代数推理求最值——2024年安徽省中考数学第23题

代数推理求最值

2024年安徽省中考数学第23题

学生在解无图几何题或函数题的时候，面临最大的考验就是能否迅速在大脑中构图，这种利用想像“作图”的技能在七年级我们开始学习数轴时，就能够进行针对性培养了。

在较为复杂的函数综合题中，无图确实造成了一定困难，原因有很多种，也许没必要给出函数图象，也许函数图象是动态的，但无论哪种原因，学生在解题时，都需要自已构建图形，先在大脑中生成，再落实到草稿纸上。

而2024年安徽省这道函数压轴题，不画函数图象也可以解，它更侧重于代数推理，辅以直观想像。代数推理作为数学教育的重要组成部分，长久来在培养学生逻辑思维和问题解决能力方面发挥着重要作用。随着时代的发展和教育的进步，代数推理在新课标中的地位和重要性愈发凸显。新课标明确指出，代数推理是数学学科核心素养的重要构成，是学生适应未来社会和个人发展所必需的数学基础知识和基本技能之一。

题目

已知抛物线y=-x²+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x²+2x的顶点横坐标大1.

(1)求b的值；

(2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x²+2x上，点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x²+bx上.

(i)若h=3t，且x1≥0，t>0，求h的值；

(ii)若x1=t-1，求h的最大值.

解析：

01

(1)抛物线对称轴即顶点横坐标，利用公式可列方程b/2-1=1，解得b=4;

02

(2)分别将点A、B坐标代入相应的函数解析式中，并将第一个式子代入第二个，推导如下：

(i)当h=3t时，上式变成

(ii)当x1=t-1时，上式变成

解题思考

在初中阶段，几何课程是发展推理能力的主要载体。但除了几何推理，2022年新课标还要求适当加强代数推理。

与几何课程相比，我国传统初中代数课程强调的是各种代数运算，以及基于运算方程、不等式、函数等概念及其应用，对代数推理(主要是演绎推理)的要求并不多。之所以造成这种现象，一方面是因为中学代数的本质特征是符号运算，而符号运算是数学学习的一个重要的基本功；另一方面是因为代数推理比较抽象与形式化，不像几何推理那样直观，对多数学生来说比较困难。

2022版新课标之所以对代数推理给予了足够的重视，至少有三个理由：一是代数推理比几何推理更为基本、纯粹，也有更多的应用，特别是高中阶段的数学学习需要借助大量的代数推理；二是加强代数推理有助于学生理解代数及其运算的意义；三是小学阶段对符号意识与推理意识的培养为初中阶段的代数推理提供了一些准备。

——《2022版新课标解读》

回到本题第2小题第1问，我们可分别作出这两条抛物线，其中点A与点B存在一种对应关系，当点A在y=-x²+2x上时，对应的点B也在y=-x²+4x上，这两条抛物线的顶点分别是(1,1)和(2,4)，因此我们也可以将其看作是抛物线y=-x²+2x向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到抛物线y=-x²+4x，如下图：

由于t和x1均为正数，因此我们只用观察y轴右侧的图象，我们分别过点A、B向坐标轴作垂线，构造出Rt△ABC，当点A在抛物线上运动时，这个三角形也随之在两条抛物线之间滑动，并且保持形状大小不变；

由于点A是抛物线上任意一点，平移变换中它的对应点就是点B，上图中的向量OP指明了平移方向和距离。

可以发现，整个解题过程中，将点A、B坐标分别代入各自的解析式中，再联立得到方程，这个方程描述了点A横坐标x1、参数t和h之间的关系，当给定其中任意一对量的关系之后，利用代入法“消元”，剩下的两个量自然就形成了新的函数关系或新的方程，再分别去求解即可。