量子门、量子电路和量子的祖师爷们 | 量子计算群英会（五）

顾名思义，量子计算是“量子”加“计算”，是在量子物理的基础上发展起来的计算方法，是量子论众多应用领域之一。量子思想的历史始于1900年，远远早于上世纪80年代开始构思的量子计算。所以，使得量子计算具优越性的物理原理，多数是早期量子先驱们的功劳。因此，本文中我们首先回顾一下在“量子”诞生年代几位前辈们的卓越贡献，特别是与如今量子计算有关术语关联的工作，然后，简单介绍量子“计算”的基础：量子门和量子电路。也就是说，今天的主题，前者属于量子物理，后者才与计算有关。

01

早年量子先驱

量子物理不是一个人的功劳，它是数名科学家群体的产物，它是上世纪初最出色和最富激情的一代物理学家集体努力的成果，是由那片天空上闪亮的明星们共同创建的丰碑。先辈们作出的重大成果令世人刮目相看，他们作出成果的年龄更令我们汗颜！正是在这些成就的基础上，若干后起之秀将其与计算技术结合，才开拓了量子计算这片新天地。

回顾当年量子力学创建的历史，那是一段群星璀璨、人才辈出的年代。普朗克、爱因斯坦、玻尔、德布罗意、玻恩、薛定谔、泡利、海森堡、狄拉克、贝尔……，一个个闪光的名字！其中有开天辟地的老前辈，有思想深邃的大师，有初出茅庐的年轻学子，有奇思妙想的幻想者，也有埋头苦干的书呆子【1】……。

那一代物理人的共同特点中，最令人瞩目的是他们的年龄。看看当年那一批争奇斗艳，光彩夺目的科学明星们吧，当他们对量子力学作出重要贡献时，大多数是20-30岁的年龄。可以说，量子力学是一首少年英雄们谱成且奏响了一百多年的宏伟交响曲！

普朗克（德国）1900年提出量子概念时年龄最大，42岁；

爱因斯坦（德国）1905年用量子解释光电效应，26岁；

玻尔（丹麦）1913年结合量子概念提出原子结构理论，28岁；

德布罗意（法国）1923年提出德布罗意物质波，31岁；

海森堡（德国）1925年创立矩阵力学，1927年提出不确定性原理，24-26岁。

▲图1：量子早期先驱们作出重要成果时的年龄

几位先行者用量子概念解释了几个物理学实验方面的困难后，海森堡24岁建立的矩阵力学，第一次为量子建立了理论。然后，奥地利理论物理学家，时年37、8岁的薛定谔紧紧跟上，1925年建立了薛定谔方程。薛定谔方程是一种波动方程，能够在当时的多数情况下，为描述量子现象不确定性奠定了理论基础。这些理论逐渐与量子计算关联起来，因而也是量子计算的基础。例如：不确定性是量子系统及叠加态的内秉性质，是量子计算不同于经典计算的根源所在。

薛定谔的名言甚多，例如，广为人知的、又死又活的“薛定谔的猫”，比喻的量子叠加态，代表量子计算中量子位（量子比特）的本质；此外，爱因斯坦称之为“鬼魅般超距作用“的，量子计算中经常使用的“量子纠缠”，也是被薛定谔命名的。

薛定谔方程在低能非相对论的条件下，出奇地好用，解决了微观世界的许多物理难题。但它的不足之处是没有将狭义相对论包括在内。此外，也没有自动将电子自旋包括在方程中。完成这两项的是英国人狄拉克，狄拉克的风格是以精确和沉默寡言而著称。你听过“狄拉克单位”吗？它不是狄拉克在物理学中的创造，而是当年剑桥大学的同事们描述狄拉克时所开的善意的玩笑，因为他们将“1小时说一个字”定义为1个“狄拉克单位”，来描述狄拉克的少言寡语。狄拉克在1928年23岁时建立的狄拉克方程，自动包括了相对论和自旋，狄拉克为了解决从他的方程得到的负能量问题，提出了狄拉克海的假设，从而预言了正电子以及更进一步其它反粒子的存在。之后，这些粒子逐一被实验所证实，狄拉克的假设也成为量子电动力学和量子场论的基础。

