计算力学前沿：周期材料与结构等效性质预测与优化

随着工程技术的高速发展，以及社会对碳排放和可持续发展的关注，人们对工程结构的高比刚度/强度、轻质及多功能等需求日趋强烈，结构轻量化在工业部门受到特别的重视。结构轻量化有很多途径，

• 其中一类轻量化结构是采用纤维增强复合材料、颗粒增强复合材料和点阵复合材料为代表的轻量化的先进复合材料制造而成；

• 另一类轻量化结构是形式各异的梁板壳结构，例如波形梁、波纹板、蜂窝夹芯板和点阵材料为芯层的夹芯板壳等。

▲ (a) 周期材料及其微结构示意图；(b) 非周期材料示意图

上述两类结构的共同特点是在宏观尺度上可以等价为均匀材料制成的结构，但是，其材料在介观、微观尺度上呈现周期的非均匀性；需要强调的是，这里我们提及的宏观、介观和微观尺度，并非物理学中通常定义的尺度。在物理学中，不同尺度的物理现象往往遵循不同的物理规律；本书中这些不同尺度对象的力学性质都可以采用基于连续介质理论的数值方法和工具进行分析，但是需要的计算工作量相差很大。工程中复杂组合结构的宏观尺度可以是数十米乃至数百米，复合材料层合板壳的宏观尺度可以是数十厘米或数米；蜂窝夹芯板壳的蜂窝尺寸和蜂窝壁厚，纤维增强和颗粒增强复合材料中的纤维和颗粒尺寸可以是厘米和毫米量级，在本研究（文）中将被认为是微观尺度。

上述两类轻结构在近代商用飞机、卫星、运载火箭、高速列车和高超声速飞行器等中已经有广泛的应用，并且随着应用环境的不同和相应制造技术的提高，出现了越来越多的新构型和新结构，特别需要提出的是，先进的增材制造技术的出现极大地扩展了制造的能力，使得具有复杂微结构、性能优异的超材料制造，结构和材料的一体化设计和制造，结构和功能的一体化设计和制造成为可能，对其分析、设计和优化的需求也越来越强烈。

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（程耿东, 徐亮著. 北京：科学出版社，2023.9）介绍具有周期微结构的材料、板梁结构等效性质预测及其优化设计。将以上述两类轻结构的力学分析和优化为研究目标，重点关注其宏观等效性质的预测。

▲ 非均匀周期板均匀化为具有等效性质的均匀板

由于内部微结构的复杂性，对上述两类轻结构进行精细建模和数值分析会耗费大量的计算时间，所以一般工程上需要将其等效为具有等效性质的宏观均质材料/结构，为此，通常设法从这些材料/结构中取出一个典型的单元，称之为单胞，进行分析，将单胞分析得到的微结构的响应均匀化以得到宏观等效性质。对具有给定宏观等效性质的宏观结构进行分析时，将不考虑详细的微结构信息，在获得均匀的宏观结构响应后，再将宏观的结构响应作为微结构的荷载或边条件，对微结构进行分析得到精细的宏/微观结构响应。这样的双尺度算法可以节省大量计算时间。

▲ (a) 在面内具有周期性微结构的三维复合材料板；(b) 单胞

本书研究的对象是材料微结构在空间周期分布的周期材料。与周期材料等效性质预测相关的研究包括非均质材料(heterogeneous material)、复合材料(composite material)、结构化材料(structural material) 及超材料(supermaterial) 的等效性质的研究。周期材料是由单一材料或多种材料组成，其微结构在空间呈周期分布；非均质材料指材料性质在空间非均匀分布，例如金属材料在加工过程中发生的相变、夹杂及各向异性引起的非均质性。结构化材料则是强调这些材料具有丰富的微结构，有别于传统的材料学意义下的材料。超材料也是一类结构化材料，其研究包括了力学、热学、声学及材料的多学科性能。

复合材料是由两种或两种以上力学、物理或化学性能各异的组分材料，经过物理或者化学的方法组合而成的材料。复合材料的宏观等效性质由其微结构，即组分材料的性质、形貌及分布决定，由于组分材料的相互作用，复合材料的宏观等效性质可以优于组分材料。复合材料的微结构可以是周期的，也可以是非周期的。很多情况下，人们采用实验的方法得到复合材料的等效性质。人们采用解析方法或数值方法预测研究复合材料宏观等效性质时，通常从复合材料中取出一个单胞或代表体元，对其进行分析，这样的途径和我们前面介绍的周期材料数值分析途径相同。因此，周期材料和复合材料等效性质的预测的解析和数值方法有很多共同之处。

▲ 宏观板及其微单胞示意图

从20 世纪初开始，很多学者提出了各种不同的方法来预测复合材料的等效性能，例如自洽法(self-consistent method, SCM)、广义自洽法(generalized selfconsistent method, GSCM)、代表体元(representative volume element, RVE)法、渐近均匀化(asymptotic homogenization, AH)方法以及计算细观力学(computational micromechanics) 方法。其中，自洽法和广义自洽法等主要应用于由基体和夹杂组成的复合材料；代表体元法和渐近均匀化方法既可以应用于由基体和夹杂组成的周期复合材料，也可以应用于由单一材料组成的周期材料。

