告天下学子书【中】：回溯华夏数学史，西方竟与东方频频撞衫

在西史叙事中，1683年日本人关孝和（1642-1708年）完成了《解伏题之法》，首次发现了行列式，并提出了行列式理论和线性方程组求解理论。

1850年，英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897年）将矩形阵列命名为「矩阵」 (matrix)，未定义矩阵乘法。

1857年，英国数学家凯莱（Arthur Cayley，1821-1895年）发表了一篇有关矩阵理论和线性代数基石的论文《矩阵理论备忘录》( A Memoir on the Theory of Matrices )，将矩阵从行列式中抽离出来，把它当作另一个数学事物，并定义了完备的矩阵代数运算。

如果仅仅从西史的叙事来看，是根本找不到与华夏的任何关系的。这样的说法甚嚣尘上，以致于几乎所有人“夫子步亦步，夫子趋亦趋”，就连许多论文也是千篇一律地重复着这个说法，认为中国虽然在两千多年前就产生了矩阵思想（如《九章算术》），但却未能进一步发展，未能形成行列式理论、代数方程变换理论，乃至形成矩阵理论。

但是，笔者越是深入研究历史，越是对此有很多疑问。

最大的疑问就是，《九章算术》是华夏的一部算学书，西汉初期数学家张苍、耿寿昌等增补删订，此后魏晋时期刘徽（约225年-约295年）为之注释，作为通行本流传。

《九章算术》在解方程时，还使用了试位法来解线性方程，对于二次方程使用了几何解法，对线性方程组使用了刘徽消元法，还应用了一次内插法，方式灵活多变，可谓充满了智慧。

在古时，历朝历代皆置有专精一艺的“算术博士”或“算学博士”，例如，西晋置有“律学博士”，北魏又增“医学博士”。此外，从刘徽所处的魏晋时期到1850年，大约一千五六百年，在此期间，历朝历代涌现了不知多少位数学大家，如祖冲之父子、王孝通、贾宪 、沈括、秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰、程大位、王文素、朱载堉、邢云路、唐顺之、郑善夫、王文素、孙元化等等，难道华夏算学就此止步，都没有进一步的发展了吗？

这可是一千多年，不是一两百年。

看来，为了追寻历史的真相，有必要梳理一下华夏的数学史发展脉络，看看哪些地方存在可能“破案”的蛛丝马迹。

二、关孝和与拉普拉斯

以下内容对日本人关孝和首先提出行列式理论和线性方程组求解理论展开反驳。

长期以来，网络上流传着这么一个说法，称华夏的天元术传入日本后，被日本所继承并发扬光大。

日本江户中期，被誉为“算圣”的关孝和（Seki Takakazu，1642-1708年）悉心研究华夏的天元术等数学著作，改进了元代朱世杰《算学启蒙》中的天元术算法，发展并超越了中国的"天元术"，开创了日本古典数学“和算”独有的笔算代数“傍书法”，于1683年完成了《解伏题之法》，建立了行列式概念及其初步理论，提出了类似导数的等价概念。

耐人寻味的是，此人提出的类似导数的等价概念，与明代王文素提出的概念十分相似。

笔者脑海中忽然想到南宋秦九韶的“三斜求积”公式被西人一改，摇身一变，就成了海伦公式。秦九韶于1247年在《数书九章》中提出的“三斜求积术”，与西方的海伦公式在形式上虽然有所不同，但实质上是等价的。

所谓的古希腊海伦公式：

已知三角形的三边分别是a、b、c，求面积。假设周长为p，计算时先三边之和的一半求出三角形周长的一半，即p=1/2(a+b+c)，然后根据公式求面积。

秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”，将三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，也是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积。：

“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积。”

根据上述描述，可由余弦定理推导得出秦九韶公式：

将秦九韶“三斜求积术”的公式进行化简，最后就得到了古希腊的海伦公式，好巧好巧，二者完全等价。

这种撞衫的事情，不是偶然发生一次，而是不计其数。

笔者研究了关孝和的履历，发现他虽被誉为“算圣”、关氏学派的创始人，但在数学上取得的成就却并没有多么显赫，也没有作出什么特别大的贡献，网上宣称他提出了“线性方程组求解理论”，实际并非其独创，他只是在华夏传入的数字方程近似解法上稍作完善而已。

