当两位科学界大佬相约一起遛弯时，他们都聊些啥？

爱因斯坦和哥德尔，是当年在普林斯顿高等研究院里经常一块儿散步的一对忘年交。从 1940 年哥德尔正式受聘到普林斯顿高等研究院开始，一直到爱因斯坦生病去世的十几年间。爱因斯坦晚年时曾对经济学家奥斯卡·摩根斯坦（OskarMorgenstern）说，他自己的研究已经没有太大意义，每天还到高等研究院来，只是为了与哥德尔一起遛弯回家！

爱因斯坦和哥德尔

对公众而言，爱因斯坦的名字家喻户晓，但哥德尔却鲜为人知。哥德尔何许人也？对科学有些什么杰出的贡献，才会使得爱因斯坦如此推崇他？

库尔特·弗雷德里希·哥德尔（德语：Kurt Friedrich Gödel，1906—1978），是一个出生于奥匈帝国，后半生在美国度过的数学家，被人誉为亚里士多德之后最好的逻辑学家。

库尔特·弗雷德里希·哥德尔

哥德尔比爱因斯坦晚出生 27 年，在 1906 年，爱因斯坦发表 3 篇重要论文之“奇迹年”后的第二年，哥德尔才呱呱坠地。

哥德尔天分极高，从小是个数学神童，喜欢寻根究底地问问题，在 4 岁时就得了一个“为什么先生”的绰号。在维也纳大学时，他曾经修读过理论物理，研究过相对论，之后专攻逻辑学和集合论。他最重要的数学成果：哥德尔不完全性定理，是他在 25 岁（1931 年）紧接着博士论文之后完成的。

哥德尔不完全性定理包含两个定理：

（1）一个包含了算术的任意数学系统，不可能同时满足完备性和一致性；

（2）一个包含了算术的任意数学系统，不可能在这个系统内部来证明它的一致性。

让我们用通俗（不太严格）的说法来理解哥德尔不完全性定理，以及他的证明方式。

通俗而言，完备性指的是这个系统包括了所有它定义的对象，一致性指的是没有逻辑上的自相矛盾。所以，首先将两个定理翻译成通俗语言：

（1）一个算术系统，要么自相矛盾，要么总能得出一些无法包括于该系统中的结论；

（2）不可能在一个算术系统内部，证明此系统是不自相矛盾的。

哥德尔不完全性定理的数学证明过程十分复杂，但是该定理及其方法的核心思想，都是运用了“自指”（自我指涉）的概念，这个概念可以用著名的“理发师悖论”来说明。

某小镇上只有一个理发师，他将他的顾客群（系统）定义为“城中所有不给自己理发之人”。一天，当他想给自己理发时却发现“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发，他自己就属于“顾客”，就应该给自己理发；但如果他给自己理发，他自己就不属于“顾客”了，但他给自己理了发，又是顾客，到底自己算不算顾客？该不该给自己理发？

这逻辑似乎怎么也理不清楚，构成了“悖论”。

图源：pexles

这位理发师定义的“顾客系统”要么是自相矛盾的，要么是不完备的，因为“他自己”无法属于这个系统。完备性和一致性不可兼得，这就是哥德尔第一不完全性定理的含义。

进一步分析：如果我们想要证明这个“顾客系统”是自相矛盾的，就必须得将“他自己”加进去，加进去才发现自相矛盾，不加进去就不自相矛盾。而加了他自己后的系统，已经不是他原来（未曾考虑自己时）定义的系统。所以结论是，他不可能在他原来定义的系统内部，证明那个系统是自相矛盾的，这就是哥德尔第二不完全性定理的含义。

从以上分析可知，问题在于“包含自身”这种自指描述，例如，理发师“只为不给自己理发的人理发”，说谎者说“我正在说谎”，都是自指命题。哥德尔则模仿这些例子写出了一句话“这句话是不能证明的”。这种自指描述，被哥德尔用作他证明不完全性定理的重要工具。

“这句话是不能证明的”，如果你能证明这句话“对”，那你就得承认这句话是不能证明的，因此自相矛盾！如果你能证明这句话“不对”，你就得承认这句话是可以证明的，那么，你就无法证明它不对。

所以，结论是，一个算术逻辑系统中，必定有一些“既不能证实，也不能证伪”的命题。证实和证伪，正是在科学活动（科学哲学）中经常讨论的题目，人们自然而然地联想到，如何将哥德尔的不完全性定理用到科学上。

哥德尔不是莫名其妙地去证明不完全性定理的，他开始的目的是为了解决著名德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）于1900 年提出的“算术公理之相容性”。

大卫·希尔伯特

这个问题来源于希尔伯特的一个计划。他的目标是将整个数学体系严格公理化，成为建立在一套牢靠基础上的宏伟大厦。说到公理化，众所周知的欧几里得几何是我们心目中公理化的例子，但是数学家与我们的标准不同，希尔伯特就认为欧几里得的《几何原本》是不严格的公理体系，最初的 5 条基本公设有很多基于直观的假设，而不是基于用严格数学语言定义的基础上。因此，他另写了一部《几何基础》，重新定义几何，将几何学从一种具体模型上升为抽象的、完备而自洽的普遍理论。然后，希尔伯特认为，任何数学真理只要通过一代又一代人的努力，都能用逻辑的推理将其整合到这个数学公理大厦中。