狄拉克对科学许多方面贡献了若干项成果，有数学的、物理的、工程的，有方程、有符号、有预言，可谓不胜枚举。从简单的狄拉克δ函数，到狄拉克方程，无一不体现了他毕生追求的“数学美”。

狄拉克方程中包含的电子自旋，对理解量子计算非常重要，因为自旋就是“量子比特”的实现方式之一。25岁时提出原子物理中“泡利不相容原理”奥地利物理学家泡利，对自旋有深刻的理解。

泡利以言辞犀利、思想敏锐、习惯于挑剔著称，被玻尔誉为“物理学的良知”。他丝毫不给人留面子，即使是爱因斯坦，也对他“畏惧“三分。

据说泡利自己讲过他学生时代的一个故事，有一次在柏林大学听大神爱因斯坦讲相对论的报告，报告完毕，几个资深教授都暂时沉默不言，似乎正在互相猜测：谁应该提出第一个问题呢？突然，只见一个年轻学子站了起来说：“我觉得，爱因斯坦教授今天所讲的东西还不算太愚蠢！”这愣头愣脑的小伙子就是泡利。因此，十分有趣的是，据说每次爱因斯坦在演讲前，会自然地向观众席上观看，看看“鞭子”是否在场？

泡利对发现的学术问题尖刻地批评，对自己也一样地挑剔，毫不留情！还有值得赞赏的一点是：学生们在泡利面前不害怕问任何问题，也不必担心显得愚蠢，因为对泡利而言，所有的问题都是愚蠢的。

不过，太挑剔的泡利也曾使学生失去重大发现的机会，例如下面所述的发现自旋的故事。

泡利提出的不相容原理，已经与自旋的概念只差一步之遥。从他引入原子的的四个量子数来看，自旋概念已经呼之欲出，因为从四个量子数得到的谱线数目正好是原来理论预测数的两倍。这两倍（角量子数上的1/2）从何而来呢？一位来自德国的学生克罗尼格对这个研究课题产生了兴趣，试图对此问题给出答案。克罗尼格想，玻尔的原子模型类似于太阳系的行星：行星除了公转之外还有自转。如果原子模型中的角量子数l描述的是电子绕核转动的轨道角动量的话，那个额外加在角量子数上的1/2是否就描述了电子的“自转”呢？

克罗尼格迫不及待地将他的电子自旋的想法告诉泡利，泡利却冷冷地说“这确实很聪明，但是和现实毫无关系。”克罗尼格受到泡利如此强烈的反对，就放弃了自己的想法，也未写成论文发表。可是，仅仅半年之后，另外两个年轻物理学家乌伦贝克（George E. Uhlenbeck）和高斯密特（Samuel. A. Goudsmit）提出了同样的想法，并在导师埃伦费斯特支持下发表了文章。他们的文章得到了玻尔和爱因斯坦等人的好评。这令克罗尼格因失去了首先发现自旋的机会而颇感失望。

泡利反对将自旋理解为“自转”，这是正确的，不过仍然应该鼓励学生钻研下去，或先发表文章再寻求解释。泡利自己实际上一直都在努力思考自旋的数学模型。他开创性地使用了三个不对易的泡利矩阵作为自旋算子的群表述，并且引入了一个二元旋量波函数来表示电子两种不同的自旋态。

▲图2：泡利矩阵和泡利门

自旋的确有它的神秘之处，无论从物理意义、数学模型、实际应用上而言，都还有许多的谜底等待我们去研究、去揭穿。并且，自旋在实际应用上也神通广大，它解释了元素周期律的形成，光谱的精细结构，光子的偏振性，量子信息的纠缠等等。

