数学悖论系列之十一（自然数求和悖论)

数学悖论系列之十一（自然数求和悖论)

十一、自然数求和悖论(Paradox of summation of natural numbers)

无限级数之和的分析分为收敛、振荡和发散。发散级数在形式逻辑中没有总和。但是，在一些扩展中，通过定义转换的方式或者“技术手段”将更改的值分配给相同的发散序列，它们很少具有令人满意的属性。 特别是，对于作为连续项的无限自然数的总和这样一个序列进行一系列操纵，很容易得到令人讨厌的悖论。

几个世纪以来，发散级数的矛盾结果在数学界引起了相当多的争论和讨论，至今仍没有公认的方法来给发散级数赋值。在数学和其他可计算的领域(如管理、统计、金融、物理科学等)中使用级数时，描述级数是发散还是收敛是至关重要的。

对于自然数序列“S=1+2+3+…+∞”求和，不少人甚至极个别数学家、物理学家求出的值都不同，但绝大部分是负值——他们坚称应像-1不存在平方根那样通过引进复数概念这样的所谓正则化技术来给发散级数赋值，但数学界、物理学界主流意见斥之为荒谬。

最著名的自然数求和悖论是拉马努金求和(S=-1/12) ，当然还有许多类似例子，比如“S=-1/8（素奇数p求和）” 。这两个结果是真的话，足以动摇一个人对数学的信念，并且是完全不直观的。首先，因为无限的正整数序列的和不应该是负值，其次不应该是小数值，最后，不应该收敛到一个有限的值。限于篇幅，本文只讨论这两个悖论。

（一）背景(前沿)知识

1.解析延拓（Analytic Continuation）

解析延拓(有时简称为“延拓”)提供了一种扩展复函数定义域的方法。最常见的应用是在点Z。附近由幂级数确定的复解析函数。

图 117

这种幂级数展开一般只在其收敛半径内有效。然而，在幸运的情况下(这很幸运也很常见！)，函数f将有一个幂级数展开式，它在一个比预期的更大的收敛半径内是有效的，这个幂级数可以用来定义其原始定义域之外的函数。例如，这允许将三角函数、指数函数、对数函数、幂函数和双曲函数的定义从实数轴R自然扩展到整个复平面c。类似地，解析延拓可用于将解析函数的值扩展到复平面中的分支割平面。

解析延拓简述见图118、119：

图 118

图 119

2.黎曼ζ函数(Riemann zeta function)

（1）黎曼ζ函数定义

黎曼 zeta 函数是数学和物理学中一个极其重要的特殊函数，它以定积分形式出现，并且与围绕质数定理的非常深的结果密切相关。虽然已经研究了这个函数的许多特性，但仍有一些重要的基本猜想（最著名的是黎曼假说）至今仍未得到证实。黎曼 zeta 函数表示为 zeta（z），并沿实轴绘制在上面（使用两个不同的刻度）。

一般来说，zeta(s)定义在一个复变量的复平面上，该复变量通常表示为s(而不是通常的z ),以遵从Riemann在其1859年的论文中使用的符号，该论文建立了对该函数的研究(Riemann 1859)。

设一复数z，其实数部分> 1时，ζ（z）(黎曼ζ函数)的定义见图120。

图 120

（2）欧拉乘积

设一复数z，其实数部分> 1时，ζ（z）(黎曼ζ函数)可用欧拉乘积表示(图121)。

图 121

从图121来看，欧拉乘积显示出一个有趣的结果是“存在无穷多个素数”。如果z≤1，它发散，乘积必须被无穷多个数取，因此有无穷个素数。

（3）黎曼猜想

黎曼猜想是关于黎曼函数ζ(z)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(z)的状态。在复平面上使黎曼ζ 函数值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。黎曼ζ函数ζ(z)是为所有复数z≠1定义的。它在负偶数整数处(即z =- 2、-4、-6，...)，黎曼ζ 函数值为零——这些被称为平凡零点(trivial zeros)。即z=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的平凡零点，这些零点分布有序、 性质简单 。