希尔伯特认为算术公理系统是最简单的，因此，希尔伯特提出关于一个算术公理系统相容性的问题，希望能以严谨的方式来证明任意公理系统内的所有命题是彼此相容无矛盾的。换言之，希尔伯特将他的整个计划归结为在形式化的算术系统内部证明它的完备性、一致性和可判定性。

然而，哥德尔最后的结论粉碎了希尔伯特的梦想，证明希尔伯特的计划行不通，因为哥德尔证明了：包含了算术的数学整体（欧氏几何不包括算术系统）如果不自相矛盾的话，就一定是不完备的，一定有这么一些“无法证明它为真，也无法证明它为假”的命题存在。希尔伯特虽然遭受了打击，也不得不承认“不完备性定理对于数学和逻辑学上具有里程碑式的意义”。

人们认为哥德尔不完全性定理具有划时代意义，它的科学和哲学价值超过了数学领域，可以扩展到科学的各个方面，启发后人对哲学本质、世界基本问题的思考。美国《时代》杂志曾经评选出对 20 世纪思想产生重大影响的 100 人中，哥德尔被列为第四位。

不完全性定理表明“一致性与完备性不可兼得”，又使人们联想到量子物理中海森堡不确定性原理表述的“动量位置不能同时确定”的命题，于是有人认为这两个原理从哲学角度给出了人类能力发挥的极限。也有人进一步探究两个原理说法上的相似性，它们是否有深刻的内在联系？

当年爱因斯坦和哥德尔一起散步，是否会一起讨论上面提出的问题？目前好像没有确切的资料证实（或证伪）这点。

追溯搜寻一下历史记录：哥德尔是 1931 年发表不完全性定理，普林斯顿高等研究院于 1933 年建立于普林斯顿大学的校园里。爱因斯坦、哥德尔、外尔等都是当年受邀的第一批成员。爱因斯坦于 1933 年 10 月抵达普林斯顿后便一直待下去，哥德尔很快返回了欧洲，后来（1934—1935）又来访过。

这些零散的时间段，两人讨论过什么，我们不得而知，但高等研究院最初兴旺发达的是数学，哥德尔肯定做过有关不完全性定理的演讲，爱因斯坦也许对逻辑和数学不那么感兴趣，但也应该知晓这个定理在数学界掀起的轩然大波。1935年，爱因斯坦与两位同事发表的 EPR 论文中，提出量子物理的“完备性”问题（之前还提过“自洽性”的问题），其想法以及这些逻辑学中的名词，很有可能来自哥德尔的工作。

1940 年，哥德尔正式受聘于高等研究院，两人便开始经常一块儿散步并聊天。我没有查到他们聊天的记录中有直接谈到与量子物理及不完全性定理相关的内容，但从普林斯顿其他人的回忆中，能够悟出一点他们互相之间的思想影响。

美国物理学家约翰·惠勒从 1938 年开始成为普林斯顿大学物理系教授，与爱因斯坦交往频繁。不过，当时的哥德尔已经大名鼎鼎，又少与人交往。所以，对小其 5 岁，才 20 多岁的惠勒不会十分熟悉。

约翰·惠勒

算法理论专家格里高里·蔡廷（Gregory Chaitin）在他的书中曾有如下的描述：据说惠勒曾和两个学生一起去过哥德尔的办公室，想问他关于量子物理及不完全性定理之关系，哥德尔不喜欢这个问题，将他们“赶出”办公室。

物理学家杰里米·伯恩斯坦（Jeremy Bernstein）在提到过此事。不过大多数人认为拜访过程不是那么戏剧性的。据说当惠勒等问及此问题时，哥德尔转换了话题，要和他们讨论他正在研究的星系旋转的物理问题。

一年之后，某次小聚会中，哥德尔向惠勒等解释了他为何不愿谈论量子力学中的非决定论与数理逻辑之关系，因为他曾经和爱因斯坦讨论过很久，他不相信量子力学和非决定论。

爱因斯坦和哥德尔

不管几位前辈如何看待不完备性与不确定性的关系，基本上可以认为，这两个原理在哲学上勾画出了人类知识的疆界、认识的极限。至少给我们一点预警：有些东西，也许我们人类是永远不可能认识的。

在明白哥德尔不完全性定理之前，许多人有某种潜在的观念，认为任何科学理论都应该要有逻辑性、自洽性和完备性。

如今不完全性定理告诉我们：在同一个系统中，完备性和逻辑自洽不可兼得。也许可以如此理解，一个理论最后要求的完备性，不一定是包括在这个理论自身，而是存在于下一个更深层的理论中。

也就是说，正是因为一个理论中，完备性与一致性可能不相容，才提供了理论体系进一步发展的突破口。科学理论的发展只能是渐进的、分层次的，新理论也许可以超越旧的理论但却无法完全取代。

来源：《科学是什么》

作者：张天蓉

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