命运的数学密码

作者：老喻在加

来源：孤独大脑（ID：lonelybrain）

01

让我们来做一个好玩儿的游戏：

如上图，有蓝色、紫色、橙色三个球，分别处在一个斜坡的不同位置。

游戏规则：三个球从各自所在的位置出发，从斜坡上滚下来，最先滚到右侧的获胜。

请问：你选择哪一个？

直觉上，橙色的球在最下方，离目的地最近，当然应该选它了。

正确答案是：三个球滚下来的时间是一样的。

这其中，似乎有个隐喻：

先跑的人未必早到，早起的鸟未必先吃到虫。

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02

本文开头的那个斜坡，是一条等时曲线。

如上图，三颗球受重力影响从不同位置出发，沿着等时曲线下滑时，滑落到曲线底部所耗费的时间是一样的。

荷兰数学家、天文学家暨物理学家惠更斯，最早在1673年发现了这个秘密。

但这时，他还不知道，等时曲线，同时也是最速降线。

“最速降线”这一问题的最早提出，来自伽利略。

他想，当一个球从同一个高度的斜坡滚下来，什么样的坡滚得最快呢？

如上图，看似上面的直线距离最近，但却不是最快路线。

伽利略自己猜测，最快路线应该是个圆弧。其实并非如此。

伯努利家族的约翰.伯努利解决了这个问题，他还广发英雄帖，召集天下聪明人论剑“最速降线”，其中尤其点名了牛顿。

包括牛顿在内的几位大侠解出了难题。

有趣的是，人们发现，原来，“最速降线”就是“等时曲线”。

03

正如当年惠更斯所研究的，这类曲线其实是一种摆线，如下图：

当一个圆沿着一条直线滚动时，圆周上某一定点所形成的轨迹。

想象一下，圆上的黑点是只小蚂蚁，摆线就是小蚂蚁在圆滚动时所经历的曲线。

同样是伽利略，在没有微积分的情况下，徒手算出了摆线下方一个拱形的面积：

如何徒手？伽利略剪出了一个完整的摆线拱形，称了它的重量，然后与生成它的圆的面积作比较。

他由此得出结论：摆线的面积大约是生成它的圆面积的3倍。

这一方法的灵感，来自浴缸里的阿基米德：把体积（或面积）与重量联系起来。

后来数学家罗贝瓦尔算出，摆线拱形的面积，正是3个圆形的面积。

那么，一个摆线拱形的弧长是多少呢？

数学家及建筑师雷恩发现，是8r，也就是拱形高度2r的4倍。

雷恩参与了圣保罗大教堂重建设计，死后葬于斯地。墓碑上刻有这样的拉丁语:Si monumentum requiris，circumspice。意思是：欲寻纪念碑，请看你周围。

04

说回“最速降线”。

当我们把上面的摆线倒过来，就得到了下图：

看上图的左半截，从O到到最低点K，就是一个“最速降线”。

这类曲线有两个特点：

1、球从O滚到K的时间最短，正是伽利略要找的；

2、球从O点、或M点和N点滚到最低点K的时间都是一样的。

那么，时间是多少呢？如下：

这里面r是摆线拱高的一半，也就是形成摆线的那个滚动圆形的半径。

• g是牛顿老师的重力加速度，即地表自由落体运动的加速度，为9.8 m/s²。

• π 是著名的圆周率。

π，是人类理解宇宙最重要的常数之一。

这意味着，球从初始位置 M 下降到摆线槽最低点 K 所用的时间是一个常值，与初始位置无关。

仔细想想看，我们各自的命运，似乎也是个常数。

人生无常，命运如常。

05

一个人的命运是天生注定的吗？

貌似如此。

不然为什么文艺作品里，总是把“改命”作为长久的主题。

不管是童话，还是武侠片，还是迪斯尼或皮克斯的动画，或是宫廷戏，网络爽文，关键词都是：改命。

这说明了一件事儿：改变命运很难。

缺什么就吆喝什么，对个人而言如此，商家更是如此。

商家吆喝的东西全都是现实中很难实现的。

说起来，最让人感慨“命运如常”的公式，可能还是“大数定律”。

又是伯努利家族。雅各布·伯努利，于1713年完成了大数定律的证明。

人们对概率的理解如此“晚熟”，令人意外，说明我们对不确定性的理解和研究都非常稚嫩。

《数学之书》写道：骰子原本是用有蹄动物的踝骨所制，是古代产生随机数的方法之一。

许多古文明都相信骰子掷出后的结果是由天神掌控，因此，就把骰子当成重大事件的决定工具，不论是挑选统治者或者是继承遗产的分配方式。

直到今天，相信骰子、占卦的人还是为数众多。

大数定律“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。

• 人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；

• 人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定

  性。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，亦即偶然之中包含着必然。

有趣的是，雅各布·伯努利对“大数定律”的批注：

“只要能持续不断地观察所有事件，直到地老天荒（最终的概率也因此倾向成为完美的固定常数），则世界上所有事物都会以固定的比发生，…… 就算发生让人最感到意外的事件，我们也会把这起事件认定为是一种……既定的宿命。”

比如说，假如你是一个骰子，假如你扔出一个1就中奖，你的一生就是不停扔骰子，那么你中奖的概率就是1/6，时间越长越接近这个数字，和你是否努力、手势是否高明、动作是否优雅，都毫无关系。

