诺奖得主彭罗斯谈：数学规律的精度如何？是发现还是发明？

数学是利用符号语言准确地描述物理世界的数量、结构、变化以及空间的一门学科，是人类众多领域中不可或缺的一部分。数学规律的精度如何？是发现还是发明？这是数学家、物理学家、哲学家们一直在讨论的问题。

著名物理学家、数学家、科学哲学家、罗杰·彭罗斯，为广义相对论和宇宙论的数学物理学做出了不少贡献，特别因为发现“黑洞形成是一种广义相对论的可靠预测”，荣获的诺贝尔物理学奖。诺奖得主彭罗斯就有关这两个重要问题，接受记者专题采访，详细的予以回答。下面是采访择要。

记者：罗杰您好，数学让我一生都着迷，很高兴来到这里与您讨论数学的两个基本问题。数学具有难以置信的描述现实的能力。让我们从这个第一个问题开始。数学如何准确地描述物理世界的？

彭罗斯：所谓数学非常精确，指在不同领域中，我们对某些领域了解得更精确，而有的领域了解得少一些。但是人们常常感到困惑，因为我们认知的是：抽象数学确实描述了现实。

现实中如这个椅子之类的东西，你会说我们对这个是什么？有了最好的科学理解。

你说它是由纤维和细胞等组成，而这些由分子组成。这些分子由原子核和电子组成。什么是原子核呢？是质子和中子，被胶子粘合在一起，由夸克等物质制成。

在这个阶段，您所能做的最好的描述是一些数学结构，譬如说它们满足狄拉克方程之类的东西。如果没有数学就无法理解那是什么意思。

对现实的数学描述是我们永远被引导的方向，这些方程式非常精确，描述电子或夸克的狄拉克方程是一个非常精确的方程。例如，有一个计算描述它的磁矩，电子的行为就像小磁铁，磁铁的磁矩强度可以用其它参数来描述并进行计算，从而获得费曼的很好描述的准确性，费曼说这是可以的，其精确度相当于描述纽约和洛杉矶之间的距离的精度小于人发的厚度，所以这很准确。

记者：令人难以置信，它描述了关于电子和胶子组成的原子的微观结构。

彭罗斯：电子有专门针对电子运动的东西，称为自旋1/2粒子，不必担心蓝色的粒子会稍有不同。

记者：现在数学还可以描述普通物理世界或万有引力中的吸引力，是否具有相同的描述准确性？

彭罗斯：根据爱因斯坦理论的引力，牛顿理论已经具有大约十分之一到七分之一的精度。爱因斯坦理论引力那是百万分之一精度，其中一部分发现存在差异等。那就是你开始看到的地方，与牛顿方案的差异，然后爱因斯坦出现并产生了一种理论，该理论现在已知大约是10的14方分之一的精度。

这样精度用来衡量恒星围绕一个称为中子星的特殊类型的星体系统的精确度。这些恒星之一是所谓的脉冲星，它发出信号脉冲，这可能是时间，非常精确。在超过30年的时间里，一直在观察这个东西，并且在那个时间段内，这样的准确度与爱因斯坦理论一致，所以这些都是非常非常精确的东西。

记者：我们谈论的是超大实体中子星的结构，在引力作用下的宇宙中很远的距离。而电子的结构是如此微小。在这两种情况下，数学都能以令人难以置信的精度正确描述，这些都是精细的方程吗？

彭罗斯：是的，它们是相对精细的方程，它们很难理解。爱因斯坦的理论确实微妙，但并不复杂，可是必须了解弯曲空间这一想法才可以，而这并非易事。一旦达到那种程度，这是您可以用这种术语最简单地写下来的事情。

记者：所以，在中子星的宏观层面和电子性质的微观层面，我们用数学都具有非同寻常的精度，数学在这两种情况下都非常精确，那么现在开始告诉我们数学是什么？

彭罗斯：从某种意义上说，这是告诉我们，我们对物理现实的了解取决于某种意义上的事物，至少在我们对事物的理解上，它比那时的思考更为精确。这种精确度确实可以追溯到古希腊时代，毕达哥拉斯和后来的人们，将数学思想发展为物理现实，在某种程度上刺激了研究领域，因为欧几里得的几何学是在研究的数学的很大一部分。

然后我们知道不是非常精确，不像爱因斯坦的理论一样精确，因此必须超越几何学一点，得到了发展。数学方案纯属研究，因此数学被视为纯智力活动，但几何显然是与物理世界的结构有关。

