特鲁谢瓷砖：从组合数学的图形处理到密铺的法则

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

1704 年，法国神父塞巴斯蒂安·特鲁谢发表了一篇题为 “关于组合的备忘录”（Mémoire sur les Combinaisons）的短文，研究了一组正方形瓷砖的可行图案，每块瓷砖都被对角分割成两个彩色三角形（特鲁谢，1704 年；莱曼，2009 年）（图 1）。他研究了 “组合数学的图形处理”，这在当时的数学界基本上是革命性的（Smith 和 Boucher，1987 年）。1987 年，C.S. Smith 发表了《塞巴斯蒂安·特鲁谢的密铺模式和结构层次拓扑学》一文，分析了特鲁谢的密铺模式，并提出了现在公认的特鲁谢原始密铺模式的变体（Smith 和 Boucher，1987 年）。在这一变体中，史密斯在对角线上使用了弧线，取代了特鲁谢原始拼块中的两个三角形。每个四分之一圆弧的中点都将正方形拼块的边缘一分为二，这样当拼块相邻排列时，圆弧就会相遇，形成一组相连的圆弧（图 2）。拼块的旋转特性允许多种拼块排列方式。本研究利用史密斯对特鲁谢拼块的变体（以下称为“特鲁谢拼块”）作为特鲁谢拼块法则的基础。

图1：塞巴斯蒂安·特鲁谢的原始拼块：a特鲁谢的双色拼块，b两块拼块的可能组合，c 拼块图案示例。拼块重绘自（Smith 和 Boucher，1987 年）

图2：C.S. Smith 的 “特鲁谢拼块”：（a）特鲁谢拼块，（b）两块拼块的可能组合，（c）拼块图案示例。拼块重绘自（Smith 和 Boucher，1987 年）

组合数学的图形处理和形状法则

特鲁谢之所以希望探索组合问题的视觉方面，是因为他观察了一堆有对角线分割的瓷砖，并想象如何用一块瓷砖实现各种视觉上悦目的图案。史密斯指出，虽然特鲁谢在他的论文中计算的所有关系都可以用简单的组合数学来表示，但视觉展示对许多人来说更有意义，它捕捉到了艺术家使用的一些规则，“无论他们是否意识到这些规则”（史密斯和鲍彻，1987 年）。特鲁谢的兴趣在于使用可视化表示来计算可能的瓷砖排列，然后将这些空间关系作为生成瓷砖图案系列的基础，这与形状法则论述的雄心壮志不谋而合。本研究利用这种共同的兴趣，研究形状法则如何使我们对特鲁切瓷砖及其在设计中的可能应用的理解正规化并加以扩展。在史密斯对特鲁谢拼块的拓扑学研究（史密斯和鲍彻，1987年）的基础上，本研究使用形状规则来设计特鲁谢拼块的其他变体。

形状规则是形状法则的基本组成部分，而形状法则是对设计进行生成描述的最强大的形式主义之一（Stiny 和 Gips 1972; Stiny 1980a, 2006; Knight 1994）。形状规则的一般书写形式为 A→B，其中形状A（有时包含在规则应用的设计环境中）用形状B代替。形状法则是一组连续应用的形状规则，用于生成设计，形状规则中描述的视觉计算直接对点、线、平面和体积进行操作。斯坦尼（1977: 89-98）的冰射线法则展示了如何将形状法则应用于研究装饰格子设计的参数结构，以及具有可观察到的周期性或规则性结构的更简单图案，这与特鲁谢论文中的研究不谋而合。斯坦尼的简单格子图案和特鲁谢的组合拼贴系统的关键设计操作都是单个图案和单个拼块的方向，这为将特鲁谢的逻辑转化为基于规则的规范提供了一个起点。本研究采用形状法则生成特鲁谢拼块的变体，以描述二维和三维生成式拼块系统，从而完成了这项工作。请注意，在这种法则中，形状并不融合，而是被定义为“集合法则”，例如 Stiny 为幼儿园积木物理游戏定义的法则（Stiny 1980b）。