除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。在黎曼猜想的研究中， 数学家们把复平面上 Re(z)=1/2 的直线称为临界线 （critical line）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于临界线上。即黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(z)=1/2 的直线上。

计算黎曼 zeta 函数的非平凡零是整个数学领域的一个细分领域。2000年，美国克莱数学研究所向全世界的数学家们公开了一个诱人的挑战:解决七个千年奖问题(包括黎曼猜想在内)中的任何一个，就可以获得100万美元的奖励。这些问题，每一个都是一个巨大的谜题，几十年来一直困扰着最聪明的头脑。截至目前，只有一个——庞加莱猜想得到了解决。

黎曼假设是数学中最难理解的问题之一，它的核心是一个神秘的zeta函数ζ(z)，它与质数以及它们在数轴上的分布有着密切的联系。几十年的研究让我们更接近解开它的秘密。最近的进展和持续的挑战继续塑造我们对这个数学猜想的理解。研究人员在证明黎曼假设方面取得了可能是新的进展，这有助于进一步揭开质数之谜。

数学家们在2019年5月21日的《美国国家科学院院刊》上报告说，他们通过解决一组被称为詹森多项式(Jensen polynomials)的表达式的相关问题取得了进展。但是这个猜想很难验证，甚至这个进展也不一定是解决方案即将到来的迹象。

但是詹森多项式可能是解开黎曼假设的一把钥匙。数学家们之前已经证明，如果与zeta函数ζ(z)相关联的所有詹森多项式都只有零是实数，则黎曼假设成立，这意味着多项式等于零的值不是虚数，它们不涉及负1的平方根。但是有无限多的詹森多项式。

研究詹森多项式是攻克黎曼假设的各种策略之一。这个想法已经有90多年的历史了，以前的研究已经证明詹森多项式的一个小子集有实根。但是进展缓慢，努力停滞不前。

现在，美国埃默里大学数学和计算机科学教授肯·奥诺(出生于美国、成长于美国的日本人后代：接受完整美式教育【1993 年从美国加州大学洛杉矶分校获得数学博士学位】)和他的同事已经证明了这些多项式中的许多子集确实有实根，满足了证明黎曼假设所需的大部分内容。“与黎曼假设相关的任何方向的任何进展都是令人着迷的。”巴西圣保罗州立大学的数学家迪米特尔·季米特洛夫说。季米特洛夫认为“任何人都不可能在这个方向上取得任何进展”，他说：“但他们做到了。”

很难说这一进展是否最终会导致一种证明。“我非常不愿意预测任何事情。”美国宾夕法尼亚州立大学的数学家乔治·安德鲁斯说，他没有参与这项研究。过去，在黎曼假设上已经取得了许多进展，但是每一个进展都是失败的。这一结果支持了数学家们的普遍观点，即黎曼假设是正确的。“我们已经取得了很多进展，提供了新的证据证明黎曼假设应该是正确的。”数学家肯·奥诺说。

如果黎曼假设最终被证明是正确的，它不仅会阐明质数，而且还会立即证实许多假设黎曼假设是正确的数学观点。除了黎曼假设的含义之外，这个新的结果还揭示了所谓的配分函数的一些细节，它计算了从正整数之和创建一个数的可能方法的数量。例如，数字4可以有五种不同的构成方式：3+1，2+2，2+1+1，1+1+1+1，或者仅仅是数字4本身。这个结果证实了一个早期的命题，即配分函数如何随着数值的增大而增大。

3.卡西米尔效应（Casimir Effect）

为了理解卡西米尔效应，我们首先要了解量子场论中的真空。现代物理学远非空无一物，而是假设真空中充满了永远无法完全消除的波动——电磁波。这些波以所有可能的波长出现，它们的存在意味着真空中含有一定量的能量——一种我们无法利用的能量，但它总是存在的。

真空能量(不管有没有镜子)最有趣的一点是，用量子场论计算，它是无限的！对一些人来说，这一发现意味着太空中的真空可能是一种巨大的能量来源——被称为“零点能”。在两个紧密平行的不带电导电板之间会产生微小吸引力。该力是由于电磁场的量子涨落而产生的。量子场的量子涨落在空间边界条件下引起零点能量偏移。

