已知正实数x，y满足14x+8y=11,求几种情形下代数式最值

已知正实数x，y满足14x+8y=11,求几种情形下代数式最值

主要内容：

本文主要介绍：1.四种方法计算xy的最大值。2.两种方法计算8/x+12/y的最小值。3.三种方法计算23x²+10y²的最小值。4.三种方法计算√2x+√13y的最大值。

情形：求xy的最大值：

●思路一：利用基本不等式计算求解，即正数a，b有：a+b≥2√ab。

对于本题有：14x+8y≥2√(14*8xy),则：

2√(14*8xy)≤11，即：14*8xy≤11²/4,

xy≤121/448,

所以xy的最大值=121/448。

●思路二：中值计算法。设14x=11/2-t，8y=11/2+t，则：

x=1/14*(11/2-t)，y=1/8*(11/2+t),

代入所求表达式有：

xy=1/14*(11/2-t)*1/8*(11/2+t),

=-(1/112)*[t²-(11/2)²].

可知，当t=0时，xy有最大值为：xy=121/448。

●思路三：判别式计算法

通过变形为一元二次方程，利用根与判别式关系，计算最大值。

由已知条件可知：y=1/8*(11-14x),代入有：

xy=1/8*(11x-14x²)

=-1/8(14x²-11x)=-14/8(x²-11x/14)

=-14/8[(x-11/28)²-(11/28)²],

可知当x=11/28时，xy有最大值=121/448。

●思路四：多元函数导数法

设f(x,y)=xy-λ(14x+8y-11)，分别求f对x，y，λ的偏导数有：

F'x=y-14λ; F'y=x-8λ; F'λ=14x+8y-11;

令F'x=F'y= F'λ=0，则有：

x=8λ，y=14λ，代入14x+8y-11=0有：

112λ+112λ=11，λ=11/224,

进一步可以求出x=11/28，y=11/16,

则xy的最大值=11/28*11/16=121/448。

情形：求8/x+12/y的最小值：

▲思路一：系数调整法

原式=1/11*11*(8/x+12/y)

=1/11*(14x+8y)* (8/x+12/y)

=1/11*(112+168x/y+64y/x+96)

=1/11*(208+168x/y+64y/x)

≥1/11*(208+32√42)。

则其最小值=1/11*(208+32√42)。

▲思路二：多元函数法

设f(x,y)=8/x+12/y+(14x+8y-11)，分别求f对x，y，λ的偏导数有：

F'x=-8/x²+14λ;

F'y=-12/y²+8λ;

F'λ=14x+8y-11;

令F'x=F'y= F'λ=0，则有：

y=√(168/64)x,代入14x+8y-11=0有：

14x+8√(168/64)x-11=0，求出:

1/x=1/11*[14+√(8*168/8)],

则8/x+12/y的最小值为：

最小值=8/x+12/x*√(64 /168)

=[8+12 *√(64 /168)]*1/x

=[8+12 *√(64 /168)]*1/11*[14+√(8*168/8)]

=1/11*[112+2√(168*64)+96]

=1/11*(208+32√42)

情形：求23x²+10y²的最小值：

◆思路一：二次函数判别式法

由已知条件可知：y=1/8*(11-14x),代入有：

23x²+10y²

=23x²+10*1/8²*(11-14x)²

=1/8²(23*8²x²+10*14²x²-2*10*14*11x+10*11²)

=1/8²[(23*8²+10*14²)x²-2*10*14*11x+10*11²].

则当x=10*14*11/(23*8²+10*14²)时，有最小值，即：

最小值=1/8²*[-(10*14*11)²/(23*8²+10*14²)+10*11²].

=1/8²*(230*8²*11²/[(23*8²+10*14²)].

=1265/156.

◆思路二：柯西不等式法

23x²+10y²=(√23x)²+(√10y)²，由柯西不等式可得：

[(√23x)²+(√10y)²]*[(14/√23)²+(8/√10)²]≥(14x+8y)²,即：

[(√23x)²+(√10y)²]*[(14/√23)²+(8/√10)²]≥11²,

所以：

(√23x)²+(√10y)² ≥11²/[(14/√23)²+(8/√10)²]

23x²+10y²≥11²/[(14/√23)²+(8/√10)²]

=11²*230/[(23*8²+10*14²)]

=1265/156.

◆思路三：导数计算法

设23x²+10y²的最小值为t，为定制，即：

23x²+10y²=t，两边对x求导，有：

23x+10y*dy/dx=0,即：dy/dx=-23x/10y。

对已知条件也对x求导有：

14+8*dy/dx=0,即：dy/dx=-14/8,则有：

14/8=23x/10y,即y=184x/140,代入已知条件有：

14*x+8*184x/140=11，则x=154*10/(23*8²+10*14²),

则y=88*23/(23*8²+10*14²).

代入所求表达式有：

最小值=23*(154*10)²/(23*8²+10*14²)²+10*(88*23)²/(23*8²+10*14²)²

=11²*230/(23*8²+10*14²)

=1265/156.

情形：求√2x+√13y的最大值：

■思路一：三角换元法

由条件14x+8y=11,可设14x=11sin²a, 8y=11cos²a,则：

x=(11/14)sin²a,y=(11/8)cos²a,

代入所求式有：

√2x+√13y

=√[2*(11/14)sin²a]+√[13*(11/8))cos²a]

=√[2*(11/14)]sina+√[13*(11/8))]cosa,

所以其最大值

=√{[√2*(11/14)]²+[√13*(11/8))]²}

=33√14/28.

■思路二：柯西不等式法

根据题意有：

(14x+8y)(2/14+13/8)≥(√2x+√13y)²，则：

(√2x+√13y)²≤11*(1/7+13/8)，所以：

(√2x+√13y)max≤√[11*(1/7+13/8)]

即最大值= 33√14/28.

■思路三：导数计算法

设√2x+√13y的最小值为p，则对√2x+√13y=p其求导有：

√2/√x+√13/√y*dy/dx=0,即：dy/dx=-√2y/√13x;

对已知条件也对x求导有：

14+8*dy/dx=0,即：dy/dx=-14/8,则有：

14/8=√2y/√13x,即：y=(14/8)²*13x/2,

代入已知条件有：

14x+8*(14/8)²*13x/2=11，即：2x=88*2²/[14(182+16)],

进一步可知：13y=154*13²/[8(182+16)],

此时√2x+√13y

=p=2√{88/[14(182+16)]}+ 13√{154/[8(182+16)]}

=√[11(182+16)/112]

=33√14/28.