新定义“α可及点”——2024年北京中考数学第28题

新定义“α可及点”

2024年北京中考数学第28题

每次解新定义压轴题，都会完整经历一次数学概念的生成到应用全过程，这通常也是数学学习的常态。整个数学学习就是由无数个这样的过程构成，初中阶段，学生通过学习初中数学知识，从而学会学习数学，这也是对能力上的要求，用现在最时新的话，叫核心素养。

2024年的“α可及点”，与2023年的“关联点”相比，还是有较大不同，理解过程中需要构造的圆比较多，因此我们有必要对圆的概念进行加强。在解这道题的过程中，尤其是最后一问，直接写出答案，对于学霸而言，凭数感和直观可以秒出结论，但作为老师讲给普通学生，则需要剖析每一步的依据，引导学生去理解学霸们的思维，乃至成为学霸。

对于圆的定义，不再重复，我们需要理解的是圆的各向同性，即在各个方向上性质是相同的，初中阶段也称旋转对称性，这种旋转不变性来源于定义， 即“一中同长”，当我们用圆规或其它工具画一个圆的时候，实质上也是在体验它的旋转对称性。

题目

解析：

01

(1)我们依然首先来理解题目中描述的这段定义，圆O的弦AB，点C关于直线AB的对称点C'，∠ACB=α；

对于圆内的一条弦，我们重点关注它的长度，因为在圆中，最长的弦是直径，即它的数量存在一个上限；

点C与点C'，按定义中的描述，我们关注的是点C'的位置，它必须在圆O上或在圆O内部，这也是我们判断是否“α可及点”的依据；

∠ACB=α，这个角的顶点在C点，两边经过弦AB的两端点，这很重要！

为方便理解，题目给出了特殊条件下的“α可及点”；

①按定义作图如下：

显然只有C2是“α可及点”；

然后我们连接AC2和BC2，根据这三个点的坐标可判断△ABC2是一个等腰直角三角形，如下图：

于是α=45°；

②对于弦AB的“90°可及点”，点D位置非常重要，它需满足两个条件，一是它的对称点D'在圆O上或圆O内，二是∠ADB=90°；

对于第一个条件，我们用逆向思维，若要使点D关于直线AB的对称点在圆O上或圆O内，则可将圆O关于直线AB对称，得到圆P，它在圆O外的部分即点D可能存在的位置，如下图：

对于第二个条件，∠ACB=90°，我们可联想在某个圆中，直径所对的圆周角是直角，于是想到构造出这个以AB为直径的圆，如下图：

这个圆在绿色区域内的部分，即为点D可能存在的位置，图中的半圆AB；

接下来我们需要在半圆AB上寻找一个横坐标最大的点D，不妨找到AB中点F，它是半圆AB的圆心，此时OA是圆F的一条弦，半圆上距离弦OA最远的点，一定在垂直于弦OA的直径上，我们作出这条直径，如下图：

很显然△AOB是等腰直角三角形，于是△AFH也是等腰直角三角形，由于F是AB中点，于是FH是△AOB中位线，求得FH=1/2，而FG=FB=√2/2，故GH=1/2+√2/2，即点D的横坐标最大值是1/2+√2/2;

02

(2)作图之前，先明确弦MN的位置，它是圆O内任意一条弦，由旋转对称性，圆心距为某个值的弦MN性质完全一样，因此MN的多样性取决于圆心距，所以对于MN长度，我们目前知道最大值是2即可；

第一步：以MN为对称轴，作圆O的对称圆O'，如下图：

图中蓝色部分关于直线MN的对称点一定在圆O上或圆O内部；

第二步，确定α角，继续按定义寻找点P，由于它是“60°可及点”，即要求∠MPN=60°，结合上一问的结果，我们可作MN的垂直平分线，并在这条线上取点E，使∠MEN=120°，再以E为圆心，ME为半径作圆E，此时圆E在蓝色区域内的部分上，任意一点为顶点，两边经过M、N的圆周角，都等于60°，如下图：

我们只保留圆E在蓝色区域内的部分，隐藏其余线条以方便分析，特别强调一点，若E与O'重合，是临界点，当点O'在线段OE上，则找不到相应的点P，即OE≤OO'，这是寻找点P过程中的一个非常重要的条件，如下图：

基于以上条件，我们重点观察蓝色的优弧MN，如下图：

第三步，探究点P到原点的距离，当弦MN绕圆心O旋转时，优弧MN扫过的区域是一个圆环，如下图：

上图圆环中所有的点都有可能是点P，接下来我们要考虑的问题是，这个圆环内径为1，外径可能是多少呢？

不妨将M、N中的某个点放在特殊位置，例如点N放在(1,0)处，再连接FM、FN，可得等边△FMN，为方便理解点F的最值，我们在x轴下方再构造以ON为边的等边三角形，如下图：

显然点C在圆O上，我们很容易找到其中的△ONF≌△CNM，则OF=CM，而CM作为圆O中的一条弦，最长为2；

此时OF最大值为2，点E与点O'也重合，至此我们确定了圆环的外径最大为2；

第四步，寻找临界P点，我们现在可以作出点P所在的圆环，以及直线y=√3x-√3，如下图：

总共四个临界点，P1,P2,P3,P4，注意由于M、N不能重合，于是点P不在内圆O上，要写范围的时候要细心，然后我们来分别求这四个点的横坐标；

点P横坐标为t，纵坐标为√3t-√3，P1、P4在半径为2的圆O上，则它到原点的距离为2，即t²+(√3t-√3)²=4，解得t=(3±√13)/4；P2、P3在半径为1的圆O上，则它的原点的距离为1，即t²+(√3t-√3)²=1，解得t=1或1/2，现在我们可以写出P的横坐标t的取值范围了，(3-√13)/4≤t<1/2，1

解题思考

从解题角度来看，本题难点在第2问，即MN为圆O内任意弦的时候，无法确定它的位置，但考虑到圆的旋转对称性，使我们可以让MN先位于某个特殊位置，求解后推广到一般的情况，这也给学有余力的学生“秒杀”的可能，但对于多数学生来讲，理解学霸们的解法还是有一定困难的，在网上找到了很多关于本题第2问的解法，都没有说清楚为什么点P离原点最远距离是2，因此在本题解析中，用了较多篇幅来详细说明这一问题。

本题中涉及到的圆比较多，尤其是确定α的时候，对定弦定角要非常熟悉，新定义“α可及点”中的对称，实质上是限制点P可能的位置，要与取值范围联系起来，将这些因素综合起来，如下图：

理解这道题的过程中，关键在于突破定义中对点P的各种限制，第1问中的特殊位置的弦AB，实际上也可以在第2问中使用，并不影响结果，理由就是圆的旋转对称性，一旦理解上突破了，本题就显得很简单了。

以学生的理解能力作为本题区分度，这道题十分优秀，通常情况下，多数中等生的思维遇到障碍，就是限制条件较多，且环环相扣，脑中的思绪稍一混乱，整个逻辑就错了。这也要求我们在平时的概念教学中，注重概念的生成以及发散，不拘泥于教材上有限的例题和习题，2024年人教版新教材，其实给了一线教师足够的拓展空间，只要认真研读新课标和新教材，在课堂上让学生充分发展，这一类综合题解决起来才会容易。