特鲁谢拼块法则

特鲁谢拼块法则由三套规则组成：（1）二维拼块规则；（2）二维图案规则；（3）三维拼块规则。根据设计意图，这些规则集可以单独使用，也可以按顺序连续使用。

二维拼块规则

第一套形状规则用于生成根植于特鲁谢拼块逻辑的二维拼块。虽然史密斯最初的“特鲁谢拼贴法”完全基于正方形，但其中的通用规则扩展了“特鲁谢拼贴法”的拼贴逻辑，纳入了其他可以拼贴平面的正多边形和不规则多边形，并引入了更多拼贴变化。法则以初始形状规则开始，该规则用于在笛卡尔平面上的多边形上放置标签。然后，由和运算和一般变换组成的形状规则被递归应用。生成的每块瓷砖都是一个封闭的形状，对角线上有弧线；弧线的程度由参数变量控制（中心点：（x0，y0）；半径：r0）。色域被用作权重（Knight，1989 年；Stiny，1992 年），以区分拼块的特定区域，在此阶段使用这一惯例来生成一对具有互补色域的反向拼块。这些权重随后将用于为法则中的三维拼块规则参数提供信息。图3展示了使用规则生成二维正方形特鲁谢拼块的推导示例。

图3：使用二维拼块规则产生正方形拼块的样本推导

二维图案规则

二维图案规则用于创建基本的贴砖配置，然后在基本图案中放置特定的瓷砖图案。根据特鲁谢拼块的性质，形状规则在生成二维拼块配置时利用了旋转和折射。这些规则同样利用权重和标签来指定方向，并区分使用前一组规则生成的两对拼块。二维图案规则可以由 x → x + t(x) 和 x → x + t (x‘) 两种模式定义，在这两种模式中，一个拼块的平移版本或一个拼块的平移和倒置版本会被复制到该拼块的邻近位置。图4显示了六种二维图案，它们是使用相同的二维密铺配置（如左图所示）生成的，其中不同的正方形特鲁谢拼块是使用上一组规则中的二维拼块规则生成的。

图4：采用不同二维特鲁谢拼块的二维拼块配置示例

三维拼块规则

三维拼块规则以各种方式将二维拼块转换为三维拼块。参数形状规则用于控制单个拼块不同区域的深度，这些区域之前已指定了颜色权重。生成的三维拼块可以以不同的图案和深度组合在一起，生成三维图案。图5显示了基于图4所示二维拼块配置的六种三维图案。图中的拼块是利用规则生成的，这些规则通过挤压将二维拼块转化为三维拼块。

图5：使用不同三维特鲁谢拼块的三维图案样本

结论

本文介绍的特鲁谢拼块法则是一个用于设计二维和三维拼块和图案的生成系统。在他的“组合学图形处理”中，特鲁谢定义了组合二维拼块生成各种抽象图案的视觉关系（史密斯和鲍彻，1987 年）。本文概述的特鲁谢拼块法则以特鲁谢的视觉符号为基础，同时定义了二维图案规则，并将其扩展到拼块几何、形状和三维方面的更多变化。图6举例说明了一些二维和三维拼块，以及使用该法则可以生成的图案。请注意，推导并不局限于这些示例。该法则为生成二维和三维拼块和图案提供了一个开放式框架。

图6：设计变化：a 二维拼块样本，b 二维图案样本，c 三维拼块样本

特鲁谢拼块法则适用于各种设计场景。该法则可用于设计和制造地板砖和墙板，例如Worre Foged和Scafdi（2022：101-110）设计的隔音板，只需一小部分独特的组件就能生成视觉上有趣且可定制的图案。另一方面，特鲁谢拼块法则的使用并不局限于设计建筑拼块和面板。正如莱昂内尔·马奇（Lionel March，2015：553-578）在《1960 年以来的数学与建筑》一书中所论述的，这类形式主义也可用于城市规划和空间设计。例如，最近由 Matsys 设计的概念瓷砖屋项目就在生成平面布局时使用了特鲁谢拼块逻辑。

会议期间，我们将介绍特鲁谢拼块逻辑的背景，详细介绍特鲁谢拼块法则，以及我们如何将特鲁谢的“组合”视觉符号转化为形状规则，举例说明潜在的使用案例，并讨论其局限性。

参考文献

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Stiny, George. (2006). Shape: Talking About Seeing and Doing. Cambridge, MA: MIT Press.

Stiny, George and Gips, James (1972). Shape Grammars and the Generative Specifcation of Painting and Sculpture. Paper presented at the Information Processing 71, Amsterdam: North-Holland

Truchet, Sebastian (1704) Mémoire sur les Combinaisons. Mémoires de l’Académie Royale des Sciences,

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Worre Foged, Isak, & Scafdi, Antonio. (2022). A Design and Fabrication Method for Hemp Based Acoustic Elements. In: Co-creating the Future: Inclusion in and through Design: Proceedings of the 40th Conference on Education and Research in Computer Aided Architectural Design in Europe 1: 101–110.

Natalie Walter, Heather Ligler, Benay Gürsoy, From Graphical Treatment of Combinatorics to Tiling Grammars

青山不改，绿水长流，在下告退。

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