古人科举的数学题，你会做几道？

2023年全国高考数学科目考试即将拉开帷幕。与语文科目人人都能说出个子丑寅卯不同，对数学科目的讨论明显高了不少门槛。而在古代科举中，古人会考数学吗？古人学的数学又是什么样的呢？

现在一提起古人的学习内容，就是四书五经之类，其实这是种误解，数学也一度是古代学子的必修科目。

西周时期，数学成了“六艺”之一，是学校教学的必修必考科目之一。那时候的学校，学生全是官家子弟，学习的目的也是专门致力于解决实际问题，数学要解决的问题，包括土地丈量、谷仓容积的计算、堤坝和河渠的修建、税收等等。

数学的运用当然不止于此。小到历书的修订、日食月食时间的推定，大到隋炀帝修长城、开运河，武则天修建150米高的明堂供养通天大佛（前几年徐克拍了部电影用了这个题材），这都需要数学家的精确计量。

在秦汉时期，“六年，教之数与方名”，教育从娃娃开始抓起，6岁就开始学数学了。到了隋朝时期，朝廷甚至成立了“数学专科学校”，配备博士两人，助教两人，这个学校每一届收学生80人。这个“数学专科学校”，其实北魏也曾设立，前后存在50年以上。但是直到隋朝，办数学专科学校才成为一项制度。

唐初延用隋代的科举制度，算学仍被作为国子监设立的六科之一，称为明算科，但招生人数缩减到30人。学生入学资格为“文武官八品以下及庶人之子”。也就是说，普通人的孩子也可以进入学校学习了，而且是免费，不用交给学校钱。

唐朝的“数学专科学校”宽进严出，入学时不考试，由主管机关按家庭出身选送。但是入学后，要经常考试，有旬试、月试、季试、岁试。岁试就是年终考试。岁试三次不及格（下等），就会被逐出校门，回家去吧。

既然是学校，就要有教材。公元656年，风水大师李淳风等人奉敕注释并校订了十部数学书作为教科书，合称为“算经十书”。这些书都是历代数学家们的著作，直到清朝都在使用。其中大家熟悉的是《孙子算经》，“鸡兔同笼”问题就出自该书。其余如《张丘建算经》，讲测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。涉及最大公约数、最小公倍数、等差数列和不定方程等现代数学知识；《九章算术》包含计算土地面积、食品交换、社会福利、税收、罚款、土木工程等。书中包含了平面几何面积算法、体积计算公式、线性方程组问题的解法等等。

学生入学后，学制七年。七年期满，没有中途考试不及格被劝退的学生，还要参加一次毕业考试，及格了才能送礼部直接参加明算科的科举考试。考得好，授从九品下的官职。

这大概是数学在中国历史上最风光的时候了。

但因为皇帝本人对算学的看法不一，算学——这所数学专科学校时兴时废，再加上明算科及第后待遇不如明经、进士等科学生的好，故向来不为时人看重，所以应试的人并不多，至晚唐时期明算科考试渐渐停止。

唐以后，喜欢数学的就完全靠自学。在中国古代，数学家并不是一份专职职业。有的数学家出身于或官宦或商人之家，不愁吃穿，如珠算大师程大位，他本人就是一名徽商；有的数学家，有一份工作养家糊口。当然，也有部分数学家穷困潦倒，但还是苦心钻研数学，他们靠的是对数学的热爱，清朝数学家华蘅芳，学不会八股文章，读书每天不过四行，但看到算数题，两眼放光。

著名文学家的元好问的好友李冶也是一位著名数学家。金元交战、社会动荡之际，他弃官隐居山西，常常吃不饱穿不暖。但在此时他开始研究数学，因为他觉得“数术虽居六艺之末,而施之人事，则最为切务”。

李冶的数学研究是以“天元术”为主攻方向的。所谓天元术，就是利用未知数列方程的一般方法，与现代代数学中列方程的方法基本一致。李冶研究天元术是在1230年前后，欧洲直到16世纪后半叶，才有数学家引进字母符号代表方程中的未知数，这比天元术迟了三百多年。

李冶在生前完成了他的数学名著《测圆海镜》，近年来有法国人研究此书获得博士学位的。他还曾写了部普及天元术的著作——《益古演段》，被比利时数学家译成外文,传播到国外。

清朝还有一位数学家汪莱，比李冶还要贫困，常常要典当才能维持生活，甚至挖草根来吃。他早年乡试落第，20岁时离家赴苏州设馆谋生。在苏州，他遇见了数学家焦循，两人结为好友。焦循有诗句“邂逅臭味合，情谊因投胶”，就说的他。另外，还有一位叫李锐的，他们三个人号称“谈天三友”，常常讨论数学问题。汪莱后来花费时间，写出数学名著《衡斋算学》，书中涉及三次方程等数学问题。

说了这么多，和国外相比，中国古代的数学有多先进呢？可以这么说，从远古算起，直到14世纪，中国的数学一直走在世界的前列。除了广为人知的勾股定理比外国早了5个世纪之外，中国古代数学中，还藏有世界最早的几何学、最早的方程组、最古老的矩阵……

在中国古代数学（中国古代称算学）中，还有开平方,开立方,解线性方程组的“遍乘直除”消元法,计算圆周率的“割圆术”,解高次方程的“增乘开方法”,解一次同余式的“大衍求一术”等等，这些都比国外领先一个世纪甚至几个世纪。

