压轴题研题活动第102场2022年长春第24题

精彩点评一

认真学习了邹正阳老师分享的吉林长春第24题的研究成果。邹老师提出将图形的平移转化为点的平移，进而阐述并总结了平面直角坐标系中关于点的平移和对称特点以及利用这些特点如何解决函数中实际问题的可行方案。同时，邹老师通过设计的两个变式题目，展示了如何利用参数与函数图象之间的关系解决相应的函数问题。这道长春24题动静结合，在二次函数的背景下，考察了学生对平移知识，正方形的几何特征，几何图形与函数图象的交点个数的分类讨论等的掌握情况。通过学习邹老师分享的研究成果，再结合自己的教学情况，我有以下几点自我反思：

一是在函数教学的过程中，养成学生规范作图的习惯是十分必要的。最好让学生形成拿到函数题目就动笔画图分析的“条件反射”。这道题目的第二问，我在自己做题的过程中，并没有动笔计算就已经得到了点B的坐标，因为我用了“五点作图法”，横坐标取了-1，0，1，2，3，依次得到了相应的纵坐标3，0，-1，0，3，观察函数图象马上可以得到函数的对称轴，函数增减性，与x轴交点等重要信息，而根据题意要求的BC=4，通过观察图象就能得到点B坐标。当然，这里的点B只是碰巧和我取的点一致，但这个一致却是我一直以来规范作图取得的成果。所以教学过程中培养规范作图的习惯，是学生利用数形结合解决问题的起点。

二是仔细分析题意，体会题意与函数概念之间的联系。题中的第三问，纵坐标y随x增大而增大，或者y随x的增大而减小，对应的是正方形要么位于对称轴的右侧要么位于对称轴的左侧，只有明白了这个立意，才能够解决后续问题。

三是转化图形的平移为点的平移，转化函数的交点问题为点的坐标之间的大小关系。本道题目的“动态”体现在题目的第3小问和第4小问。正方形的中心即正方形对角线的交点，而该正方形的边长为2|m|和一边垂直与x轴即可以得到该正方形的一条边一直位于y轴上，并随着点A在抛物线上移动而上下移动。这样图形的平移就转化为了点的平移，再通过交点的个数，结合作图就可以很快解决。看美食节目的时候，常常听到说最高端的食材往往只需要最简单的烹饪，而在解决函数压轴题这样在学生看来是最难的问题的时候，回归到函数最基本的概念和性质去解决，返璞归真最是正道。

精彩点评二

2022年吉林省长春中考数学第24题是一道与抛物线有关的题。听了邹正阳老师的课，受益颇多，对一题多解，一题多变以及新课标下的教学理念有了拨云见日的新认识。

邹老师结合图形分析，从基本方法出发，总结出坐标与几何的转化方法：利用图形的平移、对称、旋转找到坐标之间的关系；在解决一类参数问题时，善于注重画出相对准确的图形，并用具体的式子来表示出图形中的相等或者不等关系，即数与形的转化；巧妙地利用特殊点来确定分类讨论的依据，做到不重复不遗漏；在解决问题的过程中循循善诱、层层推进、与一反三，充分体现了学生为主体教师为主导的教学理念；在教学反思环节中，多角度高质量的变式题真正的体现了一题多解一题多变的教学理念。

解题探究的过程就是一种观察、尝试、猜想、探索、实验、论证、发现的过程，教师一定要带领学生读懂条件和结论，抓住题目中的条件特征、结论特征和图形特征，从中寻找突破口。但作为教师，不仅仅是教会学生正确的答案和解题方法，更重要的是挖掘中考题的潜在功能和作用，提升教学能力。因此，在总结经验、掌握通式和通法的基础上，还要引导学生结合题目的特点一题多解、一题多变、一图多变，拓宽思路，帮助学生在变式训练中发展思维的灵活性与发散性。“解一题，会一类，通一片”，让学生由此及彼，并感悟出同类问题的深层结构，使得学生下次再碰到类似问题时能快速找到切人点，顺利贯通思路，提升解题能力的同时，发展数学洞察力，训练思维的深度，让一题多解、一题多变成就精彩，让课堂高效起来。

