小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2024-02

当月话题：

1、小数点有多古老？

2、心灵感应的拓扑学

3、数学中的“观察者问题”

作者：Tony Phillips教授 2024-3-26

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-3-27

1、小数点有多古老？

由格兰·范·布鲁梅伦（Glen Van Brummelen，加拿大西三一大学）撰写的《15世纪意大利的小数分数表示法和小数点》在2024年2月17日被《数学历史》（Historia Mathematica）杂志在线发表，并在两天后被《自然》杂志的新闻报道采用，其标题宣称“小数点比历史学家认为的还要早150年”。

在范·布鲁梅伦的论文之前，历史学家认为小数点的首次出现是在耶稣会德国天文学家克里斯托弗·克拉维乌斯（Christopher Clavius）于1593年发表的一张表格中。现在，我们从范·布鲁梅伦那里得知，它可以追溯到大约1440年由威尼斯数学家乔瓦尼·比安基尼（Giovanni Bianchini）编写的三角函数表中。比安基尼的表格已被克拉科夫的雅盖隆图书馆（Jagellonian Library）数字化；范·布鲁梅伦注意到的小数点位于第108页上。

为了提供一些背景信息，1478年出版的《特雷维索算术》（Treviso Arithmetic）（已知最早的印刷标有日期的算术书）没有这种记号的痕迹。

在下面，你可以看到比安基尼表的摘录。第一列给出用度（degree）和分（minute）表示的角。第二列给出相应的正切函数值乘以10000 [我的计算器给出 tan(68°) = 2.47508]。第三列，即出现小数点的那一列，给出对应于弧增加一分的增量。[由于21.2 = (25387 – 24751)/30等，这建立了度数和半度数之间的线性插值]。所以对于68°5'，表会给出24751 + 5×21.2 = 24857。我的计算器（乘以10000）给出24855。

雅盖隆图书馆手稿第108页的细节的副本

除了展示小数点的这一早期出现外，范·布鲁梅伦的论文还指出了15世纪初欧洲计算中的矛盾情况。当商人和银行家正在努力从罗马数字过渡到印度-阿拉伯符号，并选择最佳的长除法方式时，天文学家和数学家正在计算具有四到五个有效数字精度的三角函数表。

参考资料1

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086024000016/

https://www.nature.com/articles/d41586-024-00473-2

https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/476393/edition/577221/content

2、心灵感应的拓扑学

日本的一个团队利用图论的概念来研究我们的大脑与跟我们互动的人的大脑之间的同步方式。这项实验在《自然》科学报告（Nature Scientific Reports，2024年2月29日）文章《人际神经网络拓扑学在弱社会联系中的作用》中有所报道，主要关注跟陌生人互动与跟熟人互动之间的区别。来自早稻田大学的作者堀田悠人（Yuto Kurihara）、高桥彻（Toru Takahashi）和长尾里枝（Rieko Osu）解释说，每次实验都涉及一对参与者。总共有14对陌生人和13对熟人。每位参与者都戴着耳机和一个无线29通道脑电图（EEG）头套；他们背对背坐着；每个人控制一个电脑鼠标，点击时会产生双方都能听到的声音。他们被指示听一个由节拍器产生的八个等距音调序列，然后交替继续这个序列：参与者1，然后参与者2，然后参与者1，直到300次点击（每人150次），尽可能接近地匹配节拍器的敲击间隔（ITI，inter-tap interval）。

两个人并排坐着，轮流点击

实验设置。每位参与者轮流点击，以扩展由节拍器设定的“示范节奏”的音调序列。图片改编自堀田悠人、高桥彻和长尾里枝的《反相敲击时人际协调稳定性与脑电图同步关系》（Sci Rep 12, 6164 (2022)）一文的图1。

根据CC by 4.0协议使用

实验在四种条件下对每对参与者进行了测试，包括慢敲击（ITI = 0.5秒）和快敲击（ITI = 0.25秒）。脑电图记录被过滤成三种频段：低（θ）、中（α）和高（β）频率的波，分别进行分析。在每种情况下，一个58×58的矩阵用于脑间/脑内同步，每对监控的脑电图通道（总共有29 + 29 = 58个通道），包括来自同一参与者的通道对，都有一个矩阵元素。在处理消除背景效应后，如果通道之间的同步显著高于背景，则矩阵元素被简化为1，否则为0。这些数据用于构建一个图，58个通道每一个都有一个顶点，矩阵中1对应的通道对之间有链路。

A. 两个参与者的脑电波图。

B. 灰色和黑色方格的矩阵。所有黑色方格都在右下角的一半区域。

C. 二分图，每一半集中于一位参与者的大脑。

从脑电图到图。对于每个频率带和每组条件，58个通道的脑电图记录（A）之间的同步性被标准化并显示在一个由0和1组成的矩阵（B）中。在图（C）中，如果对应的矩阵元素为1，则表示通道的顶点通过边连接。图片改编自上述引文中的图2。根据CC by 4.0协议使用

研究团队报告称，在“快速点击”条件下，θ频带的图显示陌生人配对和熟人配对的表现之间存在显著差异。用于这种区分的图论标准是局部效率（local efficiency），首先在2001年《物理评论快报》（Physical Review Letters）的一篇论文中引入。这是一个特定顶点v处的局部效率的平均值，计算方法如下：查看v的邻居，它们形成一个子图Gᵥ。对于Gᵥ中的每对顶点，计算Gᵥ中最短路径长度的倒数。（请注意，当一个顶点到另一个顶点容易到达时，将会有短的路径，使得这个数字很大。）v处的局部效率是Gᵥ中所有顶点对的这种得数的平均值。全体的局部效率是所有顶点v的局部效率的平均值。