宋元数学家著作中借用未知数解方程式的方法，到了清朝，因长期失传，一度被认为是无人能解的“天书”。直到清代数学家梅瑴成引进西方代数学《借根方》，对照之下，才恍然大悟。

算学生的作业本

唐代数学专业学生，搞的基本都是应用题，主题是古人日常生活中会接触的事，像什么种田织布、挖土筑堤、卖米囤粮、请客吃饭、偷钱抓贼……

从今天的数学知识来看，绝大多数应用题还挺简单的，基本不需要初中以上的数学知识。今天就带来您做几个题体验一下。

1.笼子里有鸡和兔子。从上面数一共有35个头，从下面数一共有94只脚，问一共有多少只鸡，多少只兔子？

【答案：鸡有23只，兔有12只】

2.公鸡每只值5文钱,母鸡每只值3文钱,而3只小鸡只值1文钱。现在用100文钱买100只鸡,问这100只鸡中,公鸡、母鸡和鸡各有多少只?

【答案：4，18，78；8，11，81；12，4，84】

3.今有环山道路一周长325里，甲乙丙3人环山步行，已知他们每天分别能步行150、120、90里，如果步行不间断，问从同一起点出发，多少天后再相遇于出发点？

【答案：10又5/6】

4.大家凑钱买一件物品，每个人出8钱还余3钱；每个人出7钱就还差4钱，问人数、物价各多少？

【答案：7人，53钱】

5.有一座正方形城池，不知道面积大小，四个方向都是从城墙中间开门，出北门20步有一棵树，出南门14步，折而向西行1775步能看到树，问这座城池边长多少？

【答案：250步】

是不是很简单，再来几道试试~~

第一题：好简单

“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？”

——《九章算术·方田》

翻译：

步是一种古代长度单位，240平方步是一亩。有一块长十五步，宽十六步的长方形田地，请问它的面积是多大？

第二题：追及问题！

今有迟行者五十步，疾行者七十步。迟行者以先发，疾行者以后发，行八十七里一百五十步乃及之。问迟行者先发行几何里？

——《张丘建算经》卷中

翻译：

两人作匀速运动。阿慢每个单位时间可以跑50步（“步”还是那个长度单位）；阿快这么长时间可以跑70步。

阿慢先跑，阿快再追，锲而不舍地狂奔87里零150步（300步=1里）才撵上。请问阿慢先跑的那段跑了多远？

图丨作者灵魂手绘

第三题：还是追及

今有人盗马，乘去。已行三十七里，马主人乃觉悟，追之一百四十五里，不及二十三里而还；今不还追之，问几何里及之。

——《张丘建算经》卷中

翻译：

小偷偷了马，跑了37里时，失主才开始追。失主狂追145里（大约77公里），累了不跑了，这时候距离小偷还有23里。请问如果失主有恒心，再跑多远能追到？

图丨作者灵魂手绘

第四题：相遇问题

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问几何日相逢？各穿几何？

——《九章算术·盈不足》

翻译：

一堵墙，厚五尺（约1.2米），两边各有一耗子。它们相向挖洞，而且每天都是匀速运动。

第一天，俩耗子各挖了一尺。之后，其中比较大只的耗子越挖越有干劲，决定每天提速100%；小耗子拒绝内卷，每天少挖50%。

请问挖穿这堵墙时，俩耗子挖了多久，分别挖了多远。

图丨作者灵魂手绘

第五题：开始难了

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？

——《九章算术·衰分》

翻译：

吃饭的时候，爵位每提高n级，出的钱是1/（n+1）。比如最低级的“公士”要花6元钱的话，“不更”就只花3元，“簪裊”花2元，“上造”就只用花1.5元……

那么，爵位相邻的五个人吃饭，一共要花一百钱，请问每个人分别出多少钱呢？

官员级别丨制图：清洁工

第六题：烦人的几何

又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？

——《九章算术·方田》

翻译：

有一块环状的田地，但未必是一整圈。它的内弧长62.75步，外弧长113.5步，两条弧线间距12+2/3步。请问这块田地一共多大？

图丨作者灵魂手绘

第七题：最后一道大题！

最后我们来看一道最难的题，它来自《缉古算经》。

《缉古算经》这本书只有二十道题，在唐朝学制里却要学四年，平均一年学五道。这本书上的内容，即使对今天的普通人来说也是颇有难度的，特别是在不许用计算器的情况下。

我们来看其中最有名的第三题。

假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟蹰十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役华。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？

——《缉古算经》第三问

我画了张图帮您理解，虽然您很可能也难以理解。

图丨作者灵魂手绘

翻译：

已知AB=CD，EF=GH，AC=EG，AE=CG，AC∥BD∥FH，AB∥EF，CD∥GH，AC⊥AE，CI⊥BD，JG⊥FH，BD比AC长682寸，FH比EG长62寸，CI比GJ长310寸，EG比GJ长49寸，CG比GJ长4769寸，整个六面体面积为275924800立方寸（这个数不是题设给的，是用题设中别的数据算出来的，但算法很复杂，三言两语说不清，您默认就好了）。求AC、BD、AE、FH、CI、GJ的长度。

Guokr

感觉如何？请在评论区留下你的答案吧！

来源 | 综合整理自“紫牛新闻”“果壳”等，素材源自网络、方志江苏