如果镜子在真空中相对放置，一些波会在它们之间来回反弹，而另一些则不会。随着两个镜子越来越靠近，较长的波将不再适合，结果是两个板之间的真空中的总能量将比真空中其他地方的能量少一点。因此，镜子会相互吸引，就像被拉伸的弹簧固定在一起的两个物体会随着弹簧中储存的能量减少而一起移动一样。

这种效应，即真空中的两个镜子会相互吸引，就是卡西米尔效应。荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔在1948年首次预言了这一现象。现就职于洛斯阿拉莫斯国家实验室的史蒂夫·k·拉莫勒克斯于1996年首次测量了这个微小的力。吸引力的总量不到十亿分之一牛顿，与理论的误差在5%以内。

1956 年，俄罗斯物理学家叶夫根尼·利夫希茨 （Yevgeny Lifshitz） 将卡西米尔的工作应用于具有不同介电特性的材料，发现在某些情况下卡西米尔效应可能是排斥性的。2008 年，美国物理学家 Jeremy Munday 和意大利裔美国物理学家 Federico Capasso 首次观察到镀金聚苯乙烯球体和浸入溴苯中的二氧化硅板之间的排斥卡西米尔效应。

一般来说，一块真空中的能量可以被它周围的物质改变，这是事实。如果镜子快速移动，一些真空波会变成真正的波。朱利安·施温格和许多其他人提出，这种“动态卡西米尔效应”可能是被称为声致发光的神秘现象的原因。

但这一发现也提出了一个物理问题：没有什么可以阻止任意小的波在两个镜子之间传播，而且这些波长的数量是无限的。数学解决方案是暂时对反射镜的两个不同间距的有限数量的波进行计算，找到真空能量的相关差异，然后论证该差异保持有限，因为允许波长的数量趋向于无穷大。

尽管这一招很管用，并且给出了与实验相符的答案，但无限真空能量的问题是一个严重的问题。爱因斯坦的引力理论暗示这种能量一定会产生无限的时空引力曲率——这是我们绝对观测不到的。这个问题的解决仍然是一个公开的研究问题。

（二）自然数求和悖论

1.素奇数p求和

从图122、123来看，自然数级数和“1+2+3+4+…+∞=-1/8”在形式逻辑上似乎无懈可击，果真如此？

图 122

图 123

让我们回顾一下，《数学悖论系列之五（无限大的悖论)》中所讲“凡是与自然数集等势的集合称为可数集（可列集），故可列集也可称为可数无限（无穷）集合。A为可数无穷集合是指当且仅当A可排列为 A=｛a1，a2，…,an，…｝形式时，可以对它的元素进行编号，从而建立起该集合与自然数集的一一对应的关系。势最小的无限集为可数无限集，即与自然数集N对等的无限集”等相关内容，就知道涉及到无穷大(∞)的算术运算时应遵守相应的数学规则（图 124）。

图 124

回头看“素奇数p求和”作者在逻辑推理过程中，隐藏了一个假设“1+2+3+4+…+∞=∞”为真这个前提才能进行所谓“正则化”操作——逻辑推理过程合理，但结果却得出“1+2+3+4+…+∞”为有限值的结论。从形式逻辑上看，是自相矛盾的。因此，陈述“1+2+3+4+…+∞=-1/8”为假。

今以作者的例子加以说明。令n∈N，则S=1+2+3+4+…+n：

如果n取有限值3k-2(k∈N)，则S是等差数列，其值是S=(n(1+n))/2。

以作者的技巧进行如下操作：

S=1+2+3+4+…+n

=1+2+3+4+…+3k-2

=1+(2+3+4)+(5+6+7)+…+((3k-4)+(3k-3)+(3k-2))

=1+9+18+…+（9k-9）

=1+32(1+2+…+(k-1))