再次感谢张钦博士提供的多元高效的学习平台，感谢邹老师带给我们的思维“盛宴”。

精彩点评三

2022年长春中考第24题，从教师解题角度，无疑整道题的难点在第3问和4问，尤其是本题没有配图，需要学生作图，因此对学生构图能力提出了更高的要求。这两问中，图形的变化较为复杂，首先抛物线是静态的，正方形是动态的，这一动一静相互影响，衍生出十分有趣的变化。

在第3问中，二次函数的单调性以对称轴为界，左侧单调减少，右侧单调增加，解读抛物线在正方形内部部分的单调性，需要判断正方形不与y轴重合的边与对称轴的位置关系，学生需要明确正方形始终有一条边与y轴重合，这就需要利用含m的代数式表示正方形四个顶点的坐标，并作出正确判断；

在第4问中，抛物线与正方形有两个交点的情况，需要分类讨论，由于正方形的中心在抛物线上，因此抛物线与正方形始终存在交点，m≠0时，交点的数量可能有两个、三个、四个，本问中只讨论两个交点的情况，所以需要弄清楚抛物线与正方形有两个交点时，它们分别在哪条边上。为研究它们的状态，我用GeoGebra绘制了动态图象，如下图：

对于图1来讲，m<0，是最为容易想到的一类情况，对于借助软件作图的教师而言，所有情况一目了然，但是对于学生而言，必须通过规范作图，以及在规范作图基础上对函数图象的深入理解，再去想像，去验证，所以我自已在解完题之后，疑问在于，如何让学生想到图2至图6这许多类别的图象？

带着这些疑问，我认真学习了邹正阳老师的研题直播，然后就很惊讶地发现，这些问题在研题过程中，均得到了很好的处理，邹老师正是从学生角度出发去解读为什么要这样分类，为什么某种情况不成立，因为第4问是直接写出答案，对过程书写没有要求，但对思维过程要求极高，我们平时给学生讲题时，最头疼的就是这类问题，教师解题是基于教师的理解，怎样将教师的理解转化成学生能理解的方式，是每一个数学老师必须认真面对的，否则就是茶壶里的饺子。

从邹老师的研题中，我有如下思考：

一、函数图象的理解究竟应该从何入手？

我们不妨回到一次函数的章节教学中，有一节内容其实对数形结合要求非常高，就是第19.2.3节一次函数与方程、不等式，借助一次函数，将方程、不等式“图形化”，实际教学过程中，我自已也发现，前面在学习一次函数图象性质的时候，学生理解起来相对容易一些，毕竟一次函数解析式中只有两个参数k和b，并且几何意义很简单，k负责直线的倾斜程度和倾斜方向，b负责直线与y轴的交点位置，此处不着急引入斜率概念，斜率不是初中数学内容，个人认为在九年级学习了三角函数之后，可以尝试让部分学有余力的学生拓展，对于多数学生，按课标上的要求理解即可。当教学进行到函数与方程、不等式结合之后，学生对图象的理解差距明显加大，例如两条相交直线y=ax+b与y=cx+d，交点坐标与方程组的解的关系，ax+b>cx+d的解集与图象的关系等，都在考验学生对一次函数图象的理解。同时，在学习二元一次方程组时，学生难以理解的同解方程，利用一次函数概念也能很好地解释，即两条重合直线；还能通过判断两条直线的“上下”位置关系去寻找不等式的解集，这种方法还可以延伸至二次函数的学习中，当我们用一条垂直于x轴的直线作为标尺，从上至下，首先与哪条函数图象相交，则表明在上方。

在二次函数图象的理解上，复杂度相对一次函数更高，但其研究的方法是完全一致的，学生学习也应该以同样的顺序去渐进，可以说，在一次函数学习过程中，严格按照课标要求，充分发挥课堂上的学习作用，实在不必额外再增添“超纲”内容。

