概念教学，理解越深，破题越快

概念教学，理解越深，破题越快

在数学教学中，最重要的是数学概念教学，最难的也是数学概念教学，对学生而言，数学概念理解越深，越透彻，解题时思路就越容易找到。

在二次函数压轴题中，这种对数学概念的理解要求愈发重要，以武汉市九年级某期中考试压轴题为例，多数学生面对最后一问时的手足无措，基本上源自于对圆概念理解不够，用学生自已的话讲“没想到是圆”，因此，破解这种“没想到”，让其变成“想到”，重视概念教学几乎是唯一的出路。

题目

已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，Q为抛物线上第一象限内一点，若∠AQC=2∠BAQ，求点Q的坐标；

(3)如图2，P为x轴上方一动点，直线PM，PN与抛物线均只有唯一公共点M，N，OH⊥MN于点H，且△PAB的面积是10，求线段OH长度的最大值.

解析：

01

(1)将点A(-1,0)和B(3,0)代入y=ax²+bx+3，求得a=-1，b=2，所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

02

(2)观察图中的∠AQC和∠BAQ，我们过点Q向y轴作垂线DQ，如下图：

由DQ∥x轴，可知∠BAQ=∠DQE，而∠AQC=2∠BAQ，得∠DQC=∠DQE，我们可得等腰△CQE，从而点D为CE中点；

不妨设Q(t,-t²+2t+3)，则D(0,-t²+2t+3)，利用中点公式列方程得：3+3-t=2(-t²+2t+3)，解得t=0或5/2，显然t≠0，则t=5/2，因此Q(5/2,7/4)；

03

(3)见动设参的意思是，对于题目条件中的动点、动线，通常情况下设它的坐标或解析式系数为参数，并用这个参数来表示其余的点、线段长、函数解析式等，即设点参或线参，首先不要怕参数，其次要尽量寻找各参数之间的关系，这都需要对相应的数学概念有足够的理解；

关于如何选择设点参或线参，由于题目最终是求线段OH最大值，而点H在直线MN上，这是一条动直线，因此设线参在计算推导中会简便一些；

现在我们来解读直线MN的解析式，将其变形得

y=k(x-1)+3，观察这个解析式右边，当x=1时，y=3，与k取值无关，这意味着直线MN经过一个定点Q(1,3)，如下图：

我们连接OQ之后，则△OHQ始终为直角三角形，且斜边为OQ，联想一斜边为定长的直角三角形，其直角顶点H在某个圆上，如下图：

取OQ中点E，以点E为圆心，OQ为直径作圆，现在再来看题目要求的线段OH，在圆E中是弦，而圆内最长的弦是直径，于是OH最长时，长度即直径OQ=√10，所以线段OH长度最大值是√10.

解题思考

2024年武汉各区的二次函数压轴题，典型特征是抛物线背景下的动点、动线问题，因此需要设参后进行推导，推导依据包括直线与抛物线相交，直线与直线相交需联立方程，判断交点个数用判别式，两根关系韦达定理等，在推导过程中，会出现选择用其中一个参数来表示另一个参数的情况，这也是学生最容易迷糊的地方，很多学生推导时表示方式错了，导致计算量非常大，甚至得不到相应的结果，出现恒等式，而选择表示谁需要认真阅读题目条件和结论，知道解题方向，在正确理解题意的前提下，才不会搞错“码头”；

对于直线过定点的解读，也是学生思考中的另一个难点，虽然在平时练习中我们讲过不少此类习题，但仍然存在部分学生，得到解析式后，没有朝这个方向去思考，而教学中要解决这个问题，靠增大练习量是不够的，重复训练得到的只是条件反射，而不是思考力的提升；

对于题目中的圆，首先要观察到定点Q，然后是定线段OQ，它的身份是直角三角形的斜边，需要借助我们曾经教材上的图例：

教材的这一处，并未提及共斜边的直角三角形，但我们在教学中，可以通过让学生作图观察，引导学生去发现这个结论，当然仅仅是发现还不够，在课堂上，还可以用相应的习题去强化它，按学生认知螺旋上升的原则，在后续教学中，不断重现，从而将其内化为学生的思维。