但是，数字的性质、乘法、乘积、以及质数的概念、无限个质数等，可以追溯到欧几里得或更早。所有这些关于数字的东西是从希腊人时代开始发展起来的。从那时起，数学一直是一门学科，可以自己学习，在某种意义上具有自己的生命。

数学家以这种方式看待它，因为它似乎有一个独立于普通现实的存在，例如椅子之类的东西，这些东西我们通常认为是真实的。

数学的现实有所不同的是，它有时被称为柏拉图式的的现实，有时人们会以为这是真实的，对此有很多麻烦，我的意思是哲学家担心这一点，等等。

记者：柏拉图式的现实，这意味着是什么呢？

彭罗斯：我认为这对于现实世界的现实来说，是另一种现实。思维的方式有多种，可以从不同的角度看待现实，也可以体验我们的心理感知。

这可以与现实物理的现实相互关联，因此存在一个柏拉图式世界的数学现实，这些现实使这些概念成为现实。所以，如果您喜欢数学事实，那么它是独立于我们自己的东西，以某种方式成为现实。

记者：如果不是真实的话，没人会认为是真的。

彭罗斯：是的，从某种意义上说必须如此，因为物理世界如此精确地依赖于这些数学定律。如果没有它，在某种意义上来说，我不知道该做什么。

数学还没有存在，这个在世界就在那里。有人认为我们拥有良好的物理数学定律的原因，可能就是这是我们了解世界的最佳方式，但这不只是世界上真正存在的东西。

记者：那么数学是由我们发明的、是人类试图将我们的思维方式强加于物理世界上的，还是被发现的呢？因为它已经在那里，我们正在寻找它。这是两个极不相同的看法？

彭罗斯：有时人们确实会说，这只是我们对于所见事物的某种组织方式，但我真的认为这还不够好。例如牛顿，观测值大概到3个数字和3个小数位，他提出了自己的理论，并继续努力，看到的7个数字。

爱因斯坦从差异中产生了他的理论，带着那个吸引人的东西去了解伽利略知道的东西，等。但除此之外，并没有太多的经验证据，而提出了他的理论，其理论远远超出了当时观察所能告诉我们的，并且现在继续与观察保持一致。

所以这个理论，即如果您喜欢柏拉图式的绝对事物，而它是数学事物，似乎已经融入了世界运作的方式，就好像您并没有看到新的效果一样。我们甚至从未想到过一种更好的理论来容纳，有时科学就是这样。你在揭示某种方式，世界在那里一直运转，我不认为有任何一种理解方式，仅仅只是试图了解我们周围的事物。

记者：一个关键事实似乎就是您说的是，当发现这些数学理论时，与当时的理论相比，当时的观察结果的准确性很小？

彭罗斯：是的，爱因斯坦的理论对行星运动的描述精度是小数点后面7位甚至更多，那是一百万、一千万、亿万分之一的精度。

记者：真是难以置信。所以进一步推论，这是什么意思？数学在所有不同的关系和表达上，几乎都是无限的。我们已经知道的东西在多少方面意味着，数学就在那里？

彭罗斯：我想描绘的与物理世界的任何明确关系都存在着这个数学世界，而认知到的只有一小部分，这是一个非常富有成果的部分，与物质世界相关。据我们所知，有很多东西与身体行为无关。

记者：确实，人们过去曾经说过一些，然后惊讶地发现了一些其它的事情，仍然有那么多的数学，那么多的奇异之处。我不知道该如何将其构造成似乎不可能与物理世界相关的结构，但是那是什么意味着如果有柏拉图式的存在？世界上有什么这些无限的想法、结构和可能性？

彭罗斯：有时人们将其视为智力创造。你看，但这并不能真正解释。举个例子，曼德博集合设置了非凡的效果，复杂的分数，可以放大一点，看到所有这些令人难以置信的细节，那就是，所有这些都来自一个非常简单的数学思想，并且被这个非常简单的数学思想所涵盖。

记者：那您自己如何掌握数学的真正含义呢？

彭罗斯：我认为数学领域有两个方面。有些人只是探索数学，使他们真正感兴趣的是它的美丽和主题，这是他们之所以这样做的原因，因为他们发现它令人振奋，有所发现确实很棒。

但是数学的另一方面是它与物理世界的关系，当您正确掌握数学时，会发现这种非凡的精度，它确实以令人难以置信的程度反映了物理世界。

所以数学有这两个方面，它具有这种现实，您可以完全独立于它在物理学中的作用来研究它；而另一方面，它的确是我们理解了现实世界在某种意义上是如何运作的。