显然1+2+3+4+…+n≠1+2+…+(k-1)，且左边大于右边。如按作者逻辑，必然导致

1+2+3+4+…+n=-1/8、1+2+…+(k-1)=-1/8左右两边级数和相等的矛盾结果。

因此，n不能取有限值，即n→∞：S=1+2+3+4+…+∞。在这种情形下，1+2+3+4+…+∞可看作zeta 函数ζ(z)“1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+…”取实数z=-1的特殊情形，而根据图118

中(3)式所示，这个级数在实部(z)(包括实数)⩽1情况下不收敛。所以，陈述“1+2+3+4+…+∞=-1/8”为假。

2.拉马努金求和

（1）拉马努金求和

①算法一

首先考虑S(1)：

S(1) = 1-1+1-1+1-1+1+…。

这个总和的结果取决于停止添加或减去 1 的位置。这种不确定性令人不安。个别数学家(物理学家)认为我们可以通过简单地取两个极端的平均值来摆脱它，即（0+1）/2= 1/2（Cesaro求和）。

接下来，考虑这两个和——S（2）和 S：

S（2） = 1-2+3-4+5-6+…；

S = 1+2+3+4++…。

现在，将 S（2） 添加到自身中，但略有变化。通过将数字向右移动一位来添加另一个 S（2）。

2S(2) = 1-2+3-4+… +1-2+3-4+…。

这个计算显然会导致序列 1-1+1-1+1+…，也就是说，正如我们上面显示的S（1），它的值是 1/2。所以，2S（2） 是 1/2，使得 S（2） 的值是 1/4。

接下来，从 S 中减去 S（2），得到S（3）：

S（3）=1+2+3+4+… – （1-2+3-4+…） = 0+4+0+8+0+12+0+16+…=4 （1+2+3+4...）=4S。

上边已证明 S-S（2） = 4S，但 S（2） 等于 1/4。于是有：

S-S(2) = 4S ⇒ -3S = S(2) = 1/4 ⇒ S = -1/12。

②算法二(拉马努金算法)

S = 1+2+3+4+5+6+… ⇒ 4S = 4(1+2+3+4++…)=4+8+12+… ⇒ S- 4S=1-2 +3-4+5-6+…。

根据算法①得知

1-2+3-4+5-6+…= 1/4，所以S- 4S=1/4，因此S = -1/12。

注：在拉马努金手稿中，“1-2+3-4+5-6+…= 1/4”是以“1-2+3-4+5-6+…= 1/(1+1)^2”这种表达式岀现的，但均是来源于算法①中对振荡数列“1-1+1-1+1-1+1+…”求和被赋予算术均值“1/2”(总和在0与1之间来回切换)的后果。

③算法三(欧拉算法变体)

1749年，欧拉通过大胆的计算发现了ζ(-1)=- 1/12。于是一些非专业人士大胆引用欧拉的计算结果：1+2+3+4+…+∞可看作zeta 函数ζ(z)“1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+…”取实数z=-1的变体，于是有

ζ(z)=1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+… ⇒ ζ(-1)=1+1/2^(-1)+1/3^(-1)+1/4^(-1)+…=1+2+3+4+…。

所以，S =1+2+3+4+…+∞=- 1/12。

（2）拉马努金求和分析

①“③算法三”中的谬误

根据图118知道：

这个“1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+…”级数只有当 z的实部大于1时才收敛，而在实部(z)⩽1情况下不收敛，因此当实部(z)(包括实数)⩽1的时候不能写成：ζ(z)=1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+…。因为所有的ζ函数的解析延拓对于所有不等于1的z，zeta函数已被重新定义，以包括这一更广泛的定义。

事实上z=-1适用定义(5)，其计算结果确实是-1/12：

ζ(1- z)=ζ(1- （-1）)=π^2/6，ζ(-1)≡-2×1÷(4π^2)×1×π^2/6=- 1/12。

由于作者误认“x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+…”(x∈N，x≥1)的解析延拓是“ζ(z)=1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+…”，才导致出现在zeta 函数ζ(z)“1+1/2^z+1/3^z+1/4^z+…”取实数z=-1的特殊情形下，S =1+2+3+4+…+∞=- 1/12这种谬论。

