聊聊几何中档题的“伪证”

聊聊几何中档题的“伪证”

在每次网上阅卷的过程中，最不喜欢面对的是几何中档题，几乎每个学生都能动笔，并且证明方法也多，阅卷压力非常大，尤其是一些似是而非的证明书写，极易混淆视觉，通常我们称之为“伪证”。

“伪证”的特点，是看上去像是正常证明过程，例如全等三角形的判定，三个条件都写好了，也符合书写规范，然而细看之下，至少一个条件未经证明或书写错误，甚至三个条件全部是凑数，这种形式主义有害无益，若是阅卷老师稍不留神，就容易变成漏网之鱼，增添了这些学生的侥幸心理，让“伪证”市场又多了一个成功学案例。

案例一

如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C，求证：四边形ABCD是菱形.

先说正经思路：先证平行四边形，再证菱形。

按这个思路进行，则第一步很容易在题目中找到条件，即AE∥BF，DC∥AB，然后就可以进行下一步，证明其有一组邻边相等，由BD是角平分线，得到∠ABD=∠CBD，再由平行线间的一对内错角，∠CBD=∠ADB，完成等量转换，得到∠ABD=∠ADB，从而利用等角对等边，得到AB=AD，即完成了整个证明思路。

然而在阅卷过程中，我们却发现不少学生在使用全等三角形……

学生解一：证明△ABD≌△CDB，请注意这个对应关系，这还是正确的，然后得到AB=CD，AD=CB，继续利用角平分线和平行线，证明了AB=AD，然后得到了AB=AD=CD=CB，这并无问题，利用四条边相等的四边形是菱形；

学生解二：证明△ABD≌△CDB，然后得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

学生解三：证明△ABD≌△CBD，请注意对应关系，理由是两对内错角相等，再加公共边，然后就得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

学生解四：连接AC，证明两对全等，同样也得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

学生解五：由任意三个条件判断全等……

阅卷反思

证明一个四边形是菱形，可以走的路有很多，我们在特殊平行四边形章节复习时，会有这样一个思维导图：

看上去错综复杂，实质上，只有最左边红色思维线是最基础的，其余的思路都是基于它，这也是为什么两组对边平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，我们称之为定义，它们就是概念，其余的判定定理身份不同，是在概念基础上推导出来的较为快捷的证明方法。

在平时练习的过程中，无论师生，都会犯这样一种错误，认为新方法一定比旧方法省事、高效，至于定义，那是最原始的，最不好用。这种认知严重与新课标下的改革理念违背，初中数学，最重要的恰恰是最原始的概念，那些花团锦簇的判定定理、解题方法、模型套路，都生长在这个基础之上，哪怕是学霸思维，也是先用概念去理解题目条件，再去选择合适的解题方法，只不过这个思维过程快如闪电，外表看上去一眼就找到了答案。于是就有学生羡慕，然后模仿，但如果不得精髓，就是东施效颦，把一些侥幸得分的套路当作法宝，自封学霸。

在这个案例中，我们发现相当多的学生选择证明四条边相等的四边形是菱形，这个思路本没有错，但和正经思路相比，书写起来也便宜不了多少，甚至还不如它。在证明全等三角形的过程中，暴露的更多是形式主义，课堂上看到老师和同学们写的格式，以为那就是方法，然后题目也没细看，或者没看明白，随意凑三个条件写上去，就得到了全等。

案例二

四边形ABCD内接于圆O，AB=AD，AC是圆O的直径，过点A作MN∥BD

(1)如图1，求证：MN是圆O的切线；

(2)如图2，当AB=2√3，∠BAD=60°时，连接DO并延长，分别交AM，AB于点E，F，交圆O于点G，求图中阴影部分的面积.

我们分步骤来看

第一小问，正经思路是证明AC⊥MN，由于AC是直径，得到∠ABC=∠ADC=90°，再结合题目给的AB=AD，利用HL证明全等，于是BC=DC，从而得到AC是BD的垂直平分线，再MN∥BD，得到AC⊥MN；

多数学生采用的就是这种思路，因此得分率也较高，然而总会有几个另类。

学生解一：将AC，BD交点标为E点，由AB=AD，AE=AE，用HL证明△ABE≌△ADE，至于它们为什么是直角三角形，没证明，看上去像就是了；

学生解二：证明△ABC≌△ADC，这步没问题，再证明△ABE≌△ADE，然后得到∠BAE=∠DAE，在等腰△ABD中用三线合一证明AC⊥BD，再证明AC⊥MN，这一路走得甚为坎坷，但也总算成功抵达；

学生解三：由AB=AD，AC是直径，直接就得到了AC⊥BD，并且还很贴心地标注垂径定理……

阅卷反思

虽然学生在证明切线的时候，都想到了利用切线的判定定理，经过直径的外端，且垂直于直径的直线是圆的切线，但在证明垂直结论的时候花样百出，题目条件给出AB=AD，本身就是为了引导学生利用三线合一，但是必须证明它是角平分线、中线、高三者之一，说明学生在理解三线合一定理的时候，停留在了字面意思，忘记了定理背后的逻辑。

第二小问，正经思路很多，题目给出∠BAD=60°之后，首先得到等边△ABD，这是后面解法的基础，然后设法将阴影部分的面积表示成三角形面积减掉扇形面积即可。

在证明过程中，有一个关键结论，DF⊥AB，在阅卷过程中，多种方法都涉及到这个结论，用于构造含30°角的直角三角形，并利用其三边关系求边长，包括半径OA和线段AE，于是在如何得到DF⊥AB上，学生们“精彩纷呈”。

学生解一：由等边△ABD是圆内接三角形，直接得到点O是中心，即三心合一，但这并不是教材中的定理，只是我们在学习探索圆内接正多边形时的一个结论，所以使用这种未被纳入的定理，逻辑上跳跃性太大；

学生解二：由等边△ABD中，AC⊥BD，利用三线合一得到AC是BD垂直平分线，于是直接得到DF⊥AB……

学生解三：由等边三角形ABD，连接OB，由AD=BD，OA=OB得到DO是AB垂直平分线，这是比较聪明的思路，没问题；

学生解四：求出△ADE面积，然后减掉“扇形ADG”的面积，这显然是图形认知错误；

学生解五：由等边△ABD，直径DG，直接得到DG⊥AB……

学生解六：先证明等腰△ADE，再证明AE三线合一，殊不知，在证明等腰△ADE的过程中，求阴影部分面积的条件基本已具备，这属于多此一举了。

阅卷反思

在几何中档题里出现特殊图形，例如等边三角形，特殊直角三角形等，学生极容易用直观代替证明，用曾经解过的习题结论当作推导依据，若在平时，可能老师批改时会有所忽略，但这就留下了隐患，这在选择填空题，并不会有多大困扰，但这是需要书写规范过程的时候，所以逻辑上就出现了混乱。

若要纠正学生的这种答卷失误，需要在几何教学过程中严格要求，我们在七年级初次接触几何证明的时候，需要详细注明每一步的理由，这个习惯要养好，不要怕麻烦，当初偷的懒，现在都要还。

即使在更高年级学习几何证明，不再要求书写每一步的理由，也要设法创造场景让学生口述理由或思路，养成每步推理必有理的习惯。