在帮助学生理解函数图象的过程中，选题十分重要，讲题更加重要，所选之题要符合学生的学段要求，千万不能超，教师在讲解时，要遵从学生的认知规律，不能想当然，要知道数学老师解题不同于学生解题，许多在教师眼中“显然、易得”的东西，在学生看来并不那么容易得到，教师的任务，就是慢嚼细咽，让学生眼前的题从简单变得复杂，理解由复杂变得简单，这需要一个长期过程，急不得。

二、作图的规范性

本题是无图题，连平面直角坐标系都未给出，需要学生在草稿纸上完成作图，那些学习习惯较好的学生，得益于平时的良好规范，可以迅速完成作图，同时作图准确度较高，从而更充分发挥几何直观能力，学生在考试中作图，必须在脑海中成型才能动笔，从这个角度看，一旦作图能力发展到一定程度，无图胜有图。

一般情况下，平时作图不规范或自以为是的学生，多数会被卡住，要么画出不可能存在的情况，要么画错位置导致推理失败，本题中不仅正方形的中心在抛物线上变化，正方形的形状也在变化，由此引发的正方形各边与抛物线的位置关系十分复杂，这种命题设计，正是用于淘汰平时自作聪明的那一部分考生。

在平时的课堂教学中，教师作图必不可少，不建议用几何画板代替，我观察到邹老师的研题过程中，采用了大量手绘图形，当然我个人认为，在纸上作图可能更贴近学生实际，但这也是充分考虑到了学生实情，作为教师教学基本功，尤其是数学教师，在黑板上用粉笔作图，如何快速准确地完成，实际上也是长期练习的结果。简单的一次函数作图，尽量给时间让学生在课堂上完成，并且在巡视过程中去发现容易出现的问题，这个基础打好了，后面的学习会十分轻松，二次函数图象也是同样的道理，多作图，在作图过程中引导学生理解。经过一段时间的学习，学生在拿笔之前，脑中已经有了大致图象，教学就是成功的。

三、初中数学知识间的关联

思维导图是一个十分有效的工具，教材每个章节后，都会配有相应的知识框架图，这也是思维导图的一种，在进行章节复习时，尽可能引导学生去画一画，而不是老师说一句画一笔，学生画得乱一点没关系，画漏也不要紧，给足时间帮助他们去一点点修改，这个时间花费其实比多做几道题效果更好；并且我个人认为，每个人的思维导图应该不是标准答案，而是开放式答案，总体上差不多，细节上有差别，因为我们的学生，拥有各自不同的大脑，理应出现不同的思维。而作为教师，需要包容每一种不同的数学思维，并引导每一种思维走上正确的道路。

绘制思维导图，当然离不开例题，为了说明图中的关联，或者为了说明图中的扩展，都需要相应的例题去解读，教材上的习题非常经典，教参后配套的教学设计中也有大量优秀的习题，这些宝贵的资源等待着教师们去发掘。

学习绘制思维导图，不仅仅是学生的任务，数学老师更应该身体力行，先在纸上画，再利用软件如xmind画，曾经在北京国培时看到海淀区教科院对青年教师的培养，有一项就是新入职的老师，每节课都画思维导图，看着一年教龄、两年教龄、五年教龄的老师们所画的思维导图，肉眼可见的成长速度叹为观止，我猜想他们的学生们，思维成长的速度应该更快。

最后，感谢邹正阳老师的压轴题研题大餐，也是这102场研题的压轴大戏，感谢宜昌市教科院张钦博士搭建的这个优秀的教研平台，还有更多参与研题、参与教研的同行老师们，向大家学习，永远在路上。

精彩点评四

学习了邹正阳老师对2022年吉林长春第24题的研究，收获很大，我有以下感想。
本题是一道二次函数的综合题，考查了学生代入坐标求参数，利用函数图形的轴对称性、增减性解决问题，能自己画示意图分类讨论交点问题，能用点的坐标表示图形，能熟练准确地解出一元二次方程及简单的一元二次不等式等知识，综合考查了同学们代数运算、数形结合、分类讨论的能力，是一道优秀试题。
第1、2小题上手容易，是送分题。第1小问直接代入坐标，第二问邹老师结合二次函数是轴对称图形，且对称轴是直线x=1，可以快速得到B点横坐标为1，还可以用平移加中点公式求解。从方法的难易程度来说，不必讲法二，但邹老师是在为用点的坐标的平移来表示正方形做铺垫。