渐近均匀化理论以严格的摄动理论为基础，已成为具有周期性微结构的介质的等效性能预测的主流方法之一。虽然其已经广泛应用到性能预测、拓扑优化、材料设计等领域，但基于渐近均匀化方法的数值分析和优化一般只采用二维和三维实体单元，这是因为，对于不同的单元类型，研究者需要在单胞问题的有限元格式的推导和编程方面做更多的工作。另一方面，如果仅采用实体单元来离散具有复杂微结构的单胞，尤其是当单胞的微结构很复杂而且有尺度更小的杆梁板时，则得到的单胞有限元模型很可能具有过大的单元数量，造成计算量急剧增大。为此，我们将渐近均匀化方法中的本征应变用本征位移表示，发展了一种新的算法，很方便地在已有有限元软件(如商用软件ANSYS、Abaqus，大连理工大学运载工程与力学学部工程力学系开发的SiPECS) 上实现渐近均匀化方法的数值求解，从而高效且准确地预测周期复合材料的等效性能，这一方法还可以很方便地得到等效性质对于微观结构参数的灵敏度，进而实现微结构的优化设计。

▲ 最大扭转刚度的单胞拓扑优化结果

在实际工程应用中，梁板结构是广泛采用的一类轻结构。不同于具有周期性微结构的复合材料，材料非均匀但周期分布的梁(板) 结构只在一(两) 个方向上材料分布具有周期性，需要建立的宏观等效性质是广义力(轴力、弯矩和扭矩等)和广义应变(轴向应变、曲率和扭率等) 的关系。和实心断面梁/板结构相比，周期梁板结构在受到外载荷作用下的剪切变形往往更为严重，采用渐近均匀化方法建立的等效的经典梁板模型相对于原结构会产生很大误差，不再满足工程需要。因此，对于各种具有不同微结构的周期梁板结构，如何在均匀化过程中考虑剪切变形并计算其等效剪切刚度，将其均匀化为等效的铁摩辛柯(Timoshenko) 梁及明德林(Mindlin) 板模型，一直是学术界的研究课题；另一方面，针对具有不同复杂构型的周期梁板结构，如何给出一种简单快速的等效剪切刚度数值实现方法，提高计算效率，在工程实践中也有着重要的意义。

结构优化是获得高效、经济的改进工程结构设计的有效方法，特别是结构拓扑优化方法能够得到优化结构的初始概念设计，降低产品成本，提高产品的竞争力。与此同时，发展高效稳定的结构拓扑优化方法，是拓扑优化能否得到广泛应用的关键。对已有工作的改进和完善，能够进一步推动拓扑优化技术的发展。

▲ 加筋周期板宏微观最优拓扑

为了得到性能优异的结构，最理想的做法是在优化结构的同时优化采用的材料，这就是材料和结构的多尺度一体化优化设计。对周期梁板结构的微结构进行拓扑优化，可以得到更优的结构宏观性能，而考虑宏观拓扑和微观单胞构型的多尺度一体化优化设计，此问题本身对结构拓扑优化就是一个挑战。随着有限元软件的功能日趋强大，基于有限元软件的结构优化及微结构设计策略迅速发展，极大地推动了材料和结构的多尺度一体化优化设计的理论、方法的发展，显著提高了其优化问题的计算效率，更便于在工程中推广和使用。

本书主要介绍渐近均匀化方法的高效数值实现算法，并在此基础上说明如何预测周期梁板结构的等效剪切刚度及其有限元实现，本书也介绍周期梁板结构的微结构优化设计及两尺度并发结构拓扑优化，为相关领域的研究者提供有关的分析和研究工具。

本文摘编自《周期材料与结构等效性质预测与优化》（程耿东, 徐亮著. 北京：科学出版社，2023.9）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。

ISBN 978-7-03-075065-5

责任编辑: 赵敬伟 孔晓慧

本书介绍具有周期微结构的材料、板梁结构等效性质预测及其优化设计。全书共5 章，第1 章介绍了周期材料/结构等效性质预测方法及其结构优化设计方法；第2 章详细介绍了周期材料/结构的渐近均匀化方法及其新数值求解算法(NIAH)，详细论述了单胞方程及等效性质的有限元实现方法；第3 章介绍了基于能量等效的周期梁结构等效剪切刚度及应力反演计算方法；第4 章介绍了基于能量等效的周期板结构等效剪切刚度计算方法；第5 章介绍了周期材料及梁板结构微结构及两尺度优化设计。本书可作为从事周期点阵材料及结构的多尺度分析及优化设计的研究生、教师及相关科研人员的参考书。

（本文编辑：刘四旦）

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