例如，关孝和解高次数字系数方程的方法与南宋秦九韶的方法是一致的。

至于正负系数，秦九韶在《数书九章》有两项成果，其一为“开方正负术”，其二为“大衍总数术”。“开方正负术”给出了一般高次代数方程的解的完整算法，其系数可正可负。具体解法是先让常数项系数为负，接下来采用的解方程的方法与贾宪-杨辉所使用的大致相同，不过已经有所简化。

至于关孝和首次建立行列式概念，并首次提出行列式初步理论的说法，也是值得商榷。

首先，刘徽在大约元始3世纪就提出了“方阵”和“行列式”的概念，比日本人关孝和早了至少1400多年。

其次，关孝和学艺不精，提出的行列式初步理论本身存在问题。“和算解伏题”是关于多元、高次联立方程组的求解问题，可是关孝和的五阶行列式展开后存在错误，导致理论不成立，无法令人信服。

诡异的是，日本在关孝和之后，其在数学领域的发展就陷入了停滞，难有寸进。行列式的所谓理论问题也就不了了之。显然，这不太符合事物发展的常理。以前的日本人没有解决的问题，后来的日本人不会接着去解决吗？

现在，关于行列式的展开式，是以法国数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827年）来命名的。

在西史语境中，拉普拉斯被誉为法国“牛顿”、天体力学的奠基人、天体演化学的创立者之一。他不仅是分析概率论的创始人，还是应用数学的先躯。拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，诞生了著名的拉普拉斯定理。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页，其中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体系论》和《概率分析理论》。

清人黄钟骏父子所撰《畴人传四编》“卷十，一二六”中恰好也记载了拉普拉斯（拉白拉瑟），其料来源于墨海书馆编辑王韬所著的《西国天学源流》与《西学原始考》，以及《谈天》。但是，通观全文，也只提及拉普拉斯的一个成就，那就是证明行星轨道大小只有周期性变化，其他的成就一个都没有。

如果拉普拉斯真是分析概率论的创始人、天体演化学的创立者，如此伟大、如此重要的“丰功伟绩”怎么可能不提？

再仔细看看，早期的记录中有关于拉普拉斯对于行列式展开的贡献吗？有拉普拉斯公式吗？

三、鲜为人知的华夏数学史

华夏从仰观天文、总结易经，并衍生出“算学”以来，对数学的有关研究就从未停止。

遗憾的是，我们的数学几乎不太讲算学发展史，导致文化出现断层，绝大多数人对数学的前世今生一片茫然。

魏晋时期刘徽注解《九章算术》之后，大约元始473年，《孙子算经》提出了中国剩余定理，亦称“孙子定理”。该定理是华夏古代数学史上最完美和最值得骄傲的成果，如今，它已出现在中外每一本《初等数论》的教科书中。

元始600年，隋代天文学家、数学家刘焯（544-610）编制《皇极历》，使用了“等间距内插法”。

元始625年左右，初唐数学大家、算学博士王孝通在自己的著作《缉古算经》中给出了三次方程的数值解。这部书主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小等一系列实用问题，大多需要利用双二次方程或高次方程来解决。需要特别指出的是，书中给出了28个正系数高次方程，并注明了各项系数的来历，还给出了正有理数根。这可是世界数学史上关于三次方程数值解及其应用的最古老文献啊。

元始724 年，僧一行用不等间距内插法计算《大衍历》。

元始1050 年左右，贾宪著《黄帝九章算术细草》，书中使用贾宪三角找到了多项式方程的数值解。《黄帝九章算术细草》记载了贾宪的高次开方法——“增乘开方法”，此法以一张本源图为基础，而这张本源图实际上是一张二项系数表。贾宪利用这个三角形来进行开方根运算，取得了绝妙效果。