第3小题邹老师紧抓题眼：“正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，或者纵坐标y随x的增大而减小”，能很快画出示意图求解出m的范围。
第4小题难度升级，不再确定参数m的正负性，易想到分两大类。邹老师结合画示意图，快速抓住易错点即二次函数的左支只能与正方形的上水平线相交，而不能和左竖直线相交，从而能快速解决m小于0时的情况。当m＞0时，通过多画示意图感受到正方形的上平行线是否在x轴上方，正方形的下平行线是否和抛物线有交点，都决定了这一问能否不重不漏的找到所有情况并解答，对于学生来讲，是一顿无比丰盛的思维大餐。但学生能不能完全消化吸收，我们究竟要如何教会学生分析问题，如何锻炼学生的画图能力，如何培养学生分类讨论的思想？从周老师教学及反思中，我有如下收获：
第一、重视平时课堂教学。函数压轴题基本都是数形结合题，需要引导学生分析、画图，我们在平时作业中，不少学生在老师提醒下才能画好示意图，考试中无人提醒便无可奈何了。反思自己的教学，还是因为在课堂上着急赶进度，给学生看图、分析图的时间不够，故在平时教学中要给足学生思考、画图、解题的时间，才能让相应的分析方法、基本图形在手上熟练，在大脑中落地生根。

第二、注重关注知识的本质，由于平行四边形、矩形、菱形、正方形都可以看作一条边通过平移得到的，而线段也可以看作是由点平移得到的，这样就可以把图形最终落脚到点的平移上。这说明邹老师对七年级平移相关章节理解的透彻，这要求我们教学中要从七年级就开始培养学生们感受、应用本质分析问题和解决问题。如邹老师对于含参二次函数的变式训练研究，从易到难，层层递进，在学生获得成就感的过程中去愉快地开始下一问。对于一道题，多尝试改变条件和结论，让学生在变式训练中体会“形变而神不变”、体会“法无定法、环环相扣等”，体会分析问题的核心思想，提升解决问题的能力。

第三、怎样让老师的想法长在学生脑子里，除了需要多研究解法、教法，还需研究学生的错题及改错，体悟学生难于理解的点。所以我不仅需要在备课时，少一些想当然的上帝视角，多一些精讲精练，多一些对学生的体悟和关爱。并让学生先找到错点改错后再尝试归纳自己的感悟，然后师生对话提炼，最后使学生养成“悟”的习惯。对于学生的错误要刨根究底，要找到是知识上理解的不到位，是理解出现了偏差，还是知识混淆的原因？只有有的放矢才能从跟本上解决问题。

感谢邹正阳老师带来的精彩研题，这促使我会在自己的教学中也要注意以上问题，并将好的想法逐一夯实，让自己和学生都能更快成长。感谢张钦博士提供的学习平台，感谢黄毅老师的指导分享，感谢各位数学老师一起前行。

精彩点评五

因为九年级复习备考的原因，周二没能看邹老师的直播，趁中考前夕学生难得的自由复习时间，我也有时间通过回放来学习邹老师的研题。

此题是一道以坐标系为桥梁，通过给出一个确定的二次函数，和运动的正方形产生的相关问题，这类题型特点明显，无外乎由运动产生的交点问题，最值问题，定点定长问题以及多边形的存在性问题（等腰三角形，直角三角形，平行四边形等），如果在这个基础上再加上图形的平行、旋转和对称可能让问题更加复杂，解决这类问题的关键是掌握几种常见的数学思想方法：

一是运用函数与方程思想，比如这题的第一问求函数解析式，第二问求点的坐标。

二是运用分类讨论的思想，例如此题的第三问和第四问，对问题的条件和结论的多变性进行考察和探究，需要同学们既要关注条件的多变性（m＞0或m＜0衍生出的分类讨论)又要关注结论的多变性衍生出分类（正方形与抛物线只有两个交点）

