆的） 引力反常本质上就是高一维的拓扑序。这两点发现引导我们建立了描述上述广义对称性的统一理论。这一统一理论不是群论，而是高一维的拓扑序，也就是数学上的高阶融合范畴。

当把对称性理论如此深远地扩展之后，我们突然发现，有一个愿景，或者说是梦想，也许可以成真：演生的广义对称性可能完全决定无能隙态 （也就是量子场论） 的低能性质。换言之，每一个可能的低能性质都对应于一个演生的广义对称性。如此一来，对高阶融合范畴的分类 （既对高一维的拓扑序的分类） 将导致对所有可能低能性质 （即可能的共形场论） 的分类。若此猜想成立，我们对无能隙态和量子场论的理解将跃升至新高度。量子场论问题，将不是一个微积分问题、微分方程问题、格林函数问题或纤维丛问题，而是一个范畴问题。或者更进一步，是一个数论问题。这完全改变了我们对量子场论和无能隙系统的基本看法和思路。这将成为量子场论与强关联量子物质研究的一个重要的方向，甚至可能是一个主导的方向。

中国和华裔科学家在这一新方向有众多开创性的贡献。下面罗列一些这方面早期的直接相关和间接相关的研究工作：

[1] Alexei Kitaev, Liang Kong

Models for gapped boundaries and domain walls

https://arxiv.org/abs/1104.5047

[2] L. Kong and X.-G. Wen,

Braided fusion categories, gravitational anomalies, and the mathematical framework for topological orders in any dimensions,

https://arxiv.org/abs/1405.5858

[3] D. Fiorenza and A. Valentino,

Boundary conditions for topological quantum field theories, anomalies and projective modular functors,

Commun. Math. Phys. 338, 1043 (2015),

https://arxiv.org/abs/1409.5723

[4] Maissam Barkeshli, Parsa Bonderson, Meng Cheng, Zhenghan Wang

Symmetry Fractionalization, Defects, and Gauging of Topological Phases

https://arxiv.org/abs/1410.4540

[5] D. Gaiotto, A. Kapustin, N. Seiberg, and B. Willett,

Generalized global symmetries,

J. High Energ. Phys. 172, (2015);

https://arxiv.org/abs/1412.5148

[6] L. Kong, X.-G. Wen, and H. Zheng,

Boundary-bulk relation for topological orders as the functor mapping higher

categories to their centers,

https://arxiv.org/abs/1502.01690

[7] Meng Cheng, Cenke Xu

A series of (2+1)D Stable Self-Dual Interacting Conformal Field Theories

https://arxiv.org/abs/1609.02560

[8] Tian Lan, Liang Kong, Xiao-Gang Wen

A classification of 3+1D bosonic topological orders (I): the case when point-like excitations are all bosons

https://arxiv.org/abs/1704.04221

[9] L. Kong and H. Zheng,

Gapless edges of 2d topological orders and enriched monoidal categories,

Nucl. Phys. B 927, 140 (2018),

https://arxiv.org/abs/1705.01087

[10] C.-M. Chang, Y.-H. Lin, S.-H. Shao, Y. Wang, and X. Yin,

Topological defect lines and renormalization group flows in two dimensions,

J. High Energ. Phys. 2019 (1), 26,

https://arxiv.org/abs/1802.04445

[11] F. Benini, C. Córdova, and P.-S. Hsin,

On 2-group global symmetries and their anomalies,

J. High Energ. Phys. 2019 (3), 118,

https://arxiv.org/abs/1803.09336

[12] C. Zhu, T. Lan, and X.-G. Wen,

Topological nonlinear σ-model, higher gauge theory, and a systematic con-

struction of 3+1D topological orders for boson systems,

Phys. Rev. B 100, 045105 (2019),

https://arxiv.org/abs/1808.09394

[13] Qing-Rui Wang, Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of symmetry protected topological phases in interacting fermion systems

https://arxiv.org/abs/1811.00536

[14] Z. Wan and J. Wang,

Higher anomalies, higher symmetries, and cobordisms I: classification of higher-

symmetry-protected topological states and their boundary fermionic/bosonic anomalies via a generalized cobordism theory,

Annals of Mathematical Sciences and Applications 4, 107 (2019), https://arxiv.org/abs/1812.11967

[15] Ce Shen, Ling-Yan Hung

A Defect Verlinde Formula

https://arxiv.org/abs/1901.08285

[16] R. Thorngren and Y. Wang,

Fusion Category Symmetry I: Anomaly In-Flow and Gapped Phases,

J. High Energ. Phys. 2024, 132,

https://arxiv.org/abs/1912.02817

[17] W. Ji and X.-G. Wen,

Categorical symmetry and non-invertible anomaly in symmetry-breaking and topological phase transitions,

Phys. Rev. Res. 2, 033417 (2020),

https://arxiv.org/abs/1912.13492

[18] T. Lichtman, R. Thorngren, N. H. Lindner, A. Stern, and E. Berg,

Bulk anyons as edge symmetries: Boundary phase diagrams of topologically ordered

states,

Physical Review B 104, 075141 (2021),

https://arxiv.org/abs/2003.04328

[19] L. Kong, T. Lan, X.-G. Wen, Z.-H. Zhang, and H. Zheng,

Algebraic higher symmetry and categorical symmetry: A holographic and entanglement view of symmetry,

