第05讲：《数列极限的概念与基本性质》内容小结、课件与典型例题与练习

一、常用的与数列相关的公式

1、先求和再求极限

（1）自然数求和公式：

（2）自然数平方求和公式：

（3）自然数立方求和公式：

（4）等差数列 前 项求和公式：

（5）等比数列 前项求和公式：

（6）二项式展开公式：

其中 为二项式系数，也记作 .

2、拆项相消法

3、基本不等式结论

(1) 几何-算术平均值不等式

设 是 个非负实数, 则

且等号成立当且仅当 .

(2) 三角不等式

(3) 柯西不等式

对任意实数 和 ，都有

等号成立当且仅当 或存在常数 ，使得 .

(4) 两个与对数、自然常数、阶乘相关的不等式

4、常用数列极限结论

0} \right),\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0\left( {|q| < 1} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{a} = 1\left( {a > 0} \right),\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n!}}{{{n^n}}} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^b}}}{{{a^n}}} = 0\left( {a > 1} \right),\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\ln }^b}n}}{{{n^\alpha }}} = 0\left( {\alpha > 0} \right) \end{array}" data-formula-type="block-equation">

二、数列极限定义的等价描述形式

定义1： ⇔ ， ，当 时，恒有 成立.

定义2： ⇔ ， ， ，成立 .

定义3： ⇔ ， ， ，成立 .

定义4： ⇔ ， ， ，成立 ，其中 是一个与 和 都无关的正的常数.

【注】以上定价描述只要能推得其中一个即得另外其他描述，也即说明数列极限存在且等于取定的常数值. 其中的 可以改成 ，此时应保证所取的 为正整数.

三、关于数列极限定义的有关注意事项

【注1】：只要四个定义右边的任意一种描述成立，就可以直接得到数列 收敛的结论成立；同样，如果数列 收敛于 ，则可以写出右边四种等价描述形式，针对不同的问题，选用不同的描述形式帮助求解或验证问题.

【注2】：由于定义中的 是用来度量数列与极限值的逼近程度的，所以可小不可大，对于它的取法，在使用定义证明极限时，可以假定其小于某个正数，比如小于1内取值；对于可大不可小，取法不唯一. 如果 满足条件，则 （ 为任意正整数）都可以取为定义中的 值. 因此， 的取值与 有关，但并不是 的函数.

【注3】：特别注意，在没有特别说明的情况下，关于 求极限，约定成俗， 都是指的是 求数列的极限. 即默认情况下， 都是指非负整数.

四、利用极限定义证明的步骤与方法

用数列极限定义证明数列 收敛于 的：

关键：对于任取的 ，找到一个符合定义中的 ；

方法：适当放大不等式；

基本步骤：一般概括为如下四步：

第一步：任取 ，可以根据后面不等式放大的需要假设它小于某个正的定值.

第二步：借助适当放大法放大、简化 为 . 其中放大的方法主要基于题设从原绝对值里面的式子出发，当然也可以借助于一些基本不等式来进行放大，目标都是尽可能通过放大简化绝对值里面的 关系式，使得第三步求解不等式时变得非常简单.

第三步：解关于变量 的不等式 ，得 . 如果不能得到这样的结果，则需要重新改写原绝对值不等式，或证明极限不为取定的常数.

第四步：取 或 (保证 为正值)描述结论：即任取 ，取 ，则当 时，有 恒成立，所以数列 收敛于 .

【注】：在放大不等式的过程中，可能也对 的取值有一定的限制，比如 必须大于 时放大不等式才成立. 这个时候，最后的 应该取为 .

有关于数列极限相关问题的注意事项也可以参见推文：

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参考课件

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