②“②算法二”中的谬误

由于②引用了①的结果，所以“②算法二(拉马努金算法)的谬误根源在①算法一”，故我们只需对“①算法一”进行证伪即可。

③“①算法一”中的谬误

(A)Cesaro求和

与自然数求和有关的一个例子是“塞萨罗(Cesaro)求和”，其中可写出一系列无穷级数部分和的算术平均值。如果数列收敛于某个极限，那么这个极限叫做无穷级数的塞萨罗和。塞萨罗和有时比通常的类型表现得更好。此外，任何级数在通常意义上的部分和求和将是塞萨罗求和得到的相同数字。

但是一些通常意义上不可求和的级数是可求塞萨罗和的——虽然1+2+3+…这个系列不是其中之一。原则上，人们可以为任何一个级数定义无数种不同的塞萨罗和“风格”，这纯粹是因为定义平均值的方式有无数种不同的方法：算术、几何和调和均值只是无数种不同均值的三个例子。

下面是一个序列示例，该序列不是通常意义上的可求和，而是塞萨罗和可求和：

1−1+1−1+1−1+…。

运行总和的顺序为1,0,1,0,1,0,…。随着序列变长，这些值的平均值趋向于 1/2，因此 用Cesaro 求和便是 1/2，即使通常的总和不存在。 Cesaro 和在这里有什么实际用途呢？

如果你给他1元，然后拿走，再继续给，又再继续拿走……无限期地重复这些行为，他永远无法买任何东西，除非他很快花掉1元，然后以1元的价格卖掉他买的东西，这样他就可以把钱还给你。他肯定不能花掉 1/2 元并保留他买的东西。因此，Cesaro 和不是通常的求和方式。 Cesaro 和与现实世界的任何内容均不对应。

(B)逻辑漏洞

其次再来看一看作者的逻辑漏洞：

第一，“S(1) = 1-1+1-1+1-1+1+…= 1/2”这个命题本身是不成立的，暂时不表(姑且为真)。

第二，将“S（2） = 1-2+3-4+5-6+…”添加到自身中，得到“2S(2) = 1-2+3-4+… +1-2+3-4+…”，

即“序列 1-1+1-1+1+…”(1/2值)。所以，2S（2） 是 1/2，使得 S（2） 的值是 1/4。

在这一步中作者同样犯了“1.素奇数p求和”中的逻辑错误：

假设S（2）取有限奇数项，比如S（2） = 1-2+3=2，2S(2) = 1-2+3+1-2+3=4，无法推导出

2S(2)为0或1(其值为4)；如果增加2项，则有2S(2) =S(2)+S(2)= 1-2+3-4+5+1-2+3-4+5=6，也无法推导出2S(2)为0或1(其值为6)；…

假设S（2）取有限偶数项，比如S（2） = 1-2+3-4……也无法推导出2S(2)为0或1(其值为-4)；如果增加2项，则有S（2） = 1-2+3-4+5-6……也无法推导出2S(2)为0或1(其值为-6)；…

综上所述，S（2）取有限数项时，2S(2)不与“序列 1-1+1-1+1+…”等价，那么取无数项呢？从上述可知：此时S（2）要么+∞要么-∞(这很容易证明)，2S(2)也不与“序列 1-1+1-1+1+…”等价。

有S（2） = 1-2+3-4+5-6+…=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…或S（2） = 1-2+3-4+5-6+7+…=(1-2)+(3-4)+(5-6)+7+…得出S（2）要么+∞(后者)要么-∞(前者)。

所以作者在这个环节，隐藏了一个错误假设“2S(2)等价于序列 1-1+1-1+1+…”。

故以下环节就不需要再证伪了，由此得出“ S =1+2+3+4+…= -1/12”这个陈述不成立。

（3）小结

Cesaro 求和实际上是一个更一般概念的一个版本，在这种概念中，我们定义了一个函数，比如f，它按顺序获取无限级数的元素，并返回一个我们认为有趣的数字。 那些想说自然数之和是ζ(−1)实际上是通过 “f(1,2,3,…)=ζ(−1)”。 这当然可以做到，但它有用吗？ z中有任意数量的无穷级数，我们可以把减少量写下来1+2+3+…当一些z被设置为某个数字，结果不一定是−1/12。所以现在我们必须引入另一个函数，叫它g，这样g（1,2,3,…)等于新的相关序列返回的任何数字。需要发明无限数量的函数来涵盖所有序列。 然后，无限求和的主题将脱离轨道，并偏离了非常基本的概念，即求和就是将对象堆叠在一起，看看是什么（如果有的话）正在形成。