Phys. Rev. Res. 2, 043086 (2020),

https://arxiv.org/abs/2005.14178

[20] Yuting Hu, Yidun Wan

Electric-Magnetic duality in twisted quantum double model of topological orders

https://arxiv.org/abs/2007.15636

[21] D. Gaiotto and J. Kulp,

Orbifold groupoids,

J. High Energ. Phys. 2021 (2), 132,

https://arxiv.org/abs/2008.05960

[22] Yuting Hu, Zichang Huang, Ling-yan Hung, Yidun Wan

Anyon Condensation: Coherent states, Symmetry Enriched Topological Phases, Goldstone Theorem, and Dynamical Rearrangement of Symmetry

https://arxiv.org/abs/2109.06145

[23] Yu-An Chen, Po-Shen Hsin

Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

https://arxiv.org/abs/2110.14644

[24] Yichul Choi, Clay Cordova, Po-Shen Hsin, Ho Tat Lam, Shu-Heng Shao

Non-Invertible Duality Defects in 3+1 Dimensions

https://arxiv.org/abs/2111.01139

[25] Justin Kaidi, Kantaro Ohmori, Yunqin Zheng

Kramers-Wannier-like duality defects in (3+1)d gauge theories

https://arxiv.org/abs/2111.01141

[26] F. Apruzzi, F. Bonetti, I. Etxebarria, S. Hosseini, and S. Schäfer-Nameki,

Symmetry TFTs from string theory,

Communications in Mathematical Physics 402, 895 (2023),

https://arxiv.org/abs/2112.02092

[27] A. Chatterjee and X.-G. Wen,

Symmetry as a shadow of topological order and a derivation of topological holographic principle,

Phys. Rev. B 107, 155136 (2023),

https://arxiv.org/abs/2203.03596

[28] Jian-Hao Zhang, Shang-Qiang Ning, Yang Qi, Zheng-Cheng Gu

Construction and classification of crystalline topological superconductor and insulators in three-dimensional interacting fermion systems

https://arxiv.org/abs/2204.13558

[29] Zhi-Feng Zhang, Qing-Rui Wang, Peng Ye

Non-Abelian Fusion, Shrinking and Quantum Dimensions of Abelian Gauge Fluxes

https://arxiv.org/abs/2208.09228

[30] Maissam Barkeshli, Yu-An Chen, Po-Shen Hsin, Ryohei Kobayashi

Higher-group symmetry in finite gauge theory and stabilizer codes

https://arxiv.org/abs/2211.11764

[31] Wen-Yuan Liu, Shou-Shu Gong, Wei-Qiang Chen, Zheng-Cheng Gu

Emergent Symmetry in Quantum Phase Transitions: From Deconfined Quantum Critical Point to Gapless Quantum Spin Liquid

https://arxiv.org/abs/2212.00707

[32] Yi-Nan Wang, Yi Zhang

Fermionic Higher-form Symmetries

https://arxiv.org/abs/2303.12633

[33] T. Lan and J.-R. Zhou,

Quantum Current and Holographic Categorical Symmetry

https://arxiv.org/abs/2305.12917

[34] Linhao Li, Masaki Oshikawa, Yunqin Zheng

Intrinsically/Purely Gapless-SPT from Non-Invertible Duality Transformations

https://arxiv.org/abs/2307.04788

[35] Ruizhi Liu, Ho Tat Lam, Han Ma, Liujun Zou

Symmetries and anomalies of Kitaev spin-S models: Identifying symmetry-enforced exotic quantum matter

https://arxiv.org/abs/2310.16839

[36] Xing-Yu Ren, Shang-Qiang Ning, Yang Qi, Qing-Rui Wang, Zheng-Cheng Gu

Stacking Group Structure of Fermionic Symmetry-Protected Topological Phases

https://arxiv.org/abs/2310.19058

[37] Gong Cheng, Lin Chen, Zheng-Cheng Gu, Ling-Yan Hung

Precision reconstruction of rational CFT from exact fixed point tensor network

https://arxiv.org/abs/2311.18005

[38] Leonardo A. Lessa, Meng Cheng, Chong Wang

Mixed-state quantum anomaly and multipartite entanglement

https://arxiv.org/abs/2401.17357

[39] Liang Kong, Zhi-Hao Zhang, Jiaheng Zhao, Hao Zheng

Higher condensation theory

https://arxiv.org/abs/2403.07813

[40] Ruochen Ma, Yabo Li, Meng Cheng

Quantum Cellular Automata on Symmetric Subalgebras

https://arxiv.org/abs/2411.19280

[41] Ryohei Kobayashi, Yuyang Li, Hanyu Xue, Po-Shen Hsin, Yu-An Chen

Universal microscopic descriptions for statistics of particles and extended excitations

https://arxiv.org/abs/2412.01886

本文转载自《返朴》微信公众号

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