函数y=cos(33x+3)^3的导数计算详细步骤

函数y=cos(33x+3)^3的导数计算

主要内容：

本文用链式求导法则、导数定义求导等方法，并利用正弦函数导数公式、重要极限公式，介绍计算函数y=cos(33x+3)^3导数的主要步骤。

主要步骤：

※.正弦函数导数公式法

y=cos(33x+3)^3，由函数y=cosu，u=x^3复合函数，根据链式求导法则，并利用正弦函数导数公式，即可计算出导数，即：

dy/dx=-sin(33x+3)^3*3(33x+3)^2*(33x+3)'=-99(33x+3)^2sin(33x+3)^3。

※.导数定义法

根据导数的定义，有：

dy/dx=lim(t→0){cos[33(x+t)+3]^3-cos(33x+3)^3}/t,

对分子由三角函数和差化积有：

dy/dx=lim(t→0)-2sin(1/2){[33(x+t)+3]^3+(33x+3)^3}sin(1/2){[33(x+t)+3]^3-(33x+3)^3}/t

=-2lim(t→0)sin(1/2){[33(x+t)+3]^3+(33x+3)^3}sin(33t/2){[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}/t，由立方差因式分解得到，

=-2lim(t→0)sin(1/2){[33(x+t)+3]^3+(33x+3)^3}*lim(t→0)sin(33t/2){[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}/t，极限分开求解，

=-2sin(1/2)[(33x+3)^3+(33x+3)^3]*lim(t→0)sin(33t/2){[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}/t，前者直接代入求极限，

=-2sin(33x+3)^3*

lim(t→0)(33/2){[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}sin{[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}/33t{[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}，

根据重要极限lim(t→0)sint/t=1进行变形，

=-sin(33x+3)^3*lim(t→0)33{[33(x+t)+3]^2+[33(x+t)+3](33x+3)+(33x+3)^2}，

=-sin(33x+3)^3*33*3*(33x+3)^2,

=-99(33x+3)^2sin(33x+3)^3。