《黄帝九章算术细草》原本虽然已在岁月的长河中遗失，但庆幸的是，其主要内容被南宋数学大家杨辉摘录进了1261年撰编的《祥解九章算法》一书中，故以另一种形式得以保存。

元始1090年左右，北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中给出了高阶等差级数的和。

元始1247年，南宋著名数学家秦九韶（1208－1268年，字道古）在传世著作《数书九章》中用“秦九韶算法”解一元高次方程。书中，秦九韶一共举了21个高次方程的例题（全书共81题），其中次数最高的一个例子是10次方程。此外，秦九韶还利用“大衍总数术”对孙子定理进行了严格表述，他使用了初等数论中的“辗转相除法”，并将其称为“大衍求一术”。大衍求一术是20世纪密码学中赫赫有名的“RSA公钥体系”中的一个关键因素。时至今日，此法仍旧出现在《初等数论》的教科书中。

不过，西人却将“辗转相除法”剽窃后，更改其名，将之冠名为“欧几里得算法”。

在代数方程的求解中，为了简便计算，秦九韶等人进一步发展了早期的行列式理论。注意，秦九韶公式是可以写作行列式的。

四面体体积公式四，也可以看作是秦九韶公式在四面体中的推广应用。

秦九韶算法，又称秦氏算法，这是一种多项式简化算法，可以通过递归的方式快速计算多项式的值。该算法的核心思想，是通过不断地累加和乘法来减少计算次数，从而大大提高计算效率，可以将其应用于各种需要计算多项式值的场景中，如图像处理、信号处理、数值计算等领域。

秦九韶算法被西人于1819年剽窃后改头换面，在西方通用至今，被称之为“霍纳算法”。

秦九韶在贾宪“增乘开方法”和刘益的研究的基础上，创造了“正负开方术”，用以求高次方程的正根，这种方法是二阶收敛的。长安大学理学院的杨合俊对此进行了研究，结果发现牛顿的切线法与秦九韶正负开方术类似，再次发生撞衫事件。

秦九韶还允许模“非两两互素”，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素（几个数中任意两个数都互素，也称两两互质）的情形。

鸦片战争后，英国伦敦会传教士利用在上海设立的墨海书馆，重金雇请李善兰、华蘅芳、王韬、徐寿父子等诸多秉笔华士，将华夏典籍整理、拆分、编撰，然后一个个托名给西方古人、西方伪人，忙的不亦乐乎。

于是，“凑巧”的事情再次上演，18世纪的欧拉、19世纪的高斯，这对西方科学大神被选中后，分别对一次同余式组“进行了研究”，重新获得了与孙子定理一样的结论，并对模两两互素的情形给出了所谓的“严格证明”。

秦九韶的《数书九章》采用了〇号来代替空位，如此一来，华夏传统的十进制便有了完整的数码“代号”。

总而言之，秦九韶所撰《数书九章》堪称一部划时代的伟大巨著。

元始1248 年，李冶撰编的《测圆海镜》成书，利用天元术将大量几何问题化为一元多项式方程，奠定了中国古代数学中天元术的基础，成为华夏几何代数化的杰出代表之一。

如上篇文章所述，早期的《九章算术》是用文字来叙述并建立二次方程的，那时的未知数是潜在的，尚未用特定的数学符号来表示，而天元术则打破了这一局面。

李冶的天元术开创了一种使用数学符号来列方程的方法。

唐时，已经有人利用几何方法推导，列出了三次方程，但这种方法需要一定的技巧，不利于推广。

北宋时期，贾宪等数学大家总结出了高次方程正根问题的基本解法，并广为流传。

然而，随着社会的发展，数学问题变得日益复杂，为了满足这种需求，可以建立任意次方程的天元术便应运而生。为了让天元术更具普适性，李冶“立天元一为某某”，相当于“设x1为某某未知数”。如此，作为一个未知数，“天”就可以有二次方、三次方，乃至是无数次方，而不必局限在“平方必须代表面积，三次方必须代表体积”，“十次方代表什么形状”的思索中，常数项是正是负也没有关系了。如果与几何图形相关，常数项还不能为负数，否则没有意义。