三是运用转化的数学的思想，由已知向未知，由复杂向简单的转换，比如此题告诉了正方形的中心在抛物线上运动，且告诉了正方形的一边长，那么我们就可以运用平移、对称的性质表示出正方形各个顶点的坐标，让复杂问题简单化。

四是数形结合思想，数字与图形作为数学这门学科两种重要的载体和表达工具，彼此之间有着内在的本质联系。此题的三四问邹老师都先简单的画出图形，分析可能的情况，再借助代数去舍去不存在的情况，这就是数形结合思想“以形助数，以数释形”

对于这道题1、2问都很简单，属于给分题，难点在于第3、4小问，因为图形在变化，且没有给出图形做参考，这就对学生的审题和画图能力提出了要求，作为压轴题没有给出图形，同学们若要得出正确结果又需要画出图形，这也对老师平时的教学具有一定的引导性，即老师在平时的教学中要给学生充足的时间进行探讨，学生们的作图能力需要在课堂或课外中得到充分的锻炼和培养，邹老师的研题中，对于3、4问的分析时，没有直接借助作图工具直接呈现相关图形，而是自己尝试去画出对应情况下的图形，虽然看上去不是很规范，但这恰恰是很必要的一个过程，因为在考场上，同学们没有作图工具，需要自己通过题意画出图形，当然我们在平时的教学中若能借助尺规，尽可能的把图形画的准确是最好的，因为这样既能帮助学生理解抽象的问题，也给学生起到了良好的示范作用。

最后感谢邹老师的精彩呈现，让我还能在紧张的复习备考中跟着邹老师研题学习，也感谢张钦博士提供的学习交流平台，每一次交流和发言都是思维的碰撞和升华，唐代诗人杜甫有首诗叫《春夜喜雨》，里面有两句是这样写的“随风潜入夜，润物细无声”，我就是跟随着张博士研题的春风走进了优秀的研题队伍中，在耳濡目染中能力得到了升华。学无止境，学习永远在路上，我会一直向优秀的同行学习。

个人感言

吉林长春市的这道二次函数题目，主要考察二次函数的图像与性质，第一问入门比较容易，考察函数解析式与函数上的点的坐标之间的关系。第二问考察函数的对称性，通过研究图像很容易得到关于对称轴对称的点的坐标之间的关系。第三问考察函数的增减性，不过这一问与一般二次函数在x取不同范围内的增减性有所不同，主要求二次函数在整个正方形中的增减性，具体还是要通过判断边与抛物线相切或者某些特殊位置为分界点，作出相对准确的图形，再根据图形判断相应的参数的取值范围。第四问求交点的个数问题以及两个交点时的函数最值。此问对学生确定分类讨论的依据，作图以及图像与参数的关系要求更高，考察思维更全面深入。

对于考场上徒手作图的学生，准确确定不同情况下的图形是一个难点，尤其是最后一问，非常容易出现多解或者漏解的情况。因此如何突破这个难点是我重点思考的问题。通过正方形交点个数的变化以及最大最小值的不同，分析动点A在不同情况下的图形。再通过特殊点的值不断缩小范围，进而得到最终的答案。

本题设计考察的内容为函数的基本性质，但是深度却不小，对于不同层次的学生有很好的区分度，是一道非常不错的函数压轴题。在研究过程中，我对交点个数问题以及四边形中函数的变化有了更深层次的理解。函数图像加上动态的图形，往往会衍生出很多很有趣的变化。值得我们从不同的角度加以分析，锻炼自己的思维。

最后，感谢张钦博士搭建的优秀教研平台，再次感谢黄毅老师在研题过程中给与的全方位指导，感谢陈聪老师，胡芳老师，石习鸿老师，卢勇老师给予的宝贵建议，但是由于能力有限，对于此题还有很多自己没有研究到位的地方，欢迎各位老师一起交流分享。

邹正阳老师简介

邹正阳，宜昌市第十六中学数学老师，西陵区学科带头人，区骨干教师，五年高中，十一年初中数学教学经历，一直在不停地思考数学教学。

教研参考书籍推荐

《从优秀试题研究中领悟初中数学教学》（张钦著）

微信小程序链接

微信二维码：