有时有人认为，如果该系列1+2+3+…没有通常意义上的总和，我们可以自由地定义它以等于有用的东西。 打个比方，−1的平方根在实数中不存在，所以我们将实数扩展为复数，然后是−1的平方根确实存在。 因此，有些人认为，我们应该被允许定义1+2+3+…成为−1/12。但这种推理方式没有逻辑内容。 −1的平方根被赋予意义的正是通过将已知数字的领域扩展到包含新实体的更大集合。

我们也不能设置1+2+3+…等于实数，因为我们已经知道1+2+3+…不会收敛到任何这样的数字。 因此，我们可以通过定义一个无穷大等于1+2+3+… 。事实证明，定义它并不像定义无理数和复数那样富有成效，但已经完成了。重要的是无穷大不等于−1/12。

一些数学家和物理学家认为物理学家在实验室里已经测量了1+2+3+…相等于−1/12。但是从来没有这样的测量；也不会被制造出来。卡西米尔用量子力学的语言分析了两个平行的板块。他考虑了一个可能充满宇宙的场，特别是板块之间的空间。在卡西米尔出现之前，这个领域纯粹是一个理论概念。

通常的推理方式是，某个区域的这个场的值在量子力学的意义上被解释为与在那个区域找到相关粒子的概率相关。因为假设在板块本身没有粒子存在，所以磁场在板块上必须消失。如果磁场被限制成这样，并被傅立叶分析成一个“模式”的总和，那么在板块之间就只有可数的无限个模式存在。卡西米尔计算了板间模式受限场的量子力学能量。正如所料，它是无限的，因为量子力学为每个模式分配了一个单位的能量，在板块之间有无限多的模式。他的计算得出了总数“1+2+3+…”，表达了这种无限的能量。

无限能量的概念在实践中是一个问题。卡西米尔接下来做的事情让他度过了那个有问题的无限。首先，他通过插入一个可以在适当范围内达到1的 “截止” 因子，使这个序列有点像几何序列。这个新系列定义明确，能够精确地求和为某个数字S^L，在那L位置是板的分离。 接下来，卡西米尔计算了这个表达式和没有板块时的类似表达式之间的差异：S^L−S^∞。每个系列的发散部分都包含在截止值中，但这部分在减法中被取消了——因此，不必考虑“截止值为1时的限制”。剩下的包括一个因素−1/12。称之为“能量差”。

这种能量的差异被视为势能的差异。现在，势能只定义为加法常数，因此引力场中的质量没有唯一的势能。但是两种势能之间的差异肯定是明确定义的，并且与力有关。有板和没有板的场能差异与板之间存在的微小力有关，这种力的存在被称为卡西米尔效应。事实上，力是势能的空间梯度，但空间梯度实际上与有板和无板的场能差异无关。所以，这种对卡西米尔效应的非常标准的解释并不完全有效。但它已成为该领域的标准。

从历史上看，这就是卡西米尔效应的所在，但许多从业者以以下方式重新解释了上述程序。 他们指出，如果他们简单地将其“1+2+3+…”部分替换为−1/12。但这没什么大不了的：卡西米尔效应中和的数学并不复杂，因此发现能量差与原始发散和中的非发散总因子有很多共同之处也就不足为奇了。

但是这个解释：它采用了一个发散的量，并观察到取代它的1+2+3+…被给出两个相关和之差(S^L和S^∞：每个都有一个截止点)“−1/12”分开。然后，因为S^L−S^∞从某种意义上来说，是在实验室里测量的−1/12，这种解释的结论是1+2+3+…等于−1/12。可是这里并没有真正的逻辑。