左边，一个顶点v₁位于星形中心，其他顶点通过辐条连接到v₁，并且只有两对以绿色连接。右边，一个类似的图形，但现在有五条边在不通过中心顶点的情况下连接邻居

顶点v处的局部效率衡量了当顶点v被删除时图中连接的弹性。这里在两种不同情况下计算。在每种情况下，v的邻居的子图Gᵥ以绿色显示。最短路径长度的倒数取平均值得出E(v₁)= 1/5，以及E(v₂)= 11/15

图片由Tony Phillips制作

在讨论章节，作者引用了先前的研究，即人际互动与较低脑电图频率活动之间的相关性。他们进一步评论说，跟陌生人互动，与跟熟人互动相比，是一种更新颖的体验，将需要更多的处理和保留。据我所知，为什么局部效率恰好应该是展示这种差异的标准，这个问题并没有得到解决。

参考资料2

https://www.nature.com/articles/s41598-024-55495-7

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.87.198701

3、数学中的“观察者问题”

爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel，加州大学伯克利分校）在2024年2月6日于艺术与理念研究所网站上发表了《数学，就像量子物理学一样，存在观察者问题》。弗伦克尔首先提醒我们，在量子世界中，不同的实验设置可能导致看似矛盾的结果，电子有时看起来像粒子，有时又像波。

这样的事情如何在数学中发生呢？答案在于我们进行的数学最终取决于我们选择的作为逻辑基础的公理，而且没有办法检查我们是否有一个完全令人满意的公理集。

弗伦克尔关注的是集合论，这个系统提供了数学的语言。它有自己的公理。我们大多数人目前使用的集合被称为ZFC（带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论，Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice），但有一小部分人（弗伦克尔估计为1%）拒绝其中一个公理：无穷公理。无穷公理断言自然数集1, 2, 3, ... 存在；正如弗伦克尔解释的那样，这比“对于每个自然数都有一个更大的数”的命题要强得多——在那里，你总是在谈论某个有限的数。接受自然数作为一个集合意味着可以有一个包含无限多个元素的集合，而一些“有限论者”（finitist）觉得这令人不安，拒绝这样做。（如果你停下来思考一下，这确实令人不安。）正如弗伦克尔解释的那样，哥德尔的第二不完全性定理意味着不可能知道无穷公理如何影响数学的完备性。

这为什么重要呢？结果发现，有一些关于有限集合的定理，没有无穷公理就无法证明。其中之一（见下文）是我们去年11月讨论的“鸡尾酒会定理”（Cocktail Party theorem）的加强泛化版本（参阅 ）。1977年，杰夫·帕里斯（Jeff Paris）和利奥·哈灵顿（Leo Harrington）证明了这是一个定理，但其证明本质上是使用了无穷公理。使用量子物理学的语言，在一个“设置”中，这个陈述是正确的，而在另一个“设置”中则是不可证明的。观察者是否为有限论者，会产生结果的差异。

r(3,3)

有争议的定理是加强版的有限拉姆齐定理（strengthened finite Ramsey theorem）。为了开始说明这个定理，我们先回到“鸡尾酒会定理”片刻。它基于有限拉姆齐定理的一个特例：假设N个点通过红蓝两色线两两连接。如果N足够大，那么任何这样的配置必须包括一个红色三角形或一个蓝色三角形。（在这个特例中，N=6就足够大了，这就是“鸡尾酒会定理”。）有限拉姆齐定理是关于集合的，但为了方便我们继续用几何对象来“可视化”它，这里的对象是k-单纯形（k-simplex）。一个0-单纯形是一个点（point），一个1-单纯形是一条线段（line segment），一个2-单纯形是一个三角形（triangle），一个3-单纯形是一个四面体（tetrahedron）。一般地，一个k-单纯形由k+1个顶点和所有由这些点的任意一对、三元组、四元组等张成的线段、三角形、四面体等组成。这些子单纯形被称为k-单纯形的面：0-面（顶点），1-面（边），2-面（三角形面），等等。对于定理的一般陈述，我们从三个数n, m和c，其中m≥n，以及一个我们称为K的N-单纯形开始。我首先用c种颜色之一给K的每个n-面着色。有限拉姆齐定理断言，如果N足够大，那么K有一个维度至少为m的面Y，其所有n-面都是同一颜色。（在“鸡尾酒会定理”的背景下，n=1且m=c=2。如果K至少有6个点，那么就有一个2-面，其所有1-面——解释为三角形的边——都是同一颜色。）

有限拉姆齐定理可以在不使用无穷公理的情况下证明。加强版本则不能。它涉及到将K的N+1个顶点与整数1, 2, ..., N+1相对应，并且除了Y可被要求其维数大于其顶点对应整数中最小的整数这一额外性质外，定理的说法与上面相同。

参考资料3

https://iai.tv/articles/math-like-quantum-physics-has-observer-problems-ed-frenkel-auid-2733

https://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

https://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/nov23/11-2023-media.html

全部参考资料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2024/

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086024000016/

https://www.nature.com/articles/d41586-024-00473-2

https://jbc.bj.uj.edu.pl/dlibra/publication/476393/edition/577221/content

https://www.nature.com/articles/s41598-024-55495-7

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.87.198701

https://iai.tv/articles/math-like-quantum-physics-has-observer-problems-ed-frenkel-auid-2733

https://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

https://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/nov23/11-2023-media.html

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