泡利有关自旋的三个泡利矩阵【2】，在量子计算中有所应用，分别对应于三种量子门，如图2所示。

02

量子门

经典计算中有许多逻辑门：例如与门、或门、非门、与非门、或非门等等。每一种逻辑门完成一项简单的逻辑运算，但是它们的各种组合，便能够完成各种复杂的计算。量子计算中也有各种“量子门”，与经典逻辑门相对应。

比较经典门，量子门有如下不同之处：经典逻辑门的输入和输出是简单的比特（状态只是0或1），量子门输入和输出是可能状态有无穷多的量子比特。另一个区别是，量子门都是可逆的，经典门一般不可逆。

量子门可以有好几种描述方法，例如，在图3所示的5类单比特门中，就有4种表示方法：最上面是文字描述；第二层是矩阵描述；第三层是电路符号；最下面是布洛赫球面上矢量的变化。

简单解释一下矩阵描述及布洛赫球表示。量子门的作用是将Qubit从一个状态变成另一个状态。可以用2维矩阵代数的语言来描述叠加态（Qubit）的变化。量子比特是布洛赫球面上一个矢量，Qubit状态的演化，就是布洛赫球面上矢量的旋转。旋转是由用幺正（酉）矩阵表示的“量子门”引起的。矩阵（量子门）作用在矢量上，将Qubit的状态变成新的状态。许多Qubit、许多量子门连在一起，量子计算便如此一步一步进行下去。所有Qubit的最后状态，便是计算得到的最后结果。

▲图3：几种重要的单比特量子门

例如，最简单的量子门是量子非门（图3最左边的X门），类似于经典非门，实现0、1互换，量子非门实现 |0⟩→|1⟩或|1⟩→|0⟩ ，更为一般地说，实现如下变换：α|0⟩+β|1⟩→α|1⟩+β|0⟩。X门用矩阵X（泡利矩阵σX）表达，在布洛赫球面上，X门将|0⟩态矢量绕着x轴旋转了180度，最后到达|1⟩，从而实现状态翻转。此外还有相应的泡利Y门（σY）和泡利Z门（σZ）。

图3中从左边算到第4个，是H门也叫Hadamard门【3】，是一个非常重要的量子门。重要性是在于它的作用是使基态变成叠加态：|0⟩→α|0⟩+β|1⟩，这样才有可能进行量子计算。H门在创建叠加态方面发挥着关键作用，叠加态是量子计算的基石。其它的量子门作用在基态上，结果仍然是基态，只有H门产生叠加态。

阿达玛H门用法国数学家阿达玛（Hadamard， 1865－1963）的名字命名，阿达玛并不知晓量子计算，只是因为H门沿用了他定义的矩阵而已。

图3最右边是 S量子门，也叫相位门。相位门保留基态|0⟩，并且将|1⟩转换成 eiθ（乘）基态|1⟩。若 θ 等于π， 则此门化为泡利-Z门，如果旋转π/2，则是S门，如果旋转π/4，则是另外一种T门，图中未画出。因此，Z、S、T门都是特殊的相位门。

▲图4：多比特量子门

除了单比特量子门之外，还有多比特量子门，如双比特量子门。最简单的是CNOT，或称“受控非门”，它的输入是两个量子比特，一个控制比特和一个被控比特。如果控制比特量子态为 |1⟩ ，受控比特翻转，否则受控比特保持不变。双比特量子门的变换矩阵是4x4的，如图4中右上角CNOT门的矩阵。托弗利门有8个输入8个输出，变换矩阵是23x23的，如图4中右下角所示。

03

量子电路

量子计算机的运算在Qubit（量子比特）上进行，量子比特是微观世界的东西，但我们输入到量子计算机的信息以及对输出结果的测量，却只能在宏观世界完成。因此，量子计算机的输入和输出时仍然使用经典比特来表示。所以，整个量子计算过程可以用图5中的大框图来描述，大框图中标记为“量子计算机”的部分，看起来有点像经典计算机中的电路图，称其为量子电路【4】。

