【线性代数】全书知识点最全梳理（下）

承接上篇内容，今天继续给大家梳理线性代数这门课各个单元的知识点。由于边幅原因，这次线代知识梳理分为上下两篇，上篇内容分为三节，涉及行列式与矩阵全部的定义，定理讲解。

04

矩阵的初等变换与线性方程组

4.1 矩阵的初等变换

4.2 矩阵之间的等价关系

4.3 初等变换与矩阵乘法的关系

4.4 矩阵的秩

4.5 线性方程组的多解

05

向量组的线性相关性

5.1 向量组及其线性组合

5.2 向量组的线性相关性

5.3 向量组的秩

结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．

5.4 线性方程组的解的结构

问题：什么是线性方程组的解的结构？
答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．

备注：
1）当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
2）下面的讨论都是假设线性方程组有解．

5.5 向量空间5.5.1 封闭的概念

定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合．

5.5.2 向量空间的概念

定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果
① 集合 V 非空，
② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭）
若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭）
那么就称集合 V 为向量空间．

5.5.3 子空间的概念

定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间．

5.5.4 向量空间的基的概念

06

相似矩阵与二次型

6.1 向量的内积、长度及正交性

6.1.1 向量的内积

6.1.2 向量的长度或范数

单位向量：长度为1的向量。

6.1.3 向量的正交性

向量正交：向量内积为0。

6.1.4 正交矩阵或正交阵

6.1.5 正交矩阵的性质

6.2 方阵的特征值与特征向量

6.2.1 正定矩阵/半正定矩阵

1）矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于等于零(>=0)。

2）矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零(>0)。

6.3 相似矩阵

6.4 对称矩阵的对角化

6.5 二次型及其它标准型

数学是一个美丽的学科，包括线性代数在内数学科目，她们包含的知识因为细致而繁多，因为缜密而精致，因为逻辑有解而显得结论简洁。今天给大家推荐一个数学竞赛，希望大家可以在2个小时竞赛的过程中感受到数学的思维之美。

竞赛介绍

为贯彻关于国家高新技术产业发展的重要指示精神，进一步明确“十四五”国家高新区的发展思路和重点任务，国家一级协会下属分会中国国际科技促进会物联网工作委员会，面向全国大学生举办“2024全国大学生高新技术竞赛—数学竞赛”。

报名方式

-扫描下方二维码进行报名-

或点击下方链接进行报名：

https://www.saikr.com/vse/49652?ces=Public

竞赛亮点

01

具有挑战性的赛题

大学的学习不应该仅仅停留在课堂学习与课后作业当中，一些优质的学科竞赛是各位同学见识更多可能性的机会。更具有挑战性的赛题，有助各位同学在准备竞赛的过程中提升自己，竞赛交流也可以帮助同学们拓宽学习视野。

02

备战数竞国赛

本次数学竞赛的竞赛形式、考试难度与全国大学生数学竞赛相似。对于有意参加下半年全国大学生数学竞赛的同学而言，可以在本次竞赛中早做准备，见识赛题难度、赛题题量。

03

检验考研数学复习状况

对于有意考研升学的学生而言，本次竞赛赛题是由名校教师参考教学大纲出题，在保证数学竞赛赛题少而精的特点同时，还可以充当考研学生在考研数学科目的模拟考试。

04

共享学习资料

竞赛特别设置学习资料下载处，其中各类与数学相关学习资料将不定时更新，学生报名后可自行添加。

竞赛奖励

本次竞赛分组别、分考场进行评奖，设立一、二、三等奖及优秀奖，获奖比例（根据实际参赛人数计算）：

一等奖：5%；

二等奖：15%；

三等奖：30%；

优秀奖：若干（成功参赛即可获得优秀奖）

-证书样图-

优秀指导教师：

根据指导报名竞赛的学生人数和学生获奖人数进行综合评定，评定合格的高校老师，颁发优秀指导教师荣誉证书。

优秀组织单位：

根据单位报名竞赛的学生人数和学生获奖人数进行综合评定，评定合格的单位，颁发优秀组织单位荣誉证书。

各院校(系)、学校社团均可申请优秀组织单位。

竞赛规则

（1）竞赛为个人赛，分为研究生组、本科生组、专科生组，报名时请根据个人实际情况选择组别参赛。（竞赛考题分为数学类和非数学类，报名时无须选择类别，考试时可直接选择想要参加类别的考场）

（2）竞赛题目来自竞赛资深专家、企事业单位实际应用场景应用题目。

（3）竞赛全程线上进行，需要提交电子版作品（手写图片拍照上传即可）。

（4）赛题将于竞赛开始时在竞赛官方主页以及竞赛报名网站上同时公布，分为数学类和非数学类两个组别，不邮寄书面题目。

竞赛须知

01

参赛对象

普通高等院校、高职院校、二级学院、独立学院、本、专科在校大学生及研究生均可报名参加，专业不限；其他社会人员也可以报名参赛。

02

时间安排

报名时间：即日起至2024年4月19日

竞赛时间：2024年4月20日10:00至12:00

联系方式

QQ：1451942322（陈老师）

微信：19822023476（陈老师）

竞赛交流2群：777424730

BONUS TIME

数学建模资料、视频讲解、历年赛题

后台回复 【校苑】领取

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