故此，平心而论，李冶的天元术真是一项了不起的贡献，因为它让代数让挣脱了几何的束缚，飞向了自由的天空。

在华夏代数符号化的过程中，李冶在数字上方加划一斜线，创造发明了“负号”，——以前，华夏历史上，这是用颜色来表示的。《测圆海镜》中如早一年问世的《数书九章》一样，也采用了〇号来代替空位。另外，李冶还创造了一套非常简便的小数记法，也是一大进步。

元始1261年至1275年，南宋一代数学大家杨辉在这十五年间陆续独立撰写了包括《详解九章算法》在内的五种数学著作。

华夏古人在解方程组时，常常涉及初等变换。杨辉对初等变换进行了系统化的研究，并将其应用到了线性方程组的求解中。

杨辉在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图（即幻方）以及数学教育方面，均做出了重大贡献。他利用垛积法导出了计算正四棱台的体积公式，由于简捷算法的需要，又率先提出了素数的概念，并找出了200到300之间的全部16个素数。杨辉是人类历史上第一个排出丰富纵横图，并讨论其构成规律的数学家。他还曾论证过弧矢公式，时人将之称为“辉术”。

元始1303年左右，“宋元四杰”之一的朱世杰在处理多项式代数时，在《四元玉鉴》中把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上，发明了“天、地、人、物”四元术，即“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，解决了多达四个未知数的多项式方程组，并创造了非线性多元方程的消元法。后来，西人将朱世杰四元术中的“天、地、人、物”分别替换为X、Y、Z、W。

朱世杰采用的这种方法可以将相关多项式进行乘法和加减运算，依次消元，把多元非线性方程组化为单个未知数的高次多项式方程，最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解。

按西史叙事，欧洲直到18世纪，才由西尔维斯特、凯莱等人用近代方法（如矩阵等）对类似的消元法进行相对全面的研究。

朱世杰以数值解出了288个四次、五次、六次、七次、八次、九次、十次、十一次、十二次、十四次多项式方程，其成就令人惊叹。

除此之外，朱世杰还继承和发展了垛积术，在沈括与杨辉研究的基础上，给出了多种高阶等差级数求和公式和包括招插术在内的一系列更为复杂的三角垛的计算公式。

大约370多年后，牛顿于1676年也给出了一个本质高度雷同的插值法计算公式。

为了让华夏算学能够继续传承下去，朱世杰还特意撰写了一本《算学启蒙》，从简单的四则运算入手，一直讲到当时算学的重要成就“天元术”和如何联立方程、开高次方，是一部上乘的算学启蒙教材。

哈佛大学首任科学史教授、在西方享有“科学史之父”美名的乔治·萨顿（George Sarton，1884-1955）对秦九韶和朱世杰有如下评价：

“秦九韶是他的时代中在他本国以及全世界各国中的最伟大数学家之一。秦九韶作为一位有世界影响的中国数学家，当之无愧。”

“（朱世杰是）汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，“（《四元玉鉴》）中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。”

（未完待续）

【题外话】

本人计划将《明珠蒙尘：鲜为人知的华夏科技与文化》（约20万字）付梓出版，如果有人感兴趣，可以留言加微信，然后拉个群，统计下第一次印多少本比较合适（与出版方签订合同后，条件允许，可能预售）。倘若此次顺利，则继续将《海上忧思录》三册、《揭开西方伪史虚惑的面纱》（可能改名）四册付梓刊行。

《明珠蒙尘：鲜为人知的华夏科技与文化》作品简介：

中国不只有“四大发明”，“四大发明”只是一个“以偏概全”的误解。

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本书引经据典、以翔实论据重点介绍了源自中国的诸多发明创造，包括但不仅限于望远镜、照相机、显微镜、留声机、温度计、自行车、计算机、钢琴、全世界第一架具有现代意义的飞机等等。不仅如此，就连扑克牌、大富翁等游戏都是源自中国的发明。

怎么样？是不是很惊讶？

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