从时间膨胀到长度收缩——给高中生的狭义相对论（二）

作者：锁相（物理学博士，科研工作者）

上接：

我们已经了解到，相对论改变了人们对经典时空观中时间这一概念的认识，接下来我们讨论相对论对于空间这一概念的影响。

“给高中生的狭义相对论”系列文章是关于狭义相对论的科普，预设的读者是对物理感兴趣的高中毕业生，因此文章中将尽量不出现数学公式和过多的物理术语。部分必须出现的术语将在文章末尾的“名词解释”部分简单阐述。

我们再让玩具车从乘客身边开过。玩具车的头尾经过乘客时，乘客的钟分别给这两个事件计时。同样的，蚂蚁的钟也分别计时。根据之前提到的时间膨胀，t2-t1将会比t2’-t1’来得小。请注意我们举了一个与之前光反射截然相反的例子。在之前光反射的例子中，跟着蚂蚁一起移动的钟在玩具车的惯性系中空间位置不变，所以测出来的是本征时间，得到一个较小的时间差。而现在，本征时间钟所在的位置是下图中绿线所在位置，也就是说，本征时间存在于乘客所在的惯性系中了。所以，在现在的例子中，t2-t1是本征时间，也是可能有的最短时间。

图六：在此例中，因为绿线所在位置的钟代表本征时间，所以本征时间存在于乘客所在的惯性系。(说明：图标来自网络。为了画图和示意方便，图中比例不合常理。)

因为运动的相对性，乘客感觉到蚂蚁的运动速度等于蚂蚁感觉到乘客的运动速度。于是，乘客和蚂蚁对距离的判断可以通过时间间隔乘以运动速度得出，那么，乘客测量到的玩具车长度将小于蚂蚁测量到的玩具车长度。由于蚂蚁随着玩具车移动，蚂蚁测量到的长度是本征长度，也就是长度的最大可能值。简单地说，运动的尺子变短了。

如果说我们想要测量长度，那么我们需要一把尺子，之前的蚂蚁和乘客的相对运动让人头昏眼花，于是达成共识最好办法是在静止状态进行测量。我们将选择一个待测量物体在里面保持静止的惯性系，里面测量出来的物体长度被称为本征长度。在之前的例子中，只有乘客能测量到车厢的本征长度，只有蚂蚁能测量到玩具车的本征长度。这把尺子的定义不在乎什么技术手段，并且，根据光速不变原理，我们可以用光一秒内前进的距离作为定标的手段。一秒这个时间的确定，我们可以通过之前介绍的本征时间的方法来定义，在这里就不再详细介绍了。

狭义相对论对时空的影响可以简单地归纳为尺缩时延。具体的影响大小可以通过之前蚂蚁在玩具车中反射光波的方法给予定量计算。所需要的计算只是勾股定理和简单的高中数学，过程列在下图中，可以看到，考虑了相对论后，时间和长度变化的系数是

光速是3E8 米/秒，飞机的速度可以是500公里/小时，约为140米/秒，相应的相对论修正大约小于正常值10的-13次方。我们常说的纳米只是米的-9次方。所以在地球上较快的常见运动物体上，相对论效应非常非常小，这也就是我们的直觉与经典力学吻合的原因。

图七：公式中的c为光速，v为小车移动速度，L为镜子到探测器距离，Dt’为蚂蚁惯性系中事件发生时间间隔, Dt为乘客惯性系中事件发生的时间间隔。(说明：图标来自网络。为了画图和示意方便，图中的比例不合常理。)

时间膨胀与长度收缩的通用表达式可以通过洛伦兹公式给出。在经典力学中，一个坐标系到另一个坐标系的变换是伽利略变换。伽利略变换明显不适用于狭义相对论，因为在伽利略变换中，速度是没有上限的，并且时间膨胀与长度收缩也是跟伽利略变换矛盾的。为狭义相对论准备的数学工具叫洛伦兹变换，这是根据变换的线性性要求（不在此系列文章中介绍了）和四维空间间隔不变性要求（将在后续的“相对论中的因果关系”和“四维空间与E=mc2”两篇文章中介绍）所得到的。

下面的文章，我们进一步了解相对论中的时空观，考察的对象是相对论中的因果关系，我们看看时间旅行在物理世界里是否会发生，两个观测者之间何时会相互影响。

名词解释——给有兴趣深究的朋友们

伽利略变换

经典力学中从一个惯性系到另一个惯性系的坐标变换。在火车中，如果用地面坐标表示车厢内物体的坐标，只需要加上火车速度*时间（地坐标=火车坐标+火车速度*火车行驶时间，默认在时间为零时，地面坐标与火车坐标零点重叠）。这个变换还意味着，物体相对于火车的速度、物体相对于地面的速度，两者正好差一个火车速度，默认不同的惯性系共用一个绝对时间，一个物体的长度在不同惯性系中也有一个绝对长度。具体的表达式如下：

洛伦兹变换

满足在不同惯性系中光速不变的变换。速度不再是象伽利略变换中一样的简单叠加，否则速度将没有上限。这个变换中不存在绝对时间概念，时空是混合在一起的。洛伦兹变换的物理意义就是此系列文章所介绍的狭义相对论。具体的表达式如下：

公式符号说明：以上的公式中，x’, t’代表车厢中的坐标，x，t代表以地面为基准的坐标。当这两个坐标的零点重合时，定义t和t’都为零。火车沿着x方向以v的速度运动。