抛物线背景下的矩形存在性——东湖高新区九年级数学第24题

抛物线背景下的矩形存在性——东湖高新区九年级数学第24题

关于矩形存在性的探究，在函数综合题中很常见，根据矩形本身的图形属性，我们已知其中两个顶点，求剩下的顶点，方法是“两垂一圆”，即分别以这两个顶点所连线段为边，或者为对角线，寻找另外两个顶点。

题目

解析：

01

(1)本小题方法很多，最快的方法是利用抛物线顶点式，设y=a(x-2)²+4，把(0,0)代入，求出a=-1，即y=-x²+4x；

02

(2)思考这样一个问题，经过O、E两点的抛物线，对称轴在哪？

所以很明显P、Q两点均在OE的垂直平分线上，抛物线C2甚至不需要画出来，然后再去作PQ的垂直平分线，如下图：

不妨设Q(2,n)，则M，N的纵坐标为n/2+2，可列方程-x²+4x=n/2+2，利用配方法解这个方程，得到M，N的横坐标，则MN长度可用含n的代数式表示，然后再表示出PQ的长度，四边形PMQN的面积可用对角线乘积的一半来求，推导如下：

现在可求出Q点坐标(2,20/9)，再利用顶点式设抛物线C2为y=a(x-2)²+20/9，代入(0,0)即可求出a=-5/9，最后得到抛物线C2的函数表达式为y=-5/9(x-2)²+20/9；

03

(3)先求出平移后的抛物线为y=-x²+2x+3，再分别求出A(0,3)和B(3,0)，得到直线AB的解析式为y=-x+3；

下面我们分情况讨论：

①当AB为矩形边长时，分别过点A、B作AB的垂线，与直线PH的交点即为点C，如下图：

过点A且垂直于AB的直线解析式为y=x+3，与PH的交点为C(2,5)，从点A到点C，横纵坐标分别加2，故点D坐标在点B的基础上，横纵坐标分别加2，得D(5,2)；

过点B且垂直于AB的直线解析式为y=x-3，与PH的交点为C(2,-1)，从点B到点C，横纵坐标分别减1，故点D坐标在点A的基础上，横纵坐标分别减1，得D(-1,2)；

②AB为矩形对角线时，我们找到线段AB的中点G，根据矩形对角线互相平分且相等，不妨设C(2,m)，两点距离公式求AB=3√2，则CG=3√2/2，可列方程求出m的值，如下图：

解题反思

本题函数味道稍弱，几何味道略强，由点坐标求线段长度，再由线段长度表示面积，本质上是几何属性，只不过这些量中都含参数，这个参数是由函数引起的。

矩形的存在性探究，已知两个顶点，需要从直观上去确定这个矩形的大致形状，即AB为边，或为对角线，由于AB本身位置的特殊性，△AOB是等腰直角三角形，所以利用几何图形性质同样可以得到结论，而不仅依靠于求直线解析式。

矩形存在性与直角三角形存在性本质上是一样的，所采用的分类方法及寻求顶点的方法一致。我们在AB为直角边时，分别取A和点B为直角顶点，以AB为斜边时在直线AB两侧各寻找到一个直角顶点，这又可以与圆联系起来，所以在作图时，我们通常会有两垂一圆的说法，这个圆即以AB为直径的圆，圆周上任何一点都可以构成以AB为斜边直角三角形。

这些事实，需要在教学中学生领悟，或者在教师引导下领悟，如果顺序反了，先告诉学生事实，然后通过练习去记忆，最后学生不会理解，更不会运用。