• 每一次扔骰子的结果很难预测，这是人生无常；

• 基于统计的得出某个数字的可能性，则符合大数定律，这是命运如常。

06

数学公式里既有“人生如常”的宿命论隐喻，也给出了“改命”的变量。

先看“等速曲线”的时间计算公式：

虽然上面的g和π是常数，但还是有一个与主体有关的变量“r”。

我们假设有两个r值不一样的“等速曲线”斜坡，一个是r1，一个是r2。图中r值为曲线高度一半。

每个斜坡上都有高、中、低三个高低不同的出发点。

根据“等速曲线”的时间计算公式，我们知道，圆球下降的时间变化仅取决于r，与球的初始位置无关。

所以，假如我们想让圆球下降更快，应该选r较小的斜坡。

而一旦选对了最速降线，到达目的地的时间其实和出发地（不包括直接在终点的）无关。

这是多么精确而生动的鸡汤式隐喻：赛道比赛马重要，选择比努力重要。

假如选择了正确的“最速降线”斜坡，后发者也可能先至。

而有些时候，我们的各种折腾各种努力，其实对改变命运而言是无济于事的。

当然，也只是“有时候”。

07

2010年，任正非在国外出差，他突然想给母亲打个电话，又怕母亲担心，就想着回去再打。

结果接到电话，母亲出门买菜，被车撞至重伤，不久便辞世了。

任正非说这是他一生中最大的憾事，从此以后，他都要在一个无法自拔的假设中煎熬着：

“如果8日上午我真给母亲打了电话，拖延她一两分钟出门，也许她就躲过了这场灾难……”

这是一个心碎的故事。

也许每个遭遇了如此飞来横祸的家庭，都有类似的“反事实假设”：要是他晚出门一分钟，要是她和邻居少聊几乎，会不会避开那场发生在一秒内的致命车祸？

2017年美国车祸死亡人数是37133人，2016年这个数字是37461。为什么这两个数字如此接近，好像死神也有KPI一样。

大数定律冷酷地依照系统，像扔骰子一样，得出一个稳定的数字。

这个数字，并不因为遇难者家属“如果......就好了”的伤感而改变。

一片森林出现火灾的次数，一个国家新生婴儿数量，一个地区晴朗的天数等等，这些重复出现的事件出现的次数，都会在一个稳定的区间内波动。

对个体而言，发生车祸是随机事件，但一个城市每年车祸数量则呈现相对稳定的结果。

大数定律像死神之手。

也有时候，像天使之手。

08

幸而，对于个体而言，也有与大数定律共舞的自身变量。就“最速降线”里的r。

打个比方吧，你自己就像一个骰子，扔出数字1你就中奖。根据概率，你的中奖机会是六分之一。

要改变中奖率，你没有办法改变大数定律，就只能改变自身的结构。

比如说，假如你变成了一个金字塔形状的骰子，就只有五个面，所以你扔出数字1的中奖概率，就提高到了1/5。

你如果把自己变成了硬币，其中一面是数字1，那么你获胜的概率就变成了二分之一。

09

说起改变自己的人生概率，和你分享一个特别触动我的传奇：关于高尔夫球手“老虎伍兹”改变自己挥杆姿势的故事。

一个顶尖球手，早就形成了自己的挥杆姿势，有些人一辈子都不会变。但是伍兹不这么想，在他赢得多次大满贯冠军之后，仍然主动改变挥杆姿势。

作出这个选择可谓相当艰难，为什么？因为球手在这个过程中，必须和原来的旧习惯抗衡，还要冒着成绩下滑的风险。

在人们质疑他的改变时，他说自己是：“先退后进，然后大踏步前进。”

假如你永远按照老的挥杆姿势，就像持续扔一个结构没有变化的骰子，很难有大的突破。

而老虎伍兹，在已经非常成功的基础上，依然勇敢改变自身概率，调整挥杆姿势，从底层重新构建自己的击球优势。

如果他不作改变，因为伤痛和年龄的限制，伍兹就很难再次回到巅峰。

就像我们刚才说的，从系统层面上，把自己变成了一个中奖概率更高的骰子。这种改变往往是痛苦的，但更是脱胎换骨的。

正因为伍兹面对人生有这样的勇气，所以他在经历了多次手术，遭遇了一系列人生低谷后，还能在43岁神奇般拿下美国大师赛，被称为“历史上最伟大的回归”。

10

英国作家白哲特说，生活是概率的大学校。

在这个学校里，我们每个人不应该甘心当一个被扔来扔去的骰子，被大数定律支配命运，而是要去努力探寻人生的概率。

• 人生无常，但我们仍然能够从中发现某些模式；

• 命运如常，但对个体而言最大的“常数”就是你自己。

当然，对于绝大多数人而言，改变自己，比改变常数π还难。

也许是因为，有些时候，我们并没有必要那么慌里慌张地为难自己。

前提是你选对了“最速降线”。

如此一来，起跑线远点儿、近点儿无所谓。

也没必要总和身边最富的比钱多，和最傻的比快乐，和最勤奋的比拼命。

我喜欢梁冬老师院子里的一幅字：

何事惊慌？

在那辆埃隆·马斯克送向太空的的特斯拉跑车上，屏幕醒目显示着：“Don’t Panic”（不要惊慌）

我想起2006年去德国，在慕尼黑街头看见一个跑得很慢的小车，车屁股后面有一行字：想超车你就超吧，反正我们还会在下一个红绿灯再见。

作者：孤独大脑（lonelybrain），可能是最烧脑的公众号。

THE END