▲图5：量子电路框图

量子电路由量子比特和量子门组成。量子比特（位）是量子信息的基本单位，一般以叠加态的形式存在。另一方面，如上所述，量子门是作用于量子比特以执行特定转换的操作。

人们用量子电路说明量子门如何控制量子信息，从而实现量子计算。量子电路是用于量子计算的模型，是执行量子位状态的传送之路，但量子电路图只是貌似经典的电路图，实际上完全不同于传统电路，例如：实线并不一定是物理电缆。量子电路的目的只是定义事件的时间顺序：水平轴是时间，左边开始右边结束。量子门的时间顺序会对量子位的最终状态产生重大影响。图5的框图中，左边开始的水平线是量子比特，下面的双线代表经典比特，一般与测量相连。量子电路图对理解电路的逻辑运算有帮助，但并不是接线的方式。

类似经典电路，计算是一系列的量子门，但测量是经典电路没有的量子操作。图5的量子电路图，来自于IBM Quantum 模拟器【5】。

图6所示是一个简单的量子电路示意图。包括2个量子比特，两个量子门，以及两个测量。最下方的双线是经典比特的输入线，和测量后的结果输出线。

▲图6：简单量子电路，2个量子比特，两个量子门，两个测量

量子门的可逆性导致整个量子电路的可逆性，这是量子电路的特点之一。可逆性使得量子电路遵循一些特殊规则：一是只有时间顺序，一般没有回路（loop）；二是输入和输出的量子比特数目相等。另外，控制量子门可以完成某些简单却神奇的功能，例如最简单的CNOT门，即图6所示的电路，如果控制比特处于叠加态时，控制和受控比特之间就会发生量子纠缠，这是产生纠缠态的最简单量子电路，更多的控制门能表现更多的神奇功能。纠缠态对量子计算有什么用呢？如对纠缠的任何一个比特施加某种操作，相当于操作施加在了所有的纠缠的量子比特上。

04

量子计算机

最后说几句与量子计算未来发展有关的本人观点。有了量子电路，便能构成量子计算机了。那么，许多读者脑海中自然会产生一个问题：量子计算机将来是否会取代经典计算机呢？笔者的答案是不会。从图5所示的量子电路框图就能得出这个结论。量子计算有其优越性，但也有致命的弱点，量子计算机无法像经典计算机那样给出直接的答案，它的输入输出仍然需要通过经典方式来完成。

除此之外，经典计算机具有量子计算机难以达到的独特品质。例如，存储数据的能力，量子计算机的内存最多只能持续很短的时间（目前是几百微秒，也难以提高）。

量子计算机难以物理实现，特别是，要建造具有多个量子位的量子计算机极其困难。目前使用的超导等，需要保持在接近绝对零的温度，即 -270 摄氏度的数量级。因为量子计算在处理具有许多不同输入变量和复杂算法的复杂问题时的优越性，可以大大缩短计算的时间。因此未来更可能的前景是学术界和工业界研究人员将可能通过云服务来访问量子计算机，完成特殊要求的运算，这也是目前已经开始了的情况。

此外，量子计算的错误是量子系统的不确定性所固有的，本质上无法避免。需要化很大资本和人力来开发量子纠错的方法，最终也可能仍然难以消除误差。

最后的结论是：量子计算也许将在未来改变许多适合量子计算的行业，但难以如同现在的经典计算机（手机）那样“走进千家万户”。经典计算机将始终发挥作用，不会被量子计算机所取代。

参考资料：

【1】张天蓉.群星闪耀 量子物理史话[M].清华大学出版社，北京，2021，pp. 150，

【2】泡利矩阵：The Pauli spin matrices - The Feynman Lectures on Physics

【3】量子逻辑门-维基百科：

【4】量子电路-维基百科：

【5】IBM Quantum (2022). estimator primitive (Version x.y.z) [computer software].

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