学会了费马大定理却用来证明简单的小命题？无聊，但巨爽！

世界上有一些通过伟大数学家的不懈努力得到证明的“大定理”。我们现在之所以能像这样感受数学的乐趣，也得益于过去的数学家们不断积累的伟大发现。
关于这一点，科学家兼数学家牛顿在给科学家罗伯特·胡克的信中曾这样写道：“如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”
现在，我们要用过去的数学家们所发现的一些伟大定理，去证明一些无聊的命题。即便你再渺小，也不要害怕站在巨人的肩膀上！

• 作者 | [日]数学爱好者协会会长 一君

来源 | 《数学不只有一个答案：16个问题引发的头脑风暴》

1使用四色定理

根据四色定理，包含 4 个区域的地图只需要 4 种颜色就可以完成涂色。

四色定理是指“在给平面地图涂色时，若要满足相邻区域必须涂上不同颜色的要求，只要使用 4 种颜色就够了”。那么，根据四色定理可知，只要用 4 种颜色就可以对包含 4 个区域的地图完成涂色了！

话说，给包含 4 个区域的地图涂色只需要 3 种颜色就够了吧。

关于四色定理，再多说几句。

四色定理最早是在 1852 年作为四色问题提出的。当时，伦敦一个名叫弗朗西斯·格斯里的学生在给地图涂色时发现只要用 4 种颜色就够了，于是将这件事告诉了他的弟弟弗雷德里克·格斯里。

弗雷德里克·格斯里意识到这个问题在数学上的重要性，于是向著名数学家德摩根请教，但德摩根未能给出证明。于是，这个问题迅速走红，很多数学家向它发起了挑战，但从提出问题到最终证明，花费了 100 多年的时间。

更令人惊讶的是证明的方法。最早提出的证明方法是将地图区域的排列方式分为大约 1400 种，然后用计算机对所有这些情况分别尝试能否用 4 种颜色进行涂色。这是一种非常简单粗暴的方法。

人们意识到，用当时的计算机完成这样的计算需要花费超过 10 年的时间，但后来随着程序和算法的改良，四色定理的证明终于得到了认可。四色定理在现实中有很多应用，例如在布置移动电话基站时确保相邻基站的频率不冲突。

这样的大定理却用来证明“给包含 4 个区域的地图涂色用 4 种颜色就够了”这种废话，这其中的落差还真是有趣。

以前应该没人如此糟蹋过四色定理吧？肯定没有。

2使用费马大定理

设 n 为大于等于 3 的正整数，假设

为有理数，则其可用正整数p、q 表示为以下形式：

根据费马大定理，不存在满足上述条件的正整数 p 和 q，由此产生了矛盾。由反证法可证得

为无理数。

这好像是打败了魔王之后，再回到新手村砍史莱姆的那种快感。

费马大定理是指，当 n ≥ 3 时，“不存在满足

的正整数组 (a, b, c, n)”，这是在数学界非常有名的一个定理。

在上面的证明中，(p, p, q) 就相当于费马大定理中的 (a, b, c)。

当初费马发现这个定理时，曾在书页一角写道：“我确信已发现了一种美妙的证法，但这里空白太小写不下。”但他在有生之年并未给出这一定理的证明。没有人知道费马当初到底有没有想出这一定理的证法，但此后很多数学家相继尝试证明，终于在 300 多年后的 1995 年，由安德鲁·怀尔斯完成了对该定理的证明。

用写在页角的一句话，就“耍了”后世数学家们 300 多年，真是可怕，但也令人着迷。

费马应该怎么也想不到，自己发现的大定理会被用来证明如此无聊的命题。

话说，用同样的方法并不能证明

是无理数。

因为满足

的正整数组是存在的，比如：

等等。

3使用费马小定理

根据费马小定理，有

因此 3 是奇数。

为了证明 3 是奇数，竟然要借助鬼才费马的力量，如此大费周章，我看得差点笑喷了。在教室或者地铁里看书的各位朋友可要当心了。

下面我们就来好好看看这个证明。首先讲一讲费马小定理吧。

【费马小定理】

若 p 是质数，且整数 a 不是 p 的倍数，则有

p =2 时，若 a 不是 2 的倍数，则

成立。3 不是 2 的倍数，因此当 a=3 时，有 3 ≡1(mod 2），即 3 是奇数。

咦？不对啊……

再仔细看看这个证明：要证明“3 是奇数”，前提却是“3 不是2 的倍数”。这样证明“3 是奇数”是不恰当的，落入了循环论证的陷阱。

循环论证是指在证明某个命题时，却以该命题作为证明的前提。数学是一种逻辑体系，循环论证的证明是不会被认可的。

证明 3 是奇数竟然失败了，太可惜了……

但是，使用费马小定理证明 3 是奇数的想法十分优秀。

理由就是，这个想法很棒！（这也是循环论证。）

4使用布雷特施奈德公式

根据布雷特施奈德公式，边长为 1 的正方形的面积 S 为

布雷特施奈德公式是求任意四边形面积的公式，只要知道四边的边长 a, b, c, d，以及一组对角之和 θ，设半周长

，则有

要用这个公式求边长为 1 的正方形的面积，只要令 a =b =c =d =1，θ=180° 即可。

哎呀，这不是脱裤子放屁吗？

不过，把简单的数代入公式验证是否成立，其实也是一项重要的工作。

上文转自图灵新知，节选自《数学不只有一个答案》，[遇见数学]已获转发许可。

作者：[日]数学爱好者协会会长 一君

数学不只有一个答案，数学追求的也不仅仅是答案。

试着从不同的角度和不同的难度来思考同一个数学问题，得到不同的思路和不同的解答，这样的大脑锻炼对提升数学思维和综合应用能力都大有裨益……关键是，这实在太有趣了！