一个简单的概率几何问题，竟与黎曼函数有着出人意料的联系

黎曼ζ函数在数论中占有重要地位，揭示了许多深刻的数学现象。一个令人着迷的问题是，它与一个看似简单的几何问题有着出人意料的联系：

假设你站在一个无限的网格平面上。你可以朝所有方向无限远地看去，但你不能透视网格点：如果某个网格点位于你的视线中，则该点被遮挡。你能看到多少比例的网格点呢？

这是一个非常有趣的问题，它不依赖于起始位置。我需要稍微解释一下这个问题，因为你可以看到无限多的点，也有无限多的点你看不到，那我们如何理解它们的比例呢？以及我们讨论的“网格”是什么意思呢？

关于网格，可以假设它们指的是整数点。这些点（x, y）位于平面上，其中x和y都是整数，可以（不失一般性）假设我们站在坐标系的原点（0,0）。

解释这个问题的最简单方式是举一个例子。所以假设你站在一个无限的网格上，并将你的位置设为原点（0, 0）。然后很明显，点（9, 4）从原点可见，没有其他点挡住视线。

另一方面，点（6, 2）是不可见的，因为点（3, 1）“挡在了路上”。

如果你仔细想想，你会发现这是因为这两个点都位于穿过（0, 0）的一条线上。因此，其中一个点必须是另一个点的（标量）倍数。换句话说：这两个坐标必须有大于1的公共因子。

也就是说，如果两个坐标的最大公约数大于1，那么该点从原点不可见。在数学术语中，我们写作gcd(x, y) > 1。这个小分析使我们能够稍微转变一下问题。

让我们在原点周围画一个边长为2r的正方形，并计算正方形内可见的点数。然后将这个数目除以正方形内的总点数，得到每个这样的数r的函数CP(r)。

我们可以清楚地定义C(r) = 正方形内互质数对的数量 / 正方形内的总点数。现在的问题是，随着r趋近于无穷大，CP(r)的极限是多少？

让我们创建一些Python代码来解决这个问题。

from tqdm import tqdm
import matplotlib.pyplot as plt
def is_coprime(x, y):
x, y = abs(x), abs(y)
for i in range(2, max(x, y) + 1):
if x % i == 0 and y % i == 0:
return False
return True
def CP(r):
visible = 0
for x in range(-r, r):
for y in range(-r, r):
if is_coprime(x, y):
visible += 1
return visible / (2*r)**2
r = 1000
print(f"\nThe fraction of visible points with r = {r} is about: {round(CP(r), 5)}\n")
print("Tracking convergence...")
history = []
for i in tqdm(range(1, 300)):
history.append(CP(i))
plt.plot(range(1, len(history)+1), history)
plt.show()

如果运行这段代码，你会看到两个输出。首先，它会print：

r = 1000时，可见点的比例约为：0.60798

其次，会得到一个收敛图的图像：

所以无论这个数字是多少，它都接近于0.6079。这个数字是对上述问题的一个近似答案，即当我们站在原点时，我们可以看到约60.79%的点。

通过稍微修改代码，可以得到一个象限内可见点的图：

注意，在垂直线上的点越多，相应的数字就越“质数”，点越少就越是合数。你能根据这幅图找出1到100之间的孪生素数吗？

概率方法

让我们从概率的角度来考虑这个问题。我们需要计算当r非常大时选择一个可见点的概率。我们该如何计算呢？ 随机选择一个可见点或等效地选择一个互质对P = (x, y)的概率与没有任何素数同时整除x和y的概率相同。

在这种情况下，实际上更容易计算这个事件的互补事件，即

我们选择的点不可见的概率是多少？

要使这种情况发生，我们需要一个质数同时整除x和y。质数p整除x的概率是1/p，因为在数轴上每隔p个数就有一个数能被p整除，质数p整除y的概率也是1/p。如果我们认为这些事件是独立的，那么p同时整除x和y的概率就是1/p²。

不同时整除x和y的概率是1-1/p²。由于这需要对所有素数都成立，因此没有任何素数同时整除x和y，因此点（x, y）可见的概率由乘积给出：

这可以用更紧凑的符号写成：

当展开这个乘积时，我们得到了一些形如1/m²的数的总和，但不是所有这样的数。

具体来说，我们得到一系列上述形式的数字，其中m是无平方因子的，意味着没有任何平方数可以整除m。等效地，m的质因数分解仅由不同的质数组成。此外，这些数字的符号（正或负）由m的质因数的数量决定：如果m的质因数数量是奇数，那么这个数字就是负数；如果质因数数量是偶数，则这个数字是正数。

这个函数被称为默比乌斯函数，用μ表示。从上面我们可以看到：

所以这个序列开始于

如果取这6个数字并将它们相加，将得到大约0.606。

但这个特殊的数字到底是什么？我们能找到一个封闭形式吗？

恰好，这个表达式正好等于1/ζ(2)，其中ζ是黎曼ζ函数。幸运的是，欧拉证明了ζ(2) = π²/6。综合这些信息，我们得到可见点的比例确切地为

黎曼ζ函数定义为

当s > 1时，这个函数由欧拉在17世纪广泛研究过。黎曼在一个世纪后研究了这个函数（黎曼ζ函数），但他是把它作为复数变量的函数来研究的，这样的研究揭示了这个函数的真正魅力和强大之处。

欧拉找到了ζ函数的一个美丽的乘积公式，这基本上是算术基本定理的一个版本。他发现

当s > 1时，如果我们将欧拉找到的ζ函数的乘积形式取倒数，并将s设定为2，就得到了1/ζ(2)的确切乘积表达式。

如果我们在三维空间中提出相同的问题会怎样？

通过类似的论证，可以显示，在三维网格中可见点的比例是1/ζ(3)。这个常数是数学中最神秘的数字之一！没有人能找到它的封闭形式表达，谁如果找到了，将会世界闻名。