大数法则 & 小数定律——解释科研、篮球、游戏和赌博中的一些现象

大数法则与小数定律[1] 01 什么是大数法则

在数学与统计学中，大数定律（英语：Law of large numbers）又称大数法则、大数律，是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望[2]。

大样本、大容量里延伸出来的规律和经验，才是有参考意义和预测价值的。

02 什么是小数定律

小数定律认为人类行为本身并不总是理性的，在不确定性情况下，人的思维过程会系统性地偏离理性法则而走捷径，人的思维定势、表象思维、外界环境等因素，会使人出现系统性偏见，采取并不理性的行为。大多数人在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背概率理论中的大数定律，而不由自主地使用“小数定律”，即滥用“典型事件”，忘记“基本概率”[3]。

小样本、小容量、不具备普遍性的研究中得出的结论和经验往往更容易极端、不正确。

03 随机事件的不可解释性

统计学中有几个比较常见、但容易被人的直觉遗忘的概念——「随机事件」就是其中之一！

「随机事件」：是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件。

拿扔硬币举例：在这个随机试验中，正面可能出现、可能不出现，概率为 50%，但在次数足够多的尝试过后，我们可以统计、线型拟合出——大样本容量下、足够多的次数下，正反面出现的概率各为50%。

随机事件有一个先天特点……嗯…——它是随机的，哈哈哈，不说废话——随机事件因为它的结果出现是随机的，因此是不可预测的；或者说对于他的预测是没有实际意义的，因为若干结果是等概率出现的。

随机事件因之于它的随机、它的不可预测常常被我们下意识的遗忘——所以我们总是在预测时受前面结果的影响、在统计时主动的位置找寻貌似合理的解释。

比如猜硬币的正反面：如果一个人连着出现了三次正面，那么很多人下一次的猜测总会有自己的理由。

❝ 理由 1 ：前面三次都是正面，那么这次也大概率是正面，我就猜正面。 理由 2 ：前面都出现三次正面了，这次不太可能是正面，我还猜反面。 理由 3 ：前面出现的任何情况都与后面的预测结果无关，随笔猜正面。 ❞

显然，三个解释看似都具有一定的合理性和逻辑性，也是可以说服一些人的（起码可以说服当时的自己）。但真正正确的，其实只有理由 3 ，因为随机事件本就不可预测、前后互不相干。

也给我们一个启发：「不是所有看似合理的、有逻辑的解释，都是正确的。不要为一些已然发生的事情寻找理由和借口，因为你总能找到，且总能说服一心寻找借口的你自己」。

04 生活事例 001 篮球比赛

在篮球比赛里，哪怕有球员手感爆棚 or 手感冰凉，他投下一个球的进球概率永远是 50%，这是一定一定不会变的！

至于球员因为状态的好坏，而使得我们以为他今天投篮进球概率的改变（可能高于 50% or 低于 50%），其实是一种错觉——一直都是 50%，高于或者低于，都是巧合！

002 文字排列

长度为 6 个字，在“可”“爱”两个字里寻机挑选其中一个，进行排列。

❝ 可爱可爱可爱 可可可爱爱爱 爱可可爱可爱 爱爱爱爱爱爱 可可可可可可 …… ❞

你觉得哪个出现的概率更大一些？我想很多人会选 1、2、3，因为里面两个字都出现了相同次数。

但其实，每一种排列组合出现的概率都是一样的 50%，没有哪个是更有可能、更大概率出现的！

因为他们前一个字的出现，并不会对后一个字产生影响，因为这是个随机事件。

003 比大小游戏（综合运用）

两个人比大小的游戏，拥有以下哪个条件的一方可以先胜出[4]。

❝ A：有钱、资本多 B：手热、运气好 C：聪明、会计算 D：没有获胜方 ❞

正确答案应该是哪个呢？不要直接看，好好运用上面的原理，思考片刻！真的会很有意思。

正确答案是：A

两个人玩极其简单的比大小游戏，除去没有意义的平局，那么只有两个结果——大 or 小！并且这两个结果出现的概率是相等的，同为 50%！

但我们一定一定要注意一点：随机事件的预测概率、实际概率、统计概率是有区别的（我自己取的几个名词，目的是方便陈述、方便理解）。

❝ 预测概率：只和结果的总个数和占比有关，并且前后没有相关性、互不影响。 「实际概率」：在小样本、有限次数内的呈现效果，并不符合预测概率和统计概率。扔硬币3次，可以是1正2反；可以是1反2正；更可以是3正；还可以是3反——每一种呈现结果，都不符合预测概率和统计概率中的 50%！ 统计概率：统计概率相当于是预测概率的科学、统计证实——足够大样本、大容量、多次数的重复下，统计概率的结果会与预测概率无限趋近、极限拟合。 ❞

所以两个人玩比大小游戏，当次数还不够多时——比如前 3、7、10、11 次，可能会出现各种各样的比赛结果，显然，一方连着小（输）11次的情况也是可能存在的。如果你的资本有限，就很难对冲掉出现连输 11 次的状况，然后双手插兜、两手空空，就直接遗憾出局了。而资本足够大的那一方，他可以对冲几乎所有的不利状况，哪怕他连输 11 次、连输 20 次，甚至更多，因为它有着足够的资本，所以他永远可以扛住。

你们明白为什么赌桌上，庄家常常是赢钱的那个吗！？就是因为专家有足够的资本，理论上来说可以进行足够多次数的博弈——直至出现统计概率 50%、在赌注不变的情况下，双方不输不赢。但很少有下注的人有庄家那样雄厚的资本——维持到两人可以持续足够多的局数，在某一局，就倒下了。

05 有什么作用

了解这两个统计学规律后，我们可以给生活带来一些改变：

❝ 001、未来的研究生、科研人员们，做实验前，一定要严谨对待样本容量的选取，用更科学的方法去计算和模拟，选择一个有可信度的大样本容量——让自己的结果更加的有意义。 002、我们去浏览文献和一些相关的说明时，一定要对它选取的范围和对象的广泛性保持“高敏感性”，一旦察觉到它的调查范围不合理、有特殊性，那么可以怀疑它的权威性。 003、不要尝试着忽视和否定已经存在很久的、很权威的、基于大数法则所发布的科学事实——它们可能太过平常、普通，导致我们毫不重视。 004、也不要尝试着计较和专注那些很新颖的、吸人眼球的、基于小数定律所发布的猜想和假说——它们或许让人眼前一亮、印象深刻，但猜想和假说终归不是金科玉律和真相——所以不值得过分关注。 ❞

我努力调用生活中听闻、经历过的事例，雕琢陈述的语言，希望我讲述的“大数法则”和“小数定律”，你们有所收获。

「References」：

[1]：概念引用自《思考 · 快与慢》

[2]：大数法则的解释，引用自”维基百科“

[3]：小数定律的解释，引用自“百度百科”

[4]：比大小事例改编自